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文档简介
4.4 解三角形,高考文数 (课标专用),考点一 正弦定理与余弦定理,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2019课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C, cos A=- ,则 = ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 A 本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维能力和运算求解 能力;考查的核心素养是数学运算与逻辑推理. 由正弦定理及asin A-bsin B=4csin C得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cos A= = =- .所 以 =6.故选A.,2.(2018课标全国,7,5分)在ABC中,cos = ,BC=1,AC=5,则AB= ( ) A.4 B. C. D.2,答案 A cos C=2cos2 -1=2 -1=- ,BC=1,AC=5, AB= = =4 .故选A.,易错警示 利用余弦定理求解时,误认为cos C的值为 而错选D.,3.(2017课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC) =0,a=2,c= ,则C= ( ) A. B. C. D.,答案 B 解法一:在ABC中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C- cos C)=0, 即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0, cos Asin C+sin Asin C=0,sin C0,cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A= . 由 = 得 = ,sin C= , 又0C ,C= ,故选B.,4.(2019课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .,答案 ,解析 本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算. 在ABC中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, sin A0,sin B+cos B=0, 即tan B=-1, 又B(0,),B= .,5.(2017课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A, 则B= .,答案 60,解析 解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B= sin(180-B),可得B=60. 解法二:由余弦定理得2b =a +c ,即b =b,所以a2+c2-b2 =ac,所以cos B= ,又0B180,所以B=60.,思路分析 利用正弦定理或余弦定理将边角统一后求解.,6.(2017课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b= ,c=3,则A= .,答案 75,解析 由正弦定理得 = ,sin B= , 又cb,B=45,A=75.,易错警示 本题求得sin B= 后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75.,7.(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= .,答案,解析 由cos C= ,0C,得sin C= . 由cos A= ,0A,得sin A= . 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A= , 根据正弦定理得b= = .,解后反思 三角形中,已知两个角的三角函数值求第三个角的三角函数值时,常用两角和的正 (余)弦公式,结合三角形的内角和定理求解.,考点二 解三角形及其应用 1.(2018课标全国,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为 ,则C= ( ) A. B. C. D.,答案 C 因为a2+b2-c2=2abcos C, 且SABC= ,所以SABC= = absin C, 所以tan C=1,又C(0,),所以C= .故选C.,2.(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则sin A= ( ) A. B. C. D.,答案 D 解法一:过A作ADBC于D,设BC=a,由已知得AD= ,B= ,AD=BD,BAD= , BD= ,DC= a,tanDAC= =2.,3.(2018课标全国,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为 .,答案,解析 本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解. 由已知条件及正弦定理可得2sin Bsin C=4sin Asin Bsin C,易知sin Bsin C0,sin A= ,又b2+c2 -a2=8,cos A= = ,cos A0,cos A= ,即 = ,bc= , ABC的面积S= bcsin A= = .,解题关键 正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sin A是解决本题的关键.,4.(2019课标全国,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.,解析 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌 握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A. 因为sin A0,所以sin =sin B. 由A+B+C=180,可得sin =cos , 故cos =2sin cos . 因为cos 0,故sin = ,因此B=60.,(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC= a. 由正弦定理得a= = = + . 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90, 故 a2,从而 SABC .,因此,ABC面积的取值范围是 .,思路分析 (1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B. (2)用正弦定理先表示出a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC 面积的取值范围.,5.(2015课标,17,12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B; (2)设B=90,且a= ,求ABC的面积.,解析 (1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得cos B= = . (6分) (2)由(1)知b2=2ac. 因为B=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac,得c=a= . 所以ABC的面积为1. (12分),思路分析 (1)由题意和正弦定理可得b2=2ac,当a=b时,c= ,代入cos B= 计算可得;(2) 由题意可得b2=2ac=a2+c2,解方程可得c的值,代入S= ac即可.,6.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC. (1)求 ; (2)若BAC=60,求B.,解析 (1)由正弦定理得 = , = . 因为AD平分BAC,BD=2DC, 所以 = = . (2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60, 所以sinC=sin(BAC+B)= cosB+ sinB. 由(1)知2sinB=sinC, 所以tanB= ,即B=30.,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 正弦定理与余弦定理,1.(2016山东,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A= ( ) A. B. C. D.,答案 C 在ABC中,由b=c,得cos A= = ,又a2=2b2(1-sin A),所以cos A=sin A, 即tan A=1,又知A(0,),所以A= ,故选C.,2.(2015广东,5,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2 ,cos A= 且bc,则b = ( ) A.3 B.2 C.2 D.,答案 C 由余弦定理b2+c2-2bccos A=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,bc=2 ,b=2.选C.,3.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD = ,cosABD= .,答案 ;,解析 本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长 度和角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD= ,BDC=45, 由正弦定理得 = ,则BD= = ,在ABD中,sinBAD= ,cosBAD= ,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos 45cosBAD+sin 45sinBAD= = .,思路分析 在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解. 解题反思 三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提 下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.,4.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a= ,b=2,A=60,则sin B= ,c= .,答案 ;3,解析 本小题考查正弦定理、余弦定理. 由 = 得sin B= sin A= , 由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).,5.(2015安徽,12,5分)在ABC中,AB= ,A=75,B=45,则AC= .,答案 2,解析 由已知及三角形内角和定理得C=60,由 = 知AC= = =2.,6.(2015重庆,13,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=- ,3sin A=2sin B,则 c= .,答案 4,解析 由3sin A=2sin B及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcos C=4+9-223 =16,所以c=4.,7.(2019北京,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=- . (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值.,解析 本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力, 以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得b2=32+c2-23c . 因为b=c+2, 所以(c+2)2=32+c2-23c . 解得c=5. 所以b=7. (2)由cos B=- 得sin B= . 由正弦定理得sin A= sin B= . 在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sin A= .,8.(2017天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac= (a2- b2-c2). (1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值.,解析 (1)由asin A=4bsin B,及 = ,得a=2b. 由ac= (a2-b2-c2), 及余弦定理,得cos A= = =- . (2)由(1),可得sin A= ,代入asin A=4bsin B, 得sin B= = . 由(1)知,A为钝角,所以cos B= = . 于是sin 2B=2sin Bcos B= ,cos 2B=1-2sin2B= , 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A= - =- .,规律总结 解有关三角形问题时应注意: (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用,要抓住能 够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理; 如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑到 两个定理都有可能用到.(2)解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围.,9.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若cos B= ,求cos C的值.,解析 (1)证明:由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B(0,),故0A-B, 所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B, 所以,A=2B. (2)由cos B= 得sin B= , cos 2B=2cos2B-1=- , 故cos A=- ,sin A= ,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B= .,评析 本题主要考查正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.,考点二 解三角形及其应用 1.(2018北京,14,5分)若ABC的面积为 (a2+c2-b2),且C为钝角,则B= ; 的取值 范围是 .,答案 ;(2,+),解析 本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换. 依题意有 acsin B= (a2+c2-b2)= 2accos B, 则tan B= ,0 , 又A0,0 , 故 + =2.故 的取值范围为(2,+).,2.(2017浙江,11,5分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的 值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领 先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .,答案,解析 本题考查圆内接正六边形面积的计算. S6=6 11sin 60= .,3.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则 BDC的面积是 ,cosBDC= .,答案 ;,解析 本题考查余弦定理,同角三角函数的基本关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运 算求解能力. AB=AC=4,BC=2,cosABC= = , ABC为三角形的内角,sinABC= , sinCBD= ,故SCBD= 22 = . BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC= , 2cos2BDC-1= ,得cos2BDC= , 又BDC为锐角,cosBDC= .,4.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b= ,cos B= ,求c的值; (2)若 = ,求sin 的值.,5.(2018天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos . (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.,解析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与 余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在ABC中,由正弦定理 = ,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos ,得asin B=a- cos ,即sin B=cos ,可得tan B= .又因为B(0,),所以B= . (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= ,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b= . 由bsin A=acos ,可得sin A= . 因为ac,故cos A= . 因此sin 2A=2sin Acos A= ,cos 2A=2cos2A-1= . 所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B= - = .,方法总结 在三角关系式中,有边有角时,要利用正弦定理进行边角互化.,6.(2017山东,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3, =-6,SABC=3,求A 和a.,解析 本题考查向量数量积的运算及解三角形. 因为 =-6, 所以bccos A=-6, 又SABC=3, 所以bcsin A=6, 因此tan A=-1,又0A, 所以A= . 又b=3,所以c=2 . 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 得a2=9+8-232 =29, 所以a= .,7.(2016天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B= bsin A. (1)求B; (2)若cos A= ,求sin C的值.,解析 (1)在ABC中,由 = ,可得asin B=bsin A,又由asin 2B= bsin A,得2asin Bcos B= bsin A= asin B,所以cos B= ,得B= . (2)由cos A= ,可得sin A= , 则sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin = sin A+ cos A= .,思路分析 (1)利用正弦定理与二倍角的正弦公式将原式转化为关于角B的三角函数式进行求 解;(2)利用三角形的性质及两角和的正弦公式求sin C的值.,评析 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以 及正弦定理等基础知识.考查运算求解能力.,8.(2015天津,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3 ,b- c=2,cos A=- . (1)求a和sin C的值; (2)求cos 的值.,解析 (1)在ABC中,由cos A=- ,可得sin A= . 由SABC= bcsin A=3 , 得bc=24,又由b-c=2, 解得b=6,c=4. 由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8. 由 = ,得sin C= . (2)cos =cos 2Acos -sin 2Asin = (2cos2A-1)- 2sin Acos A= .,评析 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余 弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.,C组 教师专用题组 考点一 正弦定理与余弦定理,1.(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= ,c=2,cos A= ,则b= ( ) A. B. C.2 D.3,答案 D 解法一:由余弦定理得5=22+b2-22bcos A, cos A= ,3b2-8b-3=0,b=3 .故选D. 解法二:由cos A= 得sin A= ,根据 = 得sin C= ,所以A与C互余,故ABC为直角三 角形,因此b= =3.,2.(2013课标,10,5分)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7, c=6,则b= ( ) A.10 B.9 C.8 D.5,答案 D 由23cos2A+cos 2A=0得25cos2A=1, 因为A为锐角,所以cos A= .又由a2=b2+c2-2bccos A得49=b2+36- b,整理得5b2-12b-65=0, 解得b=- (舍)或b=5,故选D.,思路分析 利用二倍角的余弦公式化简已知的等式,求出cos A的值,再由a与c的值,利用余弦 定理即可求出b的值.,3.(2015福建,14,4分)若ABC中,AC= ,A=45,C=75,则BC= .,答案,解析 B=180-45-75=60.由正弦定理得 = ,可得BC= .,4.(2015山东,17,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B= ,sin(A+B)= ,ac= 2 ,求sin A和c的值.,解析 在ABC中,由cos B= ,得sin B= , 因为A+B+C=, 所以sin C=sin(A+B)= . 因为sin Csin B,所以CB,可知C为锐角, 所以cos C= . 因此sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C = + = . 由 = ,可得a= = =2 c,又ac=2 ,所以c=1.,评析 本题考查正弦定理的应用及三角形内的三角恒等变换;考查了运算求解能力.,5.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a, b)与n=(cos A,sinB) 平行. (1)求A; (2)若a= ,b=2,求ABC的面积.,解析 (1)因为mn,所以asin B- bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B- sin Bcos A=0, 又sin B0,从而tan A= , 由于0A, 所以A= . (2)解法一:由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A, 而a= ,b=2,A= , 得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,6.(2014大纲全国,18,12分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A, tan A= ,求B.,解析 由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因为tan A= ,所以cos C=2sin C,tan C= . (6分) 所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C) = (10分) =-1,即B=135. (12分),评析 本题着重考查正弦定理及运用三角公式进行三角恒等变换等知识,要求有较强的运算 变形能力.,7.(2011课标全国,18)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,asin A+csin C- asin C= bsin B. (1)求B; (2)若A=75,b=2,求a,c.,解析 (1)由正弦定理得a2+c2- ac=b2. 又b2=a2+c2-2accos B. 故cos B= ,又0B180,因此B=45. (2)sin A=sin(30+45) =sin 30cos 45+cos 30sin 45= . 故a=b = =1+ , c=b =2 = .,考点二 解三角形及其应用 1.(2013课标,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B= ,C= ,则ABC的 面积为 ( ) A.2 +2 B. +1 C.2 -2 D. -1,答案 B 解法一:由 = 及已知条件得c=2 . 又sin A=sin(B+C)= + = .从而SABC= bcsin A= 22 = +1. 故选B. 解法二:如图,作AHBC于H,由题设,得AH=CH= ,故BH= AH= ,所以ABC的面积S= ( + ) = +1.,2.(2014课标,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测 得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已 知山高BC=100 m,则山高MN= m.,答案 150,解析 在RtABC中,CAB=45,BC=100 m,所以AC=100 m. 在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45, 由正弦定理得, = ,因此AM=100 m. 在RtMNA中,AM=100 m,MAN=60, 由 =sin 60得MN=100 =150 m,故填150.,思路分析 ABC中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC;AMC中,由条件利用正 弦定理求得AM;RtMNA中,根据MN=AMsinMAN求得结果.,3.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高 均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别 为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度; (2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.,解析 本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空 间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC. 记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处. 因为AC=10 ,AM=40, 所以MC= =30,从而sinMAC= . 记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足, 则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1= =16. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm),(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG. 同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1. 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处. 过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32. 因为EG=14,E1G1=62,所以KG1= =24,从而GG1= = =40.,设EGG1=,ENG=, 则sin =sin =cosKGG1= . 因为 ,所以cos =- . 在ENG中,由正弦定理可得 = ,解得sin = . 因为0 ,所以cos = . 于是sinNEG=sin(-)=sin(+) =sin cos +cos sin = + = . 记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2EG,Q2为垂足,则P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12, 从而EP2= =20. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm),4.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan =2. (1)求 的值; (2)若B= ,a=3,求ABC的面积.,解析 (1)由tan =2,得tan A= , 所以 = = . (2)由tan A= ,A(0,),得 sin A= ,cos A= . 又由a=3,B= 及正弦定理 = ,得 b=3 . 由sin C=sin(A+B)=sin 得sin C= . 设ABC的面积为S,则S= absin C=9.,评析 本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.,5.(2014课标,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C和BD; (2)求四边形ABCD的面积.,解析 (1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C =13-12cos C, BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A =5+4cos C. 由得cos C= ,故C=60,BD= . (2)四边形ABCD的内角A与C互补,C=60,A=120. 四边形ABCD的面积S= ABDAsin A+ BCCDsin C = 12sin 120+ 32sin 60=2 .,思路分析 (1)在BCD和ABD中,利用余弦定理表示出BD2,根据两者相等求出cos C的值,确 定C的度数,进而求出BD. (2)由C的度数求出A的度数,利用三角形面积公式求出ABD与BCD的面积,求和即为四边 形ABCD的面积.,6.(2012课标全国,17,12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,c= asin C-ccos A. (1)求A; (2)若a=2,ABC的面积为 ,求b,c.,解析 (1)由c= asin C-ccos A及正弦定理得 sin Asin C-cos Asin C-sin C=0. 由于sin C0,所以sin = . 又0A,故A= . (2)ABC的面积S= bcsin A= ,故bc=4. 而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.,考点一 正弦定理与余弦定理,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019安徽安庆二模,7)若ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c= 2b,则 等于 ( ) A. B. C. D.,答案 D 由bsin 2A=asin B,及正弦定理得2sin Bsin Acos A=sin Asin B,得cos A= .又c=2b,所 以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-4b2 =3b2,得 = .故选D.,2.(2018河南开封模拟,8)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A= , =2sin Asin B,且 b=6,则c= ( ) A.2 B.3 C.4 D.6,答案 C 在ABC中,A= ,b=6, a2=b2+c2-2bccos A, 即a2=36+c2-6c, 又 =2sin Asin B, =2ab, 即cos C= = , a2+36=4c2, 由解得c=4或c=-6(不合题意,舍去). c=4.故选C.,3.(2017广东广雅中学、江西南昌二中联考,7)已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C所对的边,若 3bcos C=c(1-3cos B),则sin Csin A= ( ) A.23 B.43 C.31 D.32,答案 C 由正弦定理得3sin Bcos C=sin C-3sin Ccos B,即3sin(B+C)=sin C,因为A+B+C=,所 以B+C=-A,所以3sin A=sin C,所以sin Csin A=31,选C.,4.(2019湖北武汉调研测试,10)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a= b,A-B= ,则 角C= ( ) A. B. C. D.,答案 B 因为在ABC中,A-B= ,所以A=B+ ,所以sin A=sin =cos B,因为a= b,所以 由正弦定理得sin A= sin B,所以cos B= sin B,所以tan B= ,因为B(0,),所以B= ,所以C =- - = ,故选B.,5.(2019湖南郴州一模,10)在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2- bc=a2,bc= a2,则角C的大小是 ( ) A. 或 B. C. D.,答案 A 由b2+c2- bc=a2,得b2+c2-a2= bc,则cos A= = = ,则A= , 由bc= a2,得sin Bsin C= sin2A= = , 即4sin(-C-A)sin C= , 即4sin(C+A)sin C=4sin sin C= , 即4 sin C=2 sin2C+2sin Ccos C= , 即 (1-cos 2C)+sin 2C= - cos 2C+sin 2C= , 则- cos 2C+sin 2C=0, 则 cos 2C=sin 2C,则tan 2C= , 即2C= 或 ,即C= 或 ,故选A.,6.(2019河南郑州第二次质检,15)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C+2sin Ccos B =sin A,C ,a= ,cos B= ,则b= .,答案,解析 由正弦定理及题意可得c+2c =a, 即a= c,又a= ,所以c= , 由余弦定理得b2=6+ - = , 所以b= .,7.(2019河北衡水模拟,14)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且有a=1, sin Acos C+ ( sin C+b)cos A=0,则A= .,答案,解析 由 sin Acos C+( sin C+b)cos A=0,得 sin Acos C+ sin Ccos A=-bcos A,所以 sin(A+C)=-bcos A,即 sin B=-bcos A,又 = ,所以 = =- ,从而 =- tan A=- ,又因为0A,所以A= .,考点二 解三角形及其应用 1.(2019福建厦门一模,8)在ABC中,cos B= ,b=2,sin C=2sin A,则ABC的面积等于 ( ) A. B. C. D.,答案 D 在ABC中,cos B= ,b=2,sin C=2sin A,所以由正弦定理得c=2a;由余弦定理得b2=a2 +c2-2accos B=a2+4a2-2a2a =4a2=4,解得a=1,可得c=2,所以ABC的面积为S= acsin B= 1 2 = .故选D.,2.(2019福建漳州二模,8)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acos A=bcos C+ccos B,b+ c=3,则a的最小值为 ( ) A.1 B. C.2 D.3,答案 B 在ABC中,3acos A=bcos C+ccos B, 3sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A, 即3sin Acos A=sin A,又A(0,),sin A0,cos A= . b+c=3,两边平方可得b2+c2+2bc=9,由b2+c22bc,可得92bc+2bc=4bc,解得bc ,当且仅 当b=c时等号成立,由a2=b2+c2-2bccos A,可得a2=b2+c2- bc=(b+c)2- 9- =3,a的最小 值为 .故选B.,思路分析 根据正弦定理将边化角,逆用两角和的正弦公式化简得出cos A,由已知利用余弦定 理和基本不等式即可求出a的最小值.,3.(2019河北唐山一模,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上的高为 h,则h= ( ) A. B. C. D.,答案 D a=2,b=3,c=4, cos A= = = = , 则sin A= = = = , 则h=ACsin A=bsin A=3 = ,故选D.,4.(2019湖北恩施2月质检,15)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos B= ,b=4, SABC=4 ,则ABC的周长为 .,答案 4 +4,解析 由cos B= ,得sin B= ,由三角形面积公式可得 acsin B= ac =4 ,则ac=12, 由b2=a2+c2-2accos B,可得16=a2+c2-212 ,则a2+c2=24,联立可得a=c=2 ,所以ABC 的周长为4 +4.,5.(2019河南郑州一模,17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为S,且满 足sin B= . (1)求sin Asin C; (2)若4cos Acos C=3,b= ,求ABC的周长.,思路分析 (1)由已知利用三角形面积公式可得ac= ,由正弦定理即可得解.(2)利用两角 和的余弦公式及已知可求cos B的值,由(1)得ac的值,由余弦定理得a+c=3 ,即可解得ABC 的周长.,解析 (1)ABC的面积为S= acsin B,sin B= , 4 sin B=b2, (1分) ac= , (3分) 由正弦定理可得sin Asin C= = . (5分) (2)4cos Acos C=3,sin Asin C= , cos B=-cos(A+C)=sin Asin C-cos Acos C= - =- , (7分) b= ,ac= = = =8, (9分) 由余弦定理可得15=a2+c2+ ac=(a+c)2- ac=(a+c)2-12, (11分) 解得a+c=3 ,ABC的周长为a+b+c=3 + . (12分),6.(2019广东汕头一模,17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, bsin A=a(2-cos B). (1)求角B的大小; (2)D为边AB上一点,且满足CD=2,AC=4,锐角ACD的面积为 ,求BC的长.,解析 (1)由正弦定理得 sin Bsin A=sin A(2-cos B), (1分) 因为A(0,),所以sin A0, 所以 sin B=2-cos B, 所以2sin =2, (3分) 所以sin =1, (4分) 因为B(0,), 所以B+ = , 解得B= . (5分) (2)由题意,可得SACD= CDCAsinACD = 24sinACD= ,解得sinACD= . (7分) 又因为ACD为锐角三角形,所以cosACD= = , (8分) 在ACD中,由余弦定理得AD2=CA2+CD2-2CACDcosACD=42+22-224 =16,所以AD=4, (10分) 在ACD中,由正弦定理得 = , 则sin A= sinACD= , (11分) 在ABC中,由正弦定理得 = , 则BC= = . (12分),7.(2019全国统一诊断卷A,17)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=60. (1)若ABC的面积为3 ,a= ,求b-c; (2)若ABC是锐角三角形,求sin Bsin C的取值范围.,解析 (1)由SABC=3 ,得 bcsin A=3 , (1分) 即 bcsin 60=3 ,得bc=12. (2分) 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A, 即b2+c2-bc=13, (3分) 所以(b-c)2=13-bc=1, 所以b-c=1或b-c=-1. (4分) (2)因为A=60,所以B+C=120, 所以C=120-B. (5分) 所以sin Bsin C=sin Bsin(120-B) =sin B = sin 2B+ = = sin(2B-30)+ . (8分) 因为ABC是锐角三角形,所以C=120-B30, 所以30B90, 则302B-30150, (9分) 所以 sin(2B-30)1, sin(2B-30) , (10分) 所以 sin(2B-30)+ , 所以sin Bsin C的取值范围是 . (12分),易错警示 第(1)问应为两种情况,容易漏解;第(2)问中ABC为锐角三角形,则角B的范围要精 准,再结合三角函数的性质即可求出范围.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:60分钟 分值:85分) 一、选择题(每题5分,共35分),1.(2019湖南怀化一模,7)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若2S=(a+b)2 -c2,则tan C的值是 ( ) A. B. C.- D.-,答案 C 因为SABC= absin C,c2=a2+b2-2abcos C, 所以由2S=(a+b)2-c2,可得absin C=(a+b)2-(a2+b2-2abcos C),整理得sin C-2cos C=2,所以(sin C- 2cos C)2=4,所以 =4, =4,化简得3tan2C+4tan C=0,因为C (0,),所以tan C=- ,故选C.,解题关键 根据三角形的面积公式和余弦定理,得出sin C-2cos C=2,再利用同角三角函数的基 本关系式求解是解答的关键.,2.(2019安徽六安模拟,10)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 = ,b=4,则ABC 的面积的最大值为 ( ) A.4 B.2 C.2 D.,答案 A 在ABC中, = , (2a-c)cos B=bcos C, (2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(B+C)=sin A, cos B= ,即B= ,由余弦定理可得16=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac2ac-ac,ac16,当且仅当a= c时取等号, ABC的面积S= acsin B= ac4 .故选A.,3.(2019江西临川、南康九校联考,10)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos C+ ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c= ( ) A. B. C.2 D.0,答案 D acos C+ccos A=2bcos B, 由正弦定理可得,sin Acos C+sin C
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