（课标专用）2020届高考数学一轮复习第十六章不等式选讲课件.pptx

第十六章 不等式选讲,高考文数(课标专用),考点一 含绝对值不等式的解法 1.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若x(-,1)时, f(x)0,求a的取值范围.,五年高考,解析 本题以绝对值函数为背景,主要考查绝对值不等式的解法,通过去绝对值号的过程着重 考查学生的分类讨论思想,借助不等式恒成立问题考查学生的化归与转化思想,体现了数学运 算的核心素养. (1)当a=1时, f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x1时, f(x)=-2(x-1)20; 当x1时, f(x)0. 所以,不等式f(x)0的解集为(-,1). (2)因为f(a)=0,所以a1. 当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0, 所以,a的取值范围是1,+).,方法诠释 (1)通过分类讨论去掉绝对值号是解绝对值不等式的基本方法.(2)对f(x)0的处理, 若直接讨论去f(x)中的绝对值号,过程比较复杂,故通过特殊值f(a)=0得到a(-,1),从而得到a 1.,2.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)= 故不等式f(x)1的解集为 . (2)当x(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0,1)时|ax-1|0,则|ax-1|1的解集为 , 所以 1,故0a2. 综上,a的取值范围为(0,2.,3.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若f(x)1,求a的取值范围.,解析 (1)当a=1时, f(x)= 可得f(x)0的解集为x|-2x3. (2)f(x)1等价于|x+a|+|x-2|4. 而|x+a|+|x-2|a+2|,且当x=2时等号成立. 故f(x)1等价于|a+2|4. 由|a+2|4可得a-6或a2. 所以a的取值范围是(-,-62,+).,方法总结 解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法;若函数中 含有两个或两个以上的绝对值,在求函数最值时,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.,4.(2018课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲 设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)当x0,+)时, f(x)ax+b,求a+b的最小值.,解后反思 绝对值不等式的解法及综合应用的常见类型及解题策略: (1)直接求解不等式,主要利用绝对值不等式、不等式的性质,想办法去掉绝对值符号求解. (2)已知不等式求参数值,利用绝对值不等式或函数求最值,然后求参数的取值范围.,5.(2017课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,解析 (1)解法一:当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x1时,式化为x2+x-40, 从而1x . 所以f(x)g(x)的解集为 . 解法二:g(x)= 当a=1时,f(x)=-x2+x+4,在同一平面直角坐标系中,画出g(x)与f(x)的图象如图,易求得A(-1,2),B ,所以f(x)g(x)的解集为 .,6.(2017课标全国,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,解析 (1)f(x)= 当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1. (2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而 |x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x| =- + , 且当x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= .故m的取值范围为 .,7.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,解析 (1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示. (2)解法一:由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x= 或x=5, 故f(x)1的解集为x|1x3; f(x)-1的解集为 .,所以|f(x)|1的解集为 . 解法二:根据y=f(x)的分段函数表达式,有:当x-1时,|f(x)|1的解集为x|x-1; 当-11的解集为 ; 当x- 时,|f(x)|1的解集为 x|x5. 综上,|f(x)|1的解集为 .,8.(2015课标,24,10分)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,解析 (1)解法一:当a=1时, f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10. 当x-1时,不等式化为x-40,无解; 当-10,解得 0,解得1x1的解集为 . (5分) 解法二:当a=1时, f(x)= 画出f(x)的图象(如图所示),根据图象可得不等式f(x)1的解集为 . (5分),(2)由题设可得, f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B(2a+1,0),C(a,a+1), ABC的面积为 (a+1)2. 由题设得 (a+1)26,故a2. 所以a的取值范围为(2,+). (10分),考点二 不等式的证明 1.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1) + + a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.,解析 (1)因为a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,又abc=1,故有a2+b2+c2ab+bc+ca= = + + .所以 + + a2+b2+c2. (2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)33 =3(a+b)(b+c)(a+c) 3(2 )(2 )(2 )=24. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.,一题多解 (1)因为abc=1,a,b,cR+, 所以 + + = + + =bc+ac+ab + + =a2+b2+c2. (2)因为a,b,cR+,abc=1, 所以 (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 = (ab +(bc +(ca 3 = 3=1. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)324.,2.(2019课标全国,23,10分)选修45:不等式选讲 设x,y,zR,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 成立,证明:a-3或a-1.,3.(2017课标全国,23,10分)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,证明 (1)(a+b)(a5+b5) =a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)2+ (a+b) =2+ , 所以(a+b)38, 因此a+b2.,4.(2016课标全国,24,10分)已知函数f(x)= + ,M为不等式f(x)2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,bM时,|a+b|1+ab|.,解析 (1)f(x)= (2分) 当x- 时,由f(x)-1; (3分) 当- x 时, f(x)2; (4分) 当x 时,由f(x)2得2x2,解得x1, (5分) 所以f(x)2的解集M=x|-1x1. (6分) (2)证明:由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0, 因此|a+b|1+ab|. (10分),5.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,证明 证法一:(1)因为( + )2=a+b+2 , ( + )2=c+d+2 , 由题设a+b=c+d,abcd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + . (ii)若 + + , 则( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 .因为a+b=c+d,所以abcd. 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.,教师专用题组,1.(2019江苏,21C,10分)选修45:不等式选讲设xR,解不等式|x|+|2x-1|2.,解析 本小题主要考查解不等式等基础知识,考查运算求解和推理论证能力. 当x2,解得x2,即x 时,原不等式可化为x+2x-12,解得x1. 综上,原不等式的解集为 .,2.(2016课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时, f(x)+g(x)3,求a的取值范围.,解析 (1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3. (5分) (2)当xR时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当x= 时等号成立,所以当xR时, f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3. (7分) 当a1时,等价于1-a+a3,无解.当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+). (10分),方法总结 含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法:一是利用|ab|a|+|b|;二 是利用数形结合的思想方法.,评析 本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质,灵活利用不等式的性质是解 题的关键.,3.(2016江苏,21D,10分)设a0,|x-1| ,|y-2| ,求证:|2x+y-4|a.,证明 因为|x-1| ,|y-2| , 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|2|x-1|+|y-2|2 + =a.,评析 本小题主要考查含绝对值的不等式的证明,考查推理论证能力.,4.(2015陕西,24,10分)选修45:不等式选讲 已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4. (1)求实数a,b的值; (2)求 + 的最大值.,解析 (1)由|x+a|b,得 -b-axb-a, 则 解得a=-3,b=1. (2) + = + =2 =4, 当且仅当 = ,即t=1时等号成立, 故( + )max=4.,5.(2014课标,24,10分)设函数f(x)= +|x-a|(a0). (1)证明:f(x)2; (2)若f(3)5,求a的取值范围.,解析 (1)证明:由a0,有f(x)= +|x-a| = +a2,所以f(x)2. (2)f(3)= +|3-a|. 当a3时, f(3)=a+ ,由f(3)5得3a . 当0a3时, f(3)=6-a+ , 由f(3)5得 a3. 综上,a的取值范围是 .,6.(2013课标,24,10分)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)-1,且当x 时, f(x)g(x),求a的取值范围.,解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 y= 其图象如图所示.,考点一 含绝对值不等式的解法,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2019安徽合肥第二次教学质量检测,23)已知f(x)=|3x+2|. (1)求f(x)1的解集; (2)若f(x2)a|x|恒成立,求实数a的最大值.,解析 (1)由f(x)1得|3x+2|1, 即-13x+21,解得-1x- , 所以f(x)1的解集为 . (2)f(x2)a|x|恒成立,即3x2+2a|x|恒成立. 当x=0时,aR; 当x0时,a =3|x|+ . 因为3|x|+ 2 当且仅当3|x|= ,即|x|= 时等号成立 , 所以a2 ,即a的最大值是2 .,2.(2019河北省级示范性高中4月联考,23)已知函数f(x)=|x+a|+|2x-5|(a0). (1)当a=2时,解不等式f(x)5; (2)当xa,2a-2时,不等式f(x)|x+4|恒成立,求实数a的取值范围.,解析 (1)当a=2时, f(x)=|x+2|+|2x-5|= (2分) 由f(x)5,得 或 或 (4分) 解得x2或x ,所以不等式f(x)5的解集为 . (5分),解得x2或x ,所以不等式f(x)5的解集为 . (5分) (2)因为f(x)|x+4|,所以|x+a|+|2x-5|x+4|, 因为xa,2a-2,所以2a-2a, 所以a2,所以x+a0,x+40,得x+a+|2x-5|x+4, 不等式恒成立,即|2x-5|4-a在xa,2a-2上恒成立, (7分) 不等式恒成立必须a4,a-42x-54-a, 解得a+12x9-a. (8分),所以 解得1a , (9分) 结合2a4,得2a ,即a的取值范围为 . (10分),3.(2019江西临川一中,南昌二中等九校重点中学协作体第一次联考,23)已知函数f(x)=|x-2|+|m+ x|的图象的对称轴为x=1. (1)求不等式f(x)x+2的解集; (2)若函数f(x)的最小值为M,正数a,b满足a+b=M,求 + 的最小值.,解析 (1)函数f(x)图象的对称轴为x=1= ,m=0, f(x)=|x|+|x-2|= 由f(x)x+2,得 或 或 解得x0或x4,故不等式f(x)x+2的解集为(-,04,+). (2)由绝对值不等式的性质,可知|x-2|+|x|(x-2)-x|=2, f(x)min=M=2,a+b=2, a,b为正数, + = (a+b)= = .(当且仅当a=2 -2,b=4-2 时取等号),4.(2019湖南岳阳第二次模拟,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-n|,m,n(0,+). (1)若m=2,n=3,求不等式f(x)5的解集; (2)若f(x)1恒成立,求2m+n的最小值.,解析 (1)因为m=2,n=3,所以f(x)=|x+2|+|2x-3|. 当x-2时,由-x-2-2x+35,得x5,得x5,得x2,x2. 综上,不等式的解集为(-,0)(2,+). (2)|x+m|+|2x-n|=|x+m|+ + |x+m|+ =m+ , m+ 1,2m+n2,则2m+n的最小值为2.,5.(2018河北邯郸一模,23)已知函数f(x)=|x-4|+|x-1|-3. (1)求不等式f(x)2的解集; (2)若直线y=kx-2与函数f(x)的图象有公共点,求k的取值范围.,6.(2017安徽江淮十校第三次联考,23)已知函数f(x)=|x+4|-|x-1|. (1)解不等式f(x)3; (2)若不等式f(x)+14a-52a有解,求实数a的取值范围.,解析 (1)f(x)= 当x-4时,无解;当-43,解得03恒成立, 故原不等式的解集为x|x0. (2)将f(x)+14a-52a,即f(x)4a-52a-1有解转化为f(x)min4a-52a-1. 易知f(x)的最小值为-5, 4a-52a-1-5,即4a-52a+40,即2a4或2a1, a2或a0. 故实数a的取值范围是(-,02,+).,考点二 不等式的证明 1.(2019安徽安庆二模,23)已知f(x)=2|x+1|+|2x-1|. (1)解不等式f(x)f(1); (2)若不等式f(x) + (m0,n0)对任意xR的都成立,证明:m+n .,解析 (1)f(x)f(1)就是2|x+1|+|2x-1|5. 当x 时,由2(x+1)+(2x-1)5,得x1. 当-1x 时,由2(x+1)-(2x-1)5,得35,不成立. 当x5,得xf(1)的解集是 (1,+). (2)证明:因为2|x+1|+|2x-1|=|2x+2|+|2x-1|(2x+2)-(2x-1)|=3, 所以 + 3. 因为m0,n0,所以 + 2 , 所以2 3,得 .所以m+n2 .,2.(2019河南名校联盟尖子生第六次联合调研,23)已知函数f(x)=|x+2|-|x-4|. (1)求不等式f(x)x的解集; (2)记f(x)的最大值为t,正数a,b满足6a+6b=t,求证:log18 1.,解析 (1)由f(x)=|x+2|-|x-4|x,得 或 或 (3分) 解得-6x-2或-20,b0, 所以 + =(a+b) =10+ + 10+2 =18. 当且仅当 = 且a+b=1,即a= ,b= 时等号成立. (9分) 所以log18 1. (10分),3.(2019河北石家庄二中二模,23)已知a,b是正实数,且a+b=2.证明: (1) + 2; (2)(a+b3)(a3+b)4.,证明 (1)a,b是正实数,a+b2 , 1,( + )2=a+b+2 4, + 2, 当且仅当a=b=1时,取“=”. (2)a2+b22ab, 2(a2+b2)a2+b2+2ab=(a+b)2=4, a2+b22, (a+b3)(a3+b)=a4+b4+a3b3+aba4+b4+2a2b2=(a2+b2)24, 当且仅当 即a=b=1时,取“=”.,4.(2017福建福州八中第六次质检,23)已知函数f(x)=|x-1|. (1)解不等式f(x)+f(x+4)8; (2)若|a|a|f .,解析 (1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 当x1时,由2x+28,解得x3. 所以,不等式f(x)+f(x+4)8的解集为x|x-5或x3. (2)证明: f(ab)|a|f , 即|ab-1|a-b|. 因为|a|0,所以|ab-1|a-b|,故所 证不等式成立.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 （时间:50分钟 分值:80分） 解答题(共80分),1.(2019安徽黄山第二次质量检测,12)已知f(x)=|2-x|-|4-x|. (1)关于x的不等式f(x)a2-3a恒成立,求实数a的取值范围; (2)若f(m)+f(n)=4,且mn,求m+n的取值范围.,解析 (1)f(x)= f(x)min=-2, (3分) f(x)a2-3a恒成立, a2-3af(x)min=-2, 解得1a2. (5分) (2)由(1)知f(x)max=2,f(m)2, f(n)2, 则f(m)+f(n)4, (8分) 又f(m)+f(n)=4,所以f(m)=f(n)=2,于是nm4,故m+n8. (10分),2.(2019湖北武汉4月毕业班调研,23)已知函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)求不等式f(x)3的解集; (2)若直线y=x+a与y=f(x)的图象所围成的多边形的面积为 ,求实数a的值.,解析 (1)f(x)= 当x1时,由3x3,得x1; 当- 2.,易得直线y=x+a与y=f(x)的图象交于两点C ,D , 则|CD|= = a, 平行线AB与CD间的距离d= = ,|AB|= , 梯形ABCD的面积S= = = (a2), 即(a+2)(a-2)=12,a=4,故所求实数a的值为4. (10分),3.(2019广东深圳第二次调研,23)已知函数f(x)=|x-m|+ (m1). (1)当m=2时,求不等式f(x)3的解集; (2)证明: f(x)+ 3.,解析 (1)当m=2时, f(x)=|x-2|+ , (1分) 当x- 时,原不等式等价于(2-x)- 3, 解得x3,不等式无解, (3分) 当x2时,原不等式等价于(x-2)+ 3,解得x , (4分) 综上,不等式f(x)3的解集为 . (5分),4.(2019湖南百所重点名校大联考,23)已知函数f(x)= + . (1)求f(x)f(4)的解集; (2)设函数g(x)=k(x-3),kR,若f(x)g(x)对任意的xR都成立,求实数k的取值范围.,解析 (1)f(x)= + = + =|x-3|+|x+4|, f(x)f(4),即|x-3|+|x+4|9, 或 或 解,得x-5;无解,解,得x4. 所以f(x)f(4)的解集为x|x-5或x4. (5分) (2)f(x)g(x),即f(x)=|x-3|+|x+4|的图象恒在g(x)=k(x-3)图象的上方,