（课标专用）2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.2双曲线及其性质课件.pptx

第十章 圆锥曲线 10.2 双曲线及其性质,高考文数 (课标专用),考点一 双曲线的定义和标准方程,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,1.(2015课标,16,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6 ).当APF周长最小时,该三角形的面积为 .,答案 12,解析 由已知得双曲线的右焦点F的坐标为(3,0).设双曲线的左焦点为F,则F(-3,0).由双曲线 的定义及已知得|PF|=2a+|PF|=2+|PF|.APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+ |PF|AF|+2=17,即当A、P、F三点共线时,APF的周长最小. 设P点坐标为(x0,y0),y00,由 得 +6 y0-96=0,所以y0=2 或y0=-8 (舍去). 所以当APF的周长最小时,该三角形的面积S= 66 - 62 =12 .,2.(2015课标,15,5分)已知双曲线过点(4, ),且渐近线方程为y= x,则该双曲线的标准方程 为 .,答案 -y2=1,解析 根据渐近线方程为x2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=(0).因为双曲线过点(4, ),所 以42-4( )2=,即=4.故双曲线的标准方程为 -y2=1.,考点二 双曲线的几何性质 1.(2019课标全国,10,5分)双曲线C: - =1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的 离心率为 ( ) A.2sin 40 B.2cos 40 C. D.,答案 D 本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的 运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算. 由双曲线C: - =1(a0,b0)可知渐近线方程为y= x, 由题意知- =tan 130, 又tan 130=-tan 50, =tan 50, 双曲线的离心率e= = = = = = ,故选D.,方法总结 求双曲线 - =1(a0,b0)的离心率的常见方法: (1)定义法:e= = ;(2)公式法:e= = (为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题 中条件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e= 转化为关于e的 方程,从而得出离心率e.,2.(2019课标全国,12,5分)设F为双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为 直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 ( ) A. B. C.2 D.,答案 A 本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;考查了运算求解能力;考查的核心素 养为数学运算. 如图,连接OP,|PQ|=|OF|=c, PQ过圆心 . 易得P . 又|OP|=a, a2= + = , =2,e= = .故选A.,解题关键 由|PQ|=|OF|=c,可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P 是解答本题的 关键.,3.(2019课标全国,10,5分)已知F是双曲线C: - =1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若 |OP|=|OF|,则OPF的面积为 ( ) A. B. C. D.,解题关键 由于题中条件只涉及一个焦点F,故合理作图标出左、右两焦点F,F,并将双曲线的 定义作为已知条件直接应用是解决本题的关键,利用平面几何知识发现FPF=90是解决本 题的关键.,4.(2018课标全国,6,5分)双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则其渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x,答案 A = = = , 双曲线的渐近线方程为y= x.故选A.,5.(2018课标全国,10,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则点(4,0)到C的渐 近线的距离为 ( ) A. B.2 C. D.2,答案 D 本题考查双曲线的几何性质及点到直线的距离公式. e= = = ,且a0,b0, =1, C的渐近线方程为y=x, 点(4,0)到C的渐近线的距离为 =2 .,6.(2017课标全国,5,5分)已知F是双曲线C:x2- =1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点 A的坐标是(1,3),则APF的面积为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 解法一:易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.,7.(2017课标全国,5,5分)若a1,则双曲线 -y2=1的离心率的取值范围是 ( ) A.( ,+) B.( ,2) C.(1, ) D.(1,2),答案 C 由题意知e= = , 因为a1,所以e1,所以1e ,故选C.,8.(2017课标全国,14,5分)双曲线 - =1(a0)的一条渐近线方程为y= x,则a= .,答案 5,解析 由题意可得 = , 所以a=5.,B组 自主命题省(区、市)卷题组,考点一 双曲线的定义和标准方程,答案 A 本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式. 双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为2, e2=1+ =4, =3,即b2=3a2, c2=a2+b2=4a2, 不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a), =3,渐近线方程为y= x, 则点A与点B到直线 x-y=0的距离分别为d1= = a,d2= = a,又 d1+d2=6, a+ a=6,解得a= ,b2=9.双曲线的方程为 - =1,故选A.,2.(2017天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1,答案 D 不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1, ),所以 = ,又c2=a2+b2, 所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2- =1,故选D.,方法总结 求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造 关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系 式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.,3.(2015天津,5,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆 (x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1,答案 D 由题意知,双曲线的渐近线方程为y= x,即bxay=0,因为双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以 = ,由双曲线的一个焦点为F(2,0)可得a2+b2=4,所以|b|= ,所以b2=3, 所以a2=1, 故双曲线的方程为x2- =1,故选D.,4.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2- =1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .,答案 (2 ,8),考点二 双曲线的几何性质 1.(2019北京,5,5分)已知双曲线 -y2=1(a0)的离心率是 ,则a= ( ) A. B.4 C.2 D.,答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查 的核心素养为数学运算. 由题意得e= = ,又a2+b2=c2, = =e2-1=4, b2=1,a2= .a0,a= .,易错警示 把双曲线的离心率错认为e= 而出错.,3.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是( ) A. B.1 C. D.2,答案 C 本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算 的核心素养. 渐近线方程为y=x,a=b, c= a,e= = , 故选C.,解题关键 正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系,从而得出a与c的关系.,4.(2018浙江,2,4分)双曲线 -y2=1的焦点坐标是 ( ) A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,- ),(0, ) D.(0,-2),(0,2),答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质. a2=3,b2=1,c= =2.又焦点在x轴上, 双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).,易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.,5.(2015安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=2x的是 ( ) A.x2- =1 B. -y2=1 C.x2- =1 D. -y2=1,答案 A A选项中,渐近线方程为x2- =0,即y=2x.故选A.,6.(2015湖南,6,5分)若双曲线 - =1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 双曲线 - =1的两条渐近线方程为y= x,则点(3,-4)在直线y=- x上,即-4=- , 所以4a=3b,即 = ,所以e= = .故选D.,7.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一 条渐近线的距离为 c,则其离心率的值是 .,答案 2,解析 双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为 = c, b= c,b2= c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e= =2.,8.(2018北京,12,5分)若双曲线 - =1(a0)的离心率为 ,则a= .,答案 4,解析 本题主要考查双曲线的标准方程和几何性质. 由题意知c= ,e= = = ,又a0, a=4.,9.(2016山东,14,5分)已知双曲线E: - =1(a0,b0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中 点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .,答案 2,解析 由已知得|AB|=|CD|= ,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以 =6c,2b2=3ac, =3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=- (舍去).,评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|建立关于离心率e的方程是求解关键.,C组 教师专用题组 考点一 双曲线的定义和标准方程,1.(2016天津,4,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线与直 线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为 ( ) A. -y2=1 B.x2- =1 C. - =1 D. - =1,答案 A 由题意可得 解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为 -y2=1,故选A.,2.(2016北京,12,5分)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( ,0), 则a= ;b= .,答案 1;2,解析 由题可知双曲线焦点在x轴上, 故渐近线方程为y= x, 又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x, =2,即b=2a. 又该双曲线的一个焦点为( ,0), c= . 由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5, 解得a=1,b=2.,思路分析 利用所给条件得c= ,b=2a,a2+b2=c2,然后解方程即可.,评析 本题考查双曲线的标准方程、渐近线和焦点的相关知识,属中档题.,3.(2010课标全国,8,5分)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则 |PF1|PF2|= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 B 在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+ 2|PF1|PF2|-2|PF1|PF2|cos 60,将|F1F2|=2 ,(|PF1|-|PF2|)2=4代入可得|PF1|PF2|=4,故选B.,评析 本题考查了双曲线的定义和性质,属中等难度题,对余弦定理的灵活变形是解题关键.,考点二 双曲线的几何性质 1.(2015湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0) 个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则 ( ) A.对任意的a,b,e1b时,e1e2 C.对任意的a,b,e1e2 D.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2,答案 B 因为e= ,所以 越大,e就越大, 令= = . 当ab时,1,e2e1; 当ab时,1,e2e1.故选B.,2.(2015四川,7,5分)过双曲线x2- =1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线 于A,B两点,则|AB|= ( ) A. B.2 C.6 D.4,答案 D 由x2- =1得c= = =2,渐近线方程为y= x. 不妨令点A在x轴上方,由题意可得A(2,2 ),B(2,-2 ),|AB|=4 ,故选D.,3.(2015重庆,9,5分)设双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作 A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为 ( ) A. B. C.1 D.,答案 C 不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐 标分别为 , ,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0), 所以 = , = , 因为A1BA2C,所以 =0, 即(c+a)(c-a)- =0,即c2-a2- =0,所以b2- =0, 故 =1,即 =1,又双曲线的渐近线的斜率为 ,故该双曲线的渐近线的斜率为1.故选C.,4.(2014课标,4,5分)已知双曲线 - =1(a0)的离心率为2,则a= ( ) A.2 B. C. D.1,答案 D 由双曲线方程知b2=3, 从而c2=a2+3,又e=2, 因此 = =4, 又a0,所以a=1,故选D.,知识拓展 椭圆的离心率e= = ;双曲线的离心率e= = .,5.(2013课标,4,5分)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的离心率为 ,则C的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y=x,答案 C 由双曲线的离心率e= = 可知, = ,而双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程 为y= x,故选C.,解后反思 双曲线离心率与渐近线斜率的关系可以由e= 联系,但要注意,若给出某双曲 线的渐近线为y= x,则该双曲线的离心率为 或 .,6.(2017北京,10,5分)若双曲线x2- =1的离心率为 ,则实数m= .,答案 2,解析 本题考查双曲线的几何性质. 由题意知,a2=1,b2=m. e= = = = ,m=2.,7.(2018上海,2,4分)双曲线 -y2=1的渐近线方程为 .,答案 y= x,解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程. 解法一:由双曲线 -y2=1知a2=4,b2=1, a=2,b=1,该双曲线的渐近线方程为y= x. 解法二:令双曲线 -y2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即 -y2=0,该双 曲线的渐近线方程为y= x.,8.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 - =1的焦距是 .,答案 2,解析 由 - =1,得a2=7,b2=3, 所以c2=10,c= , 所以2c=2 .,9.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2- =1(b0)的一个焦点,则b= .,答案,解析 由双曲线方程x2- =1可得c2=1+b2, 由题意可知c=2,故b2=3, 而b0,所以b= .,10.(2015山东,15,5分)过双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线, 交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .,答案 2+,解析 如图,F1,F2为双曲线C的左,右焦点,将点P的横坐标2a代入 - =1中,得y2=3b2, 不妨令点P的坐标为(2a,- b), 此时 = = , 得到c=(2+ )a, 即双曲线C的离心率e= =2+ .,考点一 双曲线的定义和标准方程,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018广东肇庆二模,4)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的一个焦点坐标为(4,0),且双曲线的 两条渐近线互相垂直,则该双曲线的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1或 - =1,答案 A 由双曲线C: - =1(a0,b0)的一个焦点坐标为(4,0),可得c=4,即有a2+b2=c2=16, 由双曲线的两条渐近线互相垂直, 即直线y= x和直线y=- x垂直, 可得a=b, 则a=b=2 , 则该双曲线的方程为 - =1.故选A.,2.(2018广东广州华南师范大学附中检测,5)设k1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲 线是 ( ) A.长轴在x轴上的椭圆 B.长轴在y轴上的椭圆 C.实轴在x轴上的双曲线 D.实轴在y轴上的双曲线,答案 D k1,1-k0, 方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线,故选D.,3.(2019河南非凡联盟4月联考,6)已知双曲线C: - =1(a0)的左、右焦点分别为F1、F2,一条 渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M在C上,且|MF2|=6,则|MF1|= ( ) A.2或14 B.2 C.14 D.2或10,答案 C 由题意知 = ,故a=4,则c=5.由|MF2|=6a+c=9,知点M在C的右支上,由双曲线的定 义知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14.,4.(2018河北衡水联考,8)过双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点F(c,0)作其渐近线y= x的垂线, 垂足为M,若SOMF=4 (O为坐标原点),则双曲线的标准方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1,答案 C 由题意易得 解得 双曲线的标准方程为 - =1,故选C.,知识归纳 焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b,在双曲线中c2=a2+b2.,5.(2019河南安阳三模,6)设双曲线C: - =1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与双曲线 C交于M,N两点,其中M在左支上,N在右支上.若F2MN=F2NM,则|MN|= ( ) A.8 B.4 C.8 D.4,答案 C 由F2MN=F2NM可知,|F2M|=|F2N|,由双曲线定义可知,|MF2|-|MF1|=4 ,|NF1|-|NF2| =4 ,两式相加得,|NF1|-|MF1|=|MN|=8 .,6.(2019河北石家庄一模,11)已知双曲线 - =1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线右支上存 在一点M,使( + ) =0(O为坐标原点),且| |=t| |,则实数t的值为 ( ) A. B.2 C.2 D.3,答案 D ( + ) =0,( + )( - )=0,| |2-| |2=0,| |=| |=c, MF2MF1.|F1F2|=2c=4 ,|MF1|2+|MF2|2=(4 )2,又|MF1|-|MF2|=2a=4 ,|MF1|=6 ,|MF2 |=2 ,t= =3.故选D.,7.(2019安徽合肥一模,3)设双曲线C: - =1(a0,b0)的虚轴长为4,一条渐近线为y= x,则双 曲线C的方程为 ( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1 D.x2- =1,答案 A 双曲线C: - =1(a0,b0)是焦点在x轴上的双曲线,其渐近线方程为y= x, 由其一条渐近线为y= x, 可得 = , 2b=4,b=2,则a=4. 双曲线C的方程为 - =1. 故选A.,易错警示 虚轴长是2b,实轴长是2a,焦距是2c,不要误写成a,b,c.在双曲线的标准方程中,焦点 在x轴上的渐近线方程为y= x,焦点在y轴上的渐近线方程是y= x.,8.(2019河北廊坊省级示范校三联,16)设F1,F2分别为双曲线C: - =1(a0,b0)的左、右焦点, 过F1的直线交双曲线C的左支于A,B两点,且|AF2|=3,|BF2|=5,|AB|=4,则BF1F2的面积为 .,答案,解析 |AF2|=3,|BF2|=5, |AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a, |AF2|+|BF2|-|AB|=4a=3+5-4=4,a=1,|BF1|=3, 又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2, F2AB=90, sin B= , = 53sin B= 53 = .,疑难突破 根据双曲线的定义可得到|BF1|=3,再根据三角形F2AB是直角三角形求得sin B,最后 利用三角形面积公式即可得到答案.,考点二 双曲线的几何性质 1.(2018湖南郴州二模,5)已知双曲线 - =1(m0)的一个焦点在直线x+y=5上,则双曲线的渐 近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x,答案 B 由双曲线 - =1(m0)的焦点在y轴上,且在直线x+y=5上,而直线x+y=5与y轴的交 点为(0,5), 有c=5,则m+9=25,则m=16, 则双曲线的方程为 - =1, 则双曲线的渐近线方程为y= x.故选B.,2.(2019安徽合肥二模,3)若双曲线x2- =1(m0)的焦点到渐近线的距离是2,则m的值是 ( ) A.2 B. C.1 D.4,答案 A 双曲线x2- =1(m0)的焦点设为(c,0), 渐近线方程设为bx-ay=0,可得 d= =b, 由题意可得b=m=2. 故选A.,3.(2019河南郑州二模,4)已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,则它的一条渐近线被圆 x2+y2-6x=0截得的线段长为 ( ) A. B.3 C. D.3,答案 D 解法一:双曲线的离心率e= , 双曲线是等轴双曲线, 则双曲线的一条渐近线为y=x, 代入x2+y2-6x=0得x2+x2-6x=0, 即x2-3x=0,得x=0或x=3,对应的y=0或y=3, 则交点坐标为(0,0),(3,3), 则所截得的线段长为 =3 .故选D. 解法二:同解法一得双曲线一条渐近线方程为y=x, 由x2+y2-6x=0,即(x-3)2+y2=9得圆心为(3,0),半径r=3, 所以圆心到直线y=x的距离d= = , 则由垂径定理及勾股定理得所求线段长为2 =2 =3 .故选D.,4.(2019广东汕尾一模,11)已知双曲线C: - =1(a0,b0),F是双曲线C的右焦点,A是双曲线C 的右顶点,过F作x轴的垂线,交双曲线于M,N两点.若tanMAN=- ,则双曲线C的离心率为 ( ) A.3 B.2 C. D.,答案 B 由题意可知tanMAN=- = , 解得tanMAF=3, 可得 =3,可得c2+2a2-3ac=0,e2+2-3e=0,因为e1,所以解得e=2.故选B.,疑难突破 利用正切的二倍角公式求出tanMAF,再结合双曲线的通径公式快速建立a,b,c的 关系,得到关于e的方程,从而求出e的值.,5.(2019湖南长沙一模,7)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,P是其一条渐近线上的 一点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则PF1F2的面积为 ( ) A. B.1 C. D.2,答案 C 设P(x0,y0),不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x-y=0上,因此可得x0-y0=0. F1(0, ),F2(0,- ),所以|F1F2|=2 ,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,又以F1F2为直径的圆经 过点P, 所以 + =2. 由 得|x0|=1, 于是 = |F1F2|x0|= 2 1= .故选C.,解后反思 本题采用坐标法计算出点P的横坐标比较好,同时注意不要把点P误认为在双曲线 上,代入焦点三角形面积公式而出错.,6.(2017湖北黄冈3月质检,8)过双曲线 - =1(a0,b0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切 点为M),交y轴于点P,若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D.,答案 A 连接OM.由题意知OMPF,且|FM|=|PM|, |OP|=|OF|, OFP=45,|OM|=|OF|sin 45,即a=c , e= = .故选A.,7.(2019河南非凡联盟4月联考,6)已知O为坐标原点,直线l交双曲线x2-y2=4的右支于A,B两点,交 两渐近线于C,D两点,若A,B三等分CD,则SAOB= ( ) A.2 B. C.4 D.6,答案 B 设C(m,m),D(n,-n),由 = A ,代入双曲线方程得 - =42mn=9,故SAOB= SCOD= m n = .故选B.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:35分钟 分值:70分) 选择题(每题5分,共70分),1.(2019广东揭阳一模,10)过双曲线 - =1(a0,b0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线 的四个交点组成一个正方形,则该双曲线的离心率为 ( ) A. -1 B. C. D.2,答案 B 将x=c代入双曲线的方程得y2= y= , 则2c= ,即有ac=b2=c2-a2,由e= ,可得e2-e-1=0, 解得e= (舍负).故选B.,2.(2018福建福州二模,9)过双曲线E: - =1(a0,b0)的左焦点(- ,0),作圆(x- )2+y2=4的切 线,切点在双曲线E上,则E的离心率等于 ( ) A.2 B. C. D.,答案 B 设圆的圆心为G,双曲线的左焦点为F.由圆的方程(x- )2+y2=4,知圆心坐标为G( , 0),半径R=2,则FG=2 . 设切点为P, 则GPFP,PG=2,PF=2+2a, 由|PF|2+|PG|2=|FG|2, 即(2+2a)2+4=20, 即(2+2a)2=16,得2+2a=4,a=1,又c= , 双曲线的离心率e= = ,故选B.,3.(2018安徽蚌埠一模,8)已知F为双曲线C: - =1(a0,b0)的左焦点,直线l经过点F,若点A(a, 0),B(0,b)关于直线l对称,则双曲线C的离心率为 ( ) A. B. C. +1 D. +1,答案 C 由点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称, 可得直线l为线段AB的垂直平分线, 线段AB的中点的坐标为 ,直线AB的斜率为- , 可得直线l的方程为y- = , 令y=0,可得x= a- , 由题意可得-c= a- , 即有a(a+2c)=b2=c2-a2, 即c2-2ac-2a2=0,由e= ,可得e2-2e-2=0,解得e=1+ (e=1- 舍去),故选C.,思路分析 由题意可得直线l为线段AB的垂直平分线,运用中点坐标公式和两直线垂直的关 系,可得直线l与x轴交点的横坐标,则有-c= a- ,从而求得离心率.,4.(2018河北唐山一模,8)已知F为双曲线C: - =1(a0,b0)的右焦点.过点F向C的一条渐近 线引垂线,垂足为A,交另一条渐近线于点B.若|OF|=|FB|,则C的离心率是 ( ) A. B. C. D.2,答案 B 过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.双曲线的渐近线方程为y= x, 则F(c,0)到渐近线的距离d= =b, 即|FA|=|FD|=b,则|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c, 由OFB为等腰三角形,得D为OB的中点, |OB|=2a,|OB|2=|OA|2+|AB|2=a2+(b+c)2. 4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,解得c=2b, 由a2=c2-b2,得a= b,e= = ,故选B.,5.(2017广东肇庆三模,9)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的 对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,答案 B 连接ON,F1P. 由题意可得ON=1,且N为线段MF1的中点,MF2=2, 点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P, 由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|, |PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=2|F1F2|, 由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,故选B.,6.(2018河北保定一模,9)已知双曲线 - =1(b0)的左顶点为A,虚轴长为8,右焦点为F,且F 与双曲线的渐近线相切,若过点A作F的两条切线,切点分别为M,N,则|MN|= ( ) A.8 B.4 C.2 D.4,思路分析 根据题意画出图形,结合双曲线的性质可得F的半径,然后求|AM|,再利用等面积 法即可求出|MN|.,7.(2019广东湛江一模,11)设F为双曲线E: - =1(a,b0)的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线 与E的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆x2+y2=c2(c2=a2+b2)与E在第 一象限的交点是P,且|PF|= -1,则双曲线E的方程是 ( ) A. - =1 B. - =1 C. -y2=1 D.x2- =1,答案 D 双曲线E: - =1的渐近线方程为y= x, 四边形OAFB为菱形, 对角线互相垂直平分, c=2a,AOF=60, = . 则有 解得P . |PF|= -1, + =( -1)2,解得a=1, 则b= , 故双曲线E的方程为x2- =1. 故选D.,8.(2019 53原创冲刺卷五,12)双曲线 - =1(a0,b0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其 右焦点,若AFBF,设ABF=,且 ,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.(1, +1 B. C. D. ,+),答案 A 设其左焦点为F1,连接AF1,BF1,易得F1AF= ,ABF=AF1F= ,|AF1|= 2ccos ,|AF|=2csin ,2a=2c|cos -sin |,e= (1, +1.,方法总结 在求解离心率的问题时,有时并不是直接求出c和a的值或取值范围,而是根据题目 给出的椭圆或双曲线的几何特征,建立关于c,a,b的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离 心率的值或取值范围.,9.(2019福建厦门一模,12)已知双曲线C: - =1(a0,b0)的一个焦点为F,点A,B是C的一条渐 近线上关于原点对称的两点,以AB为直径的圆过F且交C的左支于M,N两点,若|MN|=2,ABF的 面积为8,则C的渐近线方程为 ( ) A.y= x B.y= x C.y=2x D.y= x,答案 B 设双曲线的另一个焦点为F,由双曲线的对称性,可得四边形AFBF是矩形, SABF=SABF, 即bc=8, 由 可得y= , 则|MN|= =2,即b