（课标专用）2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.4直线与圆锥曲线的位置关系课件.pptx

10.4 直线与圆锥曲线的位置关系,高考文数 (课标专用),1.(2017课标全国,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的 上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为 ( ) A. B.2 C.2 D.3,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 C 因为直线MF的斜率为 ,所以直线MF的倾斜角为60,则FMN=60.由抛物线的 定义得|MF|=|MN|,所以MNF为等边三角形.过F作FHMN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1, 所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|= +2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60= 4 =2 .故选C.,思路分析 利用抛物线的定义得|MN|=|MF|,从而得MNF为等边三角形,易得点M到直线NF 的距离等于|FH|,进而得解.,解题反思 涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的 倾斜角为特殊角60,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求 点N的坐标和直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大.,2.(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点. (1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程; (2)证明:ABM=ABN.,解析 (1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2). 所以直线BM的方程为y= x+1或y=- x-1. (2)证明:当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以ABM=ABN. 当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20. 由 得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2= ,y1y2=-4.,直线BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN= + = . 将x1= +2,x2= +2及y1+y2,y1y2的表达式代入式分子,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)= = =0. 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以ABM=ABN. 综上,ABM=ABN.,失分警示 (1)忽略点M,N位置的转换性,使直线BM方程缺失,从而导致失分; (2)由于不能将“ABM=ABN”正确转化为“kBM+kBN=0”进行证明,从而思路受阻,无法完 成后续内容.,3.(2018课标全国,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C: + =1交于A,B两点,线段AB的中 点为M(1,m)(m0). (1)证明:k- ; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且 + + =0.证明:2| |=| |+| |.,证明 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 + =1, + =1. 两式相减,并由 =k得 + k=0. 由题设知 =1, =m,于是k=- . 由题设得0m ,故k- . (2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3), 则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0). 由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0. 又点P在C上,所以m= , 从而P ,| |= .,于是| |= = =2- . 同理| |=2- . 所以| |+| |=4- (x1+x2)=3. 故2| |=| |+| |.,思路分析 (1)利用“点差法”求得斜率k,利用AB中点坐标建立k与m的关系式,由m的范围得 到k的范围. (2)根据题设 + + =0及点P在C上确定m,进一步得出| |、| |、| |的关系.,解后反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消 元、化简,然后利用根与系数的关系建立方程,解决相关问题. (2)题中涉及弦的中点坐标,可以采用“点差法”求解,设出点A、B的坐标,代入椭圆方程并作 差,再将弦AB的中点坐标代入所得的差,可得直线AB的斜率.,4.(2017课标全国,20,12分)设A,B为曲线C:y= 上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率; (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.,解析 (1)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1= ,y2= ,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k= = =1. 解法二:设A ,则由题意得B ,于是直线AB的斜率k= = =1.,5.(2016课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2 px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H. (1)求 ; (2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.,解析 (1)由已知得M(0,t),P . (1分) 又N为M关于点P的对称点,故N ,ON的方程为y= x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0, 解得x1=0,x2= . 因此H . (4分) 所以N为OH的中点,即 =2. (6分),(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点. (7分) 理由如下: 直线MH的方程为y-t= x,即x= (y-t). (9分) 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0, 解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点. (12分),方法总结 将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的 解的问题.,6.(2016课标全国,21,12分)已知A是椭圆E: + =1的左顶点,斜率为k(k0)的直线交E于A,M 两点,点N在E上,MANA. (1)当|AM|=|AN|时,求AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: k2.,解析 (1)设M(x1,y1),则由题意知y10. 由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为 . 又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2. (2分) 将x=y-2代入 + =1得7y2-12y=0. 解得y=0或y= , 所以y1= . 因此AMN的面积SAMN=2 = . (4分) (2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k0)代入 + =1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0. 由x1(-2)= 得x1= , 故|AM|=|x1+2| = . 由题设,直线AN的方程为y=- (x+2),故同理可得|AN|= . (7分) 由2|AM|=|AN|得 = , 即4k3-6k2+3k-8=0. (9分) 设f(t)=4t3-6t2+3t-8, 则k是f(t)的零点, f (t)=12t2-12t+3=3(2t-1)20, 所以f(t)在(0,+)内单调递增. 又f( )=15 -260, 因此f(t)在(0,+)内有唯一的零点,且零点k在( ,2)内, 所以 k2. (12分),思路分析 (1)由|AM|=|AN|,MANA可以求出直线AM的倾斜角,从而可以得出AM的方程,与椭 圆方程联立,求出点M的纵坐标,从而求出AMN的面积;(2)先把直线AM的方程与椭圆方程联 立,借助一元二次方程根与系数的关系及弦长公式,再根据2|AM|=|AN|建立关于k的方程,再借助 导数即可解决问题.,7.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C 于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ; (2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.,解析 由题设知F . 设l1:y=a,l2:y=b,易知ab0, 且A ,B ,P ,Q ,R . 记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0. (3分) (1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0. 记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则 k1= = = = =-b=k2. 所以ARFQ. (5分) (2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF= |b-a|FD|= |b-a| ,SPQF= . 由题设可得2 |b-a| = , 所以x1=0(舍去)或x1=1. 设满足条件的AB的中点为E(x,y).,当AB与x轴不垂直时, 由kAB=kDE可得 = (x1). 而 =y,所以y2=x-1(x1). 当AB与x轴垂直时,E与D重合. 所以,所求轨迹方程为y2=x-1. (12分),易错警示 容易漏掉直线AB与x轴垂直的情形而失分.,B组 自主命题省(区、市)卷题组,1.(2019浙江,15,4分)已知椭圆 + =1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是 .,答案,解析 本题主要考查椭圆的定义和标准方程、直线斜率与倾斜角的关系,以及解三角形,旨在 考查学生的综合应用能力及运算求解能力,重点应用数形结合思想,突出考查了直观想象与数 学运算的核心素养. 如图,记椭圆的右焦点为F,取PF中点为M,一题多解 易知F(-2,0),设P(3cos , sin ),设PF的中点为M,则M ,|OM|=| OF|=2, + =4,9cos2-12cos +4+5sin2=16,又sin2=1-cos2, 4cos2-12cos -7=0,解得cos =- ,sin2= , 又P在x轴上方,sin = , P ,kPF= ,故答案为 . 疑难突破 试题中只出现了椭圆的一个焦点,需要作出另一个焦点,并将椭圆定义作为隐含条 件直接应用是求解本题的突破口.再由条件中的中点M联想到利用三角形中位线的性质求出 PF的长度是解决本题的关键.,2.(2019天津,19,14分)设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知 |OA|= 2|OB|(O为原点). (1)求椭圆的离心率; (2)设经过点F且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心 C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.,解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能 力. (1)设椭圆的半焦距为c,由已知有 a=2b. 又由a2=b2+c2,消去b得a2= +c2,解得 = . 所以,椭圆的离心率为 . (2)由(1)知,a=2c,b= c,故椭圆方程为 + =1. 由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y= (x+c). 点P的坐标满足 消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=- . 代入到l的方程,解得y1= c,y2=- c.,因为点P在x轴上方,所以P . 由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t). 因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),故 = ,解得t=2.则C(4,2). 因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得 =2,可得c=2. 所以,椭圆的方程为 + =1.,思路分析 (1)由已知条件,得a与b的比例关系,代入a2=b2+c2,得a与c的齐次关系,进而求得离心 率.(2)设出直线方程(含参数c),联立直线与椭圆方程(含参数c),得交点P的坐标(含参数c),由kAP= kOC,求得C点坐标以及圆的半径r,最后由圆心到直线距离等于半径列出关于c的方程,求得c的 值,最终确定椭圆方程.,3.(2018北京,20,14分)已知椭圆M: + =1(ab0)的离心率为 ,焦距为2 .斜率为k的直线 l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (1)求椭圆M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和 点Q 共线,求k.,解析 (1)由题意得 解得a= ,b=1. 所以椭圆M的方程为 +y2=1. (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得4x2+6mx+3m2-3=0. 所以x1+x2=- ,x1x2= . |AB|= = = = . 当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为 .,(3)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 +3 =3, +3 =3. 直线PA的方程为y= (x+2). 由 得(x1+2)2+3 x2+12 x+12 -3(x1+2)2=0. 设C(xC,yC). 所以xC+x1= = . 所以xC= -x1= . 所以yC= (xC+2)= . 设D(xD,yD). 同理得xD= ,yD= .,记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ, 则kCQ-kDQ= - =4(y1-y2-x1+x2). 因为C,D,Q三点共线, 所以kCQ-kDQ=0. 故y1-y2=x1-x2. 所以直线l的斜率k= =1.,4.(2015福建,19,12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程; (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线 GB相切.,解析 (1)由抛物线的定义得|AF|=2+ . 因为|AF|=3,即2+ =3,解得p=2, 所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上, 所以m=2 ,由抛物线的对称性, 不妨设A(2,2 ). 由A(2,2 ),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2 (x-1). 由 得2x2-5x+2=0, 解得x=2或x= ,从而B . 又G(-1,0),所以kGA= = ,kGB= =- , 所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切. 证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r. 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上, 所以m=2 ,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2 ). 由A(2,2 ),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2 (x-1). 由 得2x2-5x+2=0, 解得x=2或x= ,从而B . 又G(-1,0),故直线GA的方程为2 x-3y+2 =0, 从而r= = . 又直线GB的方程为2 x+3y+2 =0, 所以点F到直线GB的距离d= = =r.,这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.,评析 本小题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算 求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,5.(2015北京,20,14分)已知椭圆C:x2+3y2=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B 两点,直线AE与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C的离心率; (2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率; (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.,解析 (1)椭圆C的标准方程为 +y2=1. 所以a= ,b=1,c= . 所以椭圆C的离心率e= = . (2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴, 所以可设A(1,y1),B(1,-y1). 直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2). 令x=3,得M(3,2-y1). 所以直线BM的斜率kBM= =1. (3)直线BM与直线DE平行.证明如下: 当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1. 又因为直线DE的斜率kDE= =1,所以BMDE. 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1= (x-2).,评析 本题考查椭圆的离心率、直线的斜率以及直线与椭圆的位置关系等知识,考查学生 的运算求解能力和推理论证能力,是一道综合题,属于难题.,C组 教师专用题组,1.(2013课标,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|, 则l的方程为 ( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y= (x-1)或y=- (x-1) C.y= (x-1)或y=- (x-1) D.y= (x-1)或y=- (x-1),答案 C 设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点D.分别过A、B作AA1垂直准线于A1,BB1垂直 准线于B1,由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t. 由三角形的相似得 = = , |BD|=2t,B1DB= , 直线的倾斜角= 或 . 又F(1,0),直线AB的方程为y= (x-1)或y=- (x-1).故选C.,一题多解 由于C的焦点为F(1,0),所以设l:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得y2-4ty-4=0,故 又|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2, 解方程组 得t= ,所以l的方程为x= y+1,即y= (x-1)或y=- (x-1).,2.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点 ,焦点F1(- ,0),F2( , 0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 ,求直线l的方程.,解析 本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性 质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力. 解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(- ,0),F2( ,0), 所以可设椭圆C的方程为 + =1(ab0). 又点 在椭圆C上, 所以 解得 因此,椭圆C的方程为 +y2=1. 因为圆O的直径为F1F2, 所以其方程为x2+y2=3. (2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则 + =3. 所以直线l的方程为y=- (x-x0)+y0,即y=- x+ .,= . 因为 + =3, 所以AB2= = , 即2 -45 +100=0. 解得 = ( =20舍去),则 = ,因此P的坐标为 . 则直线l的方程为y=- x+3 . 解法二:(1)由题意知c= ,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点 在椭圆上, 所以2a= + =4,所以a=2. 因为a2=b2+c2,所以b=1, 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k0,设直线l的方程为y=kx+m(k0), 将直线l的方程代入圆O的方程, 得x2+(kx+m)2=3, 整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 因为直线l与圆O相切,所以=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3, 将直线l的方程代入椭圆C的方程,得 +(kx+m)2=1, 整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 因为直线l与椭圆C相切, 所以=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0, 整理得m2=4k2+1, 所以3k2+3=4k2+1,因为k0,所以k=- ,则m=3, 将k=- ,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0, 整理得x2-2 x+2=0, 解得x1=x2= ,将x= 代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为( ,1). 设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m), 由知m2=3k2+3,且k0, 因为直线l和椭圆C相交,所以结合的过程知m24k2+1,解得k- , 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 解得x1,2= , 所以|x1-x2|= , 因为AB= =|x1-x2| = , O到l的距离d= = , 所以SOAB= = = ,解得k2=5,因为k0,所以k=- ,则m=3 , 即直线l的方程为y=- x+3 .,解后反思 (1)常用待定系数法求圆锥曲线方程. (2)直线与圆相切,常见解题方法是设切点求切线方程,由于涉及直线与椭圆相切,因此也可 设出直线方程求解. 因为AOB的面积为 ,而AOB的高为 ,所以解题关键是求AB的长,可利用弦长公式 AB= = = |x1-x2|(x1、x2分别为A、B的横坐标)求解.,3.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2: + =1(ab0)的一个焦点,C1 与C2的公共弦的长为2 .过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且 与 同向. (1)求C2的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.,解析 (1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1. 又C1与C2的公共弦的长为2 ,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公 共点的坐标为 ,所以 + =1. 联立,得a2=9,b2=8.故C2的方程为 + =1. (2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 因 与 同向,且|AC|=|BD|, 所以 = ,从而x3-x1=x4-x2, 即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4. 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1. 由 得x2-4kx-4=0. 而x1,x2是这个方程的两根, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.,4.(2014大纲全国,22,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|= |PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、 N四点在同一圆上,求l的方程.,解析 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0= . 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . 由题设得 + = ,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x. (5分) (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1). 又l的斜率为-m,所以l的方程为x=- y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+ y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4).则y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E ,|MN|= |y3-y4|= . (10分) 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|,从而 |AB|2+|DE,|2= |MN|2, 即4(m2+1)2+ + = , 化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. (12分),评析 本题主要考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线的位置关系等知识,着重考查 概念的理解运用能力、运算变形能力及分类讨论思想.,1.(2019安徽黄山二模,5)已知双曲线 - =1的左焦点为F1,过F1的直线l交双曲线左支于A、B 两点,则l的斜率的范围为 ( ) A. B. C. D. ,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,答案 B 由题意得双曲线的渐近线方程为y= x, 所以l的斜率满足|k| ,即k . 故选B.,解题关键 求出双曲线的渐近线方程,利用已知条件列出直线的斜率与渐近线的斜率的关系, 即可得到结果.,2.(2019湖南衡阳一模,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与C交于A、B两点,且线段 AB中点的纵坐标为2,O为坐标原点,则AOB的面积为 ( ) A.2 B. C.2 D.4,答案 A 解法一:设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M, 由 消去x得y2-4ty-4=0, 由yM= =2t=2,得t=1, SAOB= |OF|y1-y2|= =2 . 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得kAB= = =1, 从而直线AB的方程为y=x-1,由抛物线定义可得|AB|=x1+x2+2=y1+y2+4=8, 而点O到直线AB的距离d= = , 从而SAOB= |AB|d=2 .,3.(2018福建莆田模拟,6)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F作直线l与C交于A,B 两点.若|AB|=10,则OAB的重心的横坐标为 ( ) A. B.2 C. D.3,答案 B 由题意知抛物线的焦点F的坐标为(2,0), 设过焦点F(2,0)的直线为y=k(x-2)(k0), A(x1,y1),B(x2,y2). 将y=k(x-2)代入抛物线方程消去y得 k2x2-4(k2+2)x+4k2=0. k20,x1+x2= =4+ ,x1x2=4. |AB|= =10, k2=4, x1+x2=6, OAB的重心的横坐标为 =2,故选B.,4.(2019河北衡水中学信息卷一,11)已知中心在原点的椭圆C的左焦点恰好为圆F:x2+y2+2x-3=0 的圆心,有两个顶点恰好是圆F与y轴的交点.若椭圆C上恰好存在两点关于直线y=x+t对称,则实 数t的取值范围为 ( ) A.(- , ) B. C. D.,答案 B 圆F:x2+y2+2x-3=0的标准方程为(x+1)2+y2=4,故F(-1,0),且圆F与y轴的交点为(0, ), 即c=1,b= ,则a=2,所以椭圆C的方程为 + =1. 设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆C上关于直线y=x+t对称的两点,则 =-1. 由点差法,得 = ,设AB的中点M的坐标为(x0,y0),则 = ,又y0=x0+t,可得M(-4t,-3t). 因为点M在椭圆内部,所以3(-4t)2+4(-3t)212,解得- t .故选B.,5.(2019湖南郴州一模,11)已知椭圆 + =1(0b2)的左,右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1作斜 率为2的直线与椭圆交于A,B两点,AB的中点是P,O为坐标原点,若直线OP的斜率为- ,则b的值 是 ( ) A.2 B. C. D.,答案 D 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(m,n), 则 + =1, + =1, 作差可得 + =0, 把x1+x2=2m,y1+y2=2n, =2代入, 可得 =- =- ,解得b= .故选D.,6.(2019湖北七市教科研协作体模拟,12)过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为45的直线交抛物 线于A,B两点,以AF,BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,则MNF的面积为 ( ) A. B.2 C.1 D.,答案 D 抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0), 则直线AB的方程为y=x-1, 由 解得 或 不妨令A(3+2 ,2+2 ),B(3-2 ,2-2 ), 设M(0,m),N(0,n), 以AF,BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N, MFMA,NFNB, =0, =0,思路分析 先求出直线方程,与抛物线方程联立,求出A,B两点的坐标,设M(0,m),N(0,n),根据以 AF,BF为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,可得MFMA,NFNB,即 =0, =0,求 出m,n,再根据三角形的面积公式计算即可.,7.(2018安徽芜湖期末,11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为-1的直线与抛物线相 交于M,N两点,直线l与抛物线相切且lMN,P为l上的动点,则 的最小值是 ( ) A.-12 B.-14 C.-16 D.-18,答案 B 设l的方程为y=-x+b,代入y2=4x,得x2-(2b+4)x+b2=0, l为抛物线C的切线,=0,即-(2b+4)2-4b2=0, 解得b=-1,l:y=-x-1. 由题意知MN所在直线方程为y=-x+1, 联立 得x2-6x+1=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=6,x1x2=1. 设P(m,-m-1),解题关键 设l的方程为y=-x+b,代入y2=4x,利用直线l为抛物线C的切线,求出b,再利用向量的数 量积的坐标运算求 ,利用配方法可求最小值.,8.(2018安徽安庆二模,14)设抛物线x2=4y的焦点为F,点A,B在抛物线上,且满足 = ,若| | = ,则的值为 .,答案,解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线x2=4y得焦点F的坐标为(0,1),准线方程为y=-1, | |= ,y1+1= ,解得y1= , x1= ,由抛物线的对称性取x1= , A , 直线AF的方程为y=- x+1, 由 解得 或 B(-2 ,2),| |=2+1=3, = ,| |=| |, =3,解得= .,9.(2019河北石家庄一模,14)已知双曲线C:x2-4y2=1,过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直 线l的方程为 .,答案 y= (x-2),解析 双曲线C的方程为x2-4y2=1,a=1,b= ,渐近线方程为y= x. P(2,0)在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点, 直线l与双曲线的渐近线平行, 直线l的斜率为 ,直线l的方程为y= (x-2).,名师点睛 本题主要考查双曲线的方程,双曲线的渐近线方程,直线的点斜式方程,直线与双曲 线的位置关系等知识,考查考生的数形结合思想.,10.(2019河南安阳三模,20)已知ABC的周长为6,B,C关于原点对称,且B(-1,0).点A的轨迹为. (1)求的方程; (2)若D(-2,0),直线l:y=k(x-1)(k0)与 交于E,F两点,若 , , 成等差数列,求的值.,解析 (1)依题意,知C(1,0),故|BC|=2,则|AB|+|AC|=4|BC|=2, (2分) 故点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(不含左、右两顶点), (3分) 故的方程为 + =1(x2). (4分) (2)依题意,知2 = + ,故2= + , (6分) 联立 整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= . (7分) 故 + = + = + =2+ + =2+ =2+ =2+ =2+ =2+2=4=2, (11分) 则=2. (12分),11.(2019河北衡水三模,20)以坐标原点O为中心的椭圆E: + =1(ab0)的右顶点为M,上顶 点为N,tanNMO= ,点 在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)过椭圆的右焦点F作斜率为k的直线l(k0)与椭圆E交于A,B两点,过原点O作直线l的平行线l 交椭圆于C,D两点,证明: .,解析 (1)由题可知tanNMO= = , (1分) 因为点 在椭圆E上, 所以 + =1, 由解得a2=2,b2=1, (3分) 故椭圆E的方程为 +y2=1. (4分) (2)证明:由(1)知,椭圆的右焦点为F(1,0). 则直线l的方程为y=k(x-1)(k0). (5分) 联立方程得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2= ,x1x2= , (7分) 则|AB|= |x1-x2|,= = = = . (8分) 因为直线ll,所以直线l的方程为y=kx(k0). 联立方程得 (1+2k2)x2-2=0, 设C(x3,y3),D(x4,y4), 所以x3= ,x4=- , 则|CD|=2 =2 . 所以|CD|2-|AB|2=8 = . (9分),所以 = = , (10分) 又 = = - , 所以 . (12分),B组 20172019年高考模拟专题综合题组 （时间:30分钟 分值:44分） 一、选择题(每题5分,共15分),1.(2018河南开封一模,5)已知抛物线M:y2=4x,过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点 (点A在第一象限),且交抛物线的准线于点E.若 =2 ,则直线l的斜率为 ( ) A.3 B.2 C. D.1,答案 B 分别过A,B两点作AD,BC垂直于准线,垂足分别为D,C, 由 =2 ,得B为AE的中点,|AB|=|BE|,则|AD|=2|BC|, 由抛物线的定义可知|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,|AB|=3|BC|, |BE|=3|BC|,则|CE|=2 |BC|, tanCBE= =2 , 直线l的斜率k=tanAFx=tanCBE=2 ,故选B.,思路分析 由题意可知|AB|=|BE|,利用中位线定理、抛物线的定义及勾股定理,即可求得|CE|= 2 |BC|,根据直线的斜率与倾斜角之间的关系,即可求得直线l的斜率.,2.(2019河北石家庄一模,9)已知椭圆 + =1(ab0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的 直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M ,则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 直线FP的斜率为- ,FPl,直线l的斜率为- .设A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 - =- ,即 =- . AB的中点为M , - =- ,a2=2bc, b2+c2=2bc,b=c,a= c, 椭圆的离心率为 .故选B.,方法总结 直线与圆锥曲线相交,弦的中点问题的解决方法之一是点差法.设直线与圆锥曲线 相交,弦的中点的坐标为(x0,y0),直线的斜率为k,(1)在椭圆 + =1(ab0)中,k=- ;(2)在双 曲线 - =1(a0,b0)中,k= ;(3)在抛物线y2=2px(p0)中,k= .,3.(2017江西九江一模,11)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 + =1(ab0)的上下顶点分 别为A,B,右顶点为C,右焦点为F,连