（课标专用）2020届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.1椭圆及其性质课件.pptx

第十章 圆锥曲线 10.1 椭圆及其性质,高考文数(课标专用),1.(2019课标全国,12,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若 |AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ( ) A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案 B 本题考查了椭圆的定义、椭圆的方程和余弦定理的应用;考查了数学运算能力和 方程的思想;考查的核心素养是数学运算,具有很好的创新意识. 令|F2B|=x(x0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x, |AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x, 由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x, 所以|AF1|=2x. 在BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|F2B|2+|F1F2|2-2|F2B|F1F2|cosBF2F1, 即9x2=x2+22-4xcosBF2F1, 在AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|F1F2|cosAF2F1, 即4x2=4x2+22-8xcosAF2F1, 由得x= , 所以2a=4x=2 ,a= ,b2=a2-c2=2. 故椭圆的方程为 + =1.故选B.,思路分析 由于涉及焦点,所以要利用椭圆的定义,通过解三角形建立方程求a的值,又b2=a2-1, 故可得椭圆的方程. 疑难突破 利用余弦定理灵活解三角形是难点突破口.灵活利用椭圆的定义是解题的关键.,2.(2018课标全国,4,5分)已知椭圆C: 的一个焦点为(2,0),则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质. 由题意可知c=2,b2=4, a2=b2+c2=4+22=8,则a=2 , e= = = ,故选C.,方法总结 求椭圆离心率的常用方法: (1)求得a,c的值,直接代入e= 求解. (2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.,3.(2018课标全国,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1= 60,则C的离心率为 ( ) A.1- B.2- C. D. -1,答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质. 不妨设椭圆方程为 + =1(ab0). 在RtF1PF2中,因为PF2F1=60,|F1F2|=2c, 所以|PF2|=c,|PF1|= c. 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 即 c+c=2a, 所以椭圆的离心率e= = = -1.故选D.,一题多解 在RtPF1F2中,因为PF1PF2且PF2F1=60,所以设|PF2|=1,则|F1F2|=2.由勾股定理 得|PF1|= ,所以e= = = = -1.故选D.,4.(2017课标全国,12,5分)设A,B是椭圆C: + =1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB= 120,则m的取值范围是 ( ) A.(0,19,+) B.(0, 9,+) C.(0,14,+) D.(0, 4,+),当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值,此时AMB120,则|OA|3,即 3,即m9. 综上,m(0,19,+),故选A.,解题突破 (1)已知A、B为长轴两个端点,则当点M运动到短轴的端点时,AMB取最大值.(2) 因为焦点位置不确定,所以要分类讨论.,5.(2017课标全国,11,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 由题意可得a= ,故a2=3b2, 又b2=a2-c2,所以a2=3(a2-c2), 所以 = , 所以e= = .,7.(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: (ab0)的左焦点,A,B分别 为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若 直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k= , 从而直线AM的方程为y= (x+a), 令x=0,得点E的纵坐标yE= . 同理,OE的中点N的纵坐标yN= . 因为2yN=yE,所以 = , 即2a-2c=a+c, 所以e= = .故选A. 解法二:如图,设OE的中点为N, 由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a, PFy轴, = = , = = ,又 = , 即 = , a=3c,故e= = .,思路分析 解法一:设出点M的坐标及OE的中点为N,写出AM的方程,然后求出yE,同理求出yN, 利用2yN=yE求出 . 解法二:由PFy轴得对应线段成比例,结合|OE|=2|ON|可求出 .,8.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的 焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|= ( ) A.3 B.6 C.9 D.12,答案 B 抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2. 从而椭圆E的半焦距c=2. 可设椭圆E的方程为 + =1(ab0), 因为离心率e= = ,所以a=4, 所以b2=a2-c2=12. 由题意知|AB|= =2 =6.故选B.,9.(2019课标全国,15,5分)设F1,F2为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限. 若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .,答案 (3, ),解析 本题考查椭圆的定义与几何性质;考查了学生的运算求解能力和数形结合的思想方法; 考查了数学运算的核心素养. 不妨设F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,由M点在第一象限,MF1F2是等腰三角形,知|F1M|=|F1F2 |,又由椭圆方程 + =1,知|F1F2|=8,|F1M|+|F2M|=26=12. 所以|F1M|=|F1F2|=8,|F2M|=4. 设M(x0,y0)(x00,y00), 则 解得x0=3,y0= ,即M(3, ).,一题多解 依题意得|F1F2|=|F1M|=8,|F2M|=4,cosMF1F2= = ,tanMF1F2= , 所以MF1:y-0= (x+4). 设M(6cos ,2 sin ),因为M点在直线MF1上, 所以2 sin = (6cos +4),结合sin2+cos2=1且sin 0,cos 0,得cos = ,sin = , 即M点的坐标为(3, ).,10.(2019课标全国,20,12分)已知F1,F2是椭圆C: + =1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O 为坐标原点. (1)若POF2为等边三角形,求C的离心率; (2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.,思路分析 第(1)问中由平面几何知识可知PF1F2是F1PF2=90的直角三角形,且|PF2|=c,|PF1| = c,再利用椭圆的定义找出a与c的等量关系,进而求离心率. 第(2)问中设出P点坐标,利用 =16,PF1PF2以及 得到方程,消元化简可求b的值和a的取值范围. 一题多解 (2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 由椭圆的定义可得r1+r2=2a, = r1r2=16,r1r2=32. 又PF1PF2, + =4c2, (r1+r2)2= + +2r1r2=4c2+64=4a2, 4a2-4c2=64,b=4, 又 + 2r1r2,4c2232,c4, a2=b2+c2=16+c232, b的值为4,a的取值范围为4 ,+).,B组 自主命题省(区、市)卷题组 考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2015广东,8,5分)已知椭圆 + =1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( ) A.2 B.3 C.4 D.9,答案 B 依题意有25-m2=16,m0,m=3.选B.,2.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆 +y2=m(m1)上两点A,B满足 =2 ,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大.,答案 5,解析 本小题考查椭圆的标准方程,向量的坐标运算,二次函数的最值. 设B(t,u),由 =2 ,易得A(-2t,3-2u). 点A,B都在椭圆上, 从而有 +3u2-12u+9=0,即 +u2=4u-3. 即有4u-3=mu= , + =m,t2=- m2+ m- =- (m-5)2+4. 当m=5时,(t2)max=4,即|t|max=2, 即当m=5时,点B横坐标的绝对值最大.,思路分析 (1)设出点B的坐标,利用向量的坐标运算得点A的坐标. (2)利用点A,B都在椭圆上得方程组,求得点B的横、纵坐标满足的关系式. (3)利用(2)中的关系式及点B在椭圆上,把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数. (4)利用二次函数的最值得结论.,3.(2019江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + =1(ab0)的焦点为F1(-1,0), F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接 AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1= . (1)求椭圆C的标准方程; (2)求点E的坐标.,解析 本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭 圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. (1)设椭圆C的焦距为2c. 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1. 又因为DF1= ,AF2x轴,所以DF2= = = . 因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2. 由b2=a2-c2,得b2=3. 因此,椭圆C的标准方程为 + =1. (2)解法一:由(1)知,椭圆C: + =1,a=2. 因为AF2x轴,所以点A的横坐标为1. 将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=4. 因为点A在x轴上方,所以A(1,4). 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.,由 得5x2+6x-11=0, 解得x=1或x=- . 将x=- 代入y=2x+2,得y=- . 因此B . 又F2(1,0),所以直线BF2:y= (x-1). 由 得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1. 将x=-1代入y= (x-1),得y=- . 因此E . 解法二:由(1)知,椭圆C: + =1.,如图,连接EF1. 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB, 从而BF1E=B. 因为F2A=F2B,所以A=B. 所以A=BF1E,从而EF1F2A. 因为AF2x轴,所以EF1x轴. 因为F1(-1,0),由 解得y= . 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=- . 因此E .,解题关键 第(2)问中把两个三角形的面积的关系转化为点P、M的横坐标间的关系,进而得 到关于k的方程是求解的难点和关键.,5.(2016天津,19,14分)设椭圆 + =1(a )的右焦点为F,右顶点为A.已知 + = , 其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若 BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.,解析 (1)设F(c,0),由 + = ,即 + = ,可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,椭圆的方程为 + =1. (2)设直线l的斜率为k(k0), 则直线l的方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),由方程组 消去y, 整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0. 解得x=2,或x= ,由题意得xB= ,从而yB= . 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有 =(-1,yH), = . 由BFHF,得 =0,所以 + =0,解得yH= . 因此直线MH的方程为y=- x+ .,设M(xM,yM),由方程组 消去y, 解得xM= . 在MAO中,MOA=MAO|MA|=|MO|,即(xM-2)2+ = + ,化简得xM=1,即 =1,解 得k=- ,或k= . 所以,直线l的斜率为- 或 .,6.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为 . (1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E. 求证:BDE与BDN的面积之比为45.,解析 (1)设椭圆C的方程为 + =1(ab0). 由题意得 解得c= . 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m2,且n0. 直线AM的斜率kAM= ,故直线DE的斜率kDE=- . 所以直线DE的方程为y=- (x-m).直线BN的方程为y= (x-2).,联立 解得点E的纵坐标yE=- . 由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2. 所以yE=- n. 又SBDE= |BD|yE|= |BD|n|, SBDN= |BD|n|, 所以BDE与BDN的面积之比为45.,考点二 椭圆的几何性质 1.(2017浙江,2,5分)椭圆 + =1的离心率是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由题意得,a=3,c= ,离心率e= = .故选B.,2.(2015福建,11,5分)已知椭圆E: + =1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x- 4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值 范围是 ( ) A. B. C. D.,答案 A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不 妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得 ,即b1.所以e2= = = ,又0e1,所以e ,故选A.,评析 本题考查了椭圆的定义及性质.考查数形结合的思想.解题关键在于发现A,B两点关于 原点对称,从而得出|AF|+|BF|=2a.,3.(2017天津,20,14分)已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为 (0,c),EFA的面积为 . (1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|= c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PMQN,且直线 PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.,解析 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得 (c+a)c= . 又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 又因为00),则直线FP的斜率为 . 由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 + =1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x= ,y= ,即点Q的坐标为 .由已知|FQ|= c,有 + = ,整理得3m2-4m=0,所以m= ,即直线FP的斜率为 . (ii)由a=2c,可得b= c,故椭圆方程可以表示为 + =1. 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 消去y, 整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=- (舍去),或x=c.因此可得点P ,进而可得|FP|= = , 所以|PQ|=|FP|-|FQ|= - =c. 由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线 FP. 因为QNFP,所以|QN|=|FQ|tanQFN= = ,所以FQN的面积为 |FQ|QN|= ,同 理,FPM的面积等于 ,由四边形PQNM的面积为3c,得 - =3c,整理得c2=2c,又由c 0,得c=2. 所以,椭圆的方程为 + =1.,C组 教师专用题组 考点一 椭圆的定义和标准方程,1.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 ,过F2 的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,答案 A 由椭圆的定义可知AF1B的周长为4a, 所以4a=4 ,故a= , 又由e= = 得c=1, 所以b2=a2-c2=2, 则C的方程为 + =1,故选A.,2.(2016四川,20,13分)已知椭圆E: + =1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点,点P 在椭圆E上. (1)求椭圆E的方程; (2)设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM 与椭圆E交于C,D,证明:|MA|MB|=|MC|MD|.,解析 (1)由已知,得a=2b. 又椭圆 + =1(ab0)过点P , 故 + =1, 解得b2=1. 所以椭圆E的方程是 +y2=1. (2)证明:设直线l的方程为y= x+m(m0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由方程组 得x2+2mx+2m2-2=0, 方程的判别式为=4(2-m2),由0,即2-m20,解得- m . 由得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. 所以M点坐标为 ,直线OM方程为y=- x,由方程组 得C ,D . 所以|MC|MD|= (-m+ ) ( +m)= (2-m2). 又|MA|MB|= |AB|2= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (x1+x2)2-4x1x2= 4m2-4(2m2-2)= (2-m2), 所以|MA|MB|=|MC|MD|.,评析 本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.,3.(2015天津,19,14分)已知椭圆 + =1(ab0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为 . (1)求直线BF的斜率; (2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于 点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=|MQ|. (i)求的值; (ii)若|PM|sinBQP= ,求椭圆的方程.,解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率 = 及a2=b2+c2,可得a= c,b=2c. 又因为B(0,b),F(-c,0), 故直线BF的斜率k= = =2. (2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM). (i)由(1)可得椭圆的方程为 + =1,直线BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立, 消去y,整理得3x2+5cx=0,解得xP=- . 因为BQBP,所以直线BQ的方程为y=- x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x2-40cx=0,解得 xQ= . 又因为= ,及xM=0,可得= = = . (ii)由(i)有 = ,所以 = = , 即|PQ|= |PM|.,又因为|PM|sinBQP= , 所以|BP|=|PQ|sinBQP= |PM|sinBQP= . 又因为yP=2xP+2c=- c, 所以|BP|= = c, 因此 c= ,得c=1. 所以,椭圆方程为 + =1.,评析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知 识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想和化归思想解决 问题的能力.,4.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆 于P,Q两点,且PQPF1. (1)若|PF1|=2+ ,|PF2|=2- ,求椭圆的标准方程; (2)若|PQ|=|PF1|,且 ,试确定椭圆离心率e的取值范围.,解析 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ )+(2- )=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此 2c=|F1F2|= = =2 ,即c= ,从而b= =1. 故所求椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)如图,由PF1PQ,|PQ|=|PF1|,得 |QF1|= = |PF1|. 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a. 于是(1+ )|PF1|=4a,5.(2013课标,21,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内 切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.,解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶 点除外),其方程为 + =1(x-2). (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0) 时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|=2 . 若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q, 则 = ,可求得Q(-4,0), 所以可设l:y=k(x+4).,由l与圆M相切得 =1, 解得k= . 当k= 时,将y= x+ 代入 + =1,并整理得7x2+8x-8=0, 解得x1,2= . 所以|AB|= |x2-x1|= . 当k=- 时,由图形的对称性可知|AB|= . 综上,|AB|=2 或|AB|= .,思路分析 (1)计算出|MN|=2,由椭圆的定义判断出曲线C的形状(得出方程后注意检验).(2)判 断出圆P的半径最大时点P的坐标为(2,0),然后利用分类讨论思想求出|AB|.,易错警示 (1)没有限制x-2导致失分.(2)忽略y轴也是两圆的一条公切线导致漏解.,考点二 椭圆的几何性质 1.(2013课标,5,5分)设椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点,PF2 F1F2,PF1F2=30,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 在RtPF2F1中,令|PF2|=1,因为PF1F2=30,所以|PF1|=2,|F1F2|= .所以e= = = .故选D.,一题多解 设F2(c,0),则P ,由题意知|F1F2|= |PF2|,则2c= ,即2c= ,解得 = ,即离心率e= .,2.(2015浙江,15,4分)椭圆 + =1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y= x的对称点Q在椭圆上, 则椭圆的离心率是 .,答案,解析 令Q的坐标为(x0,y0),FQ的中点为M ,由点M在直线y= x上得bx0-cy0+bc=0.又 因为直线FQ垂直于直线y= x,所以 =- ,即cx0+by0-c2=0,联立得点Q ,把点Q的坐标代入 + =1并化简得a6=4c6+a4c2,两边同除以a6得4e6+e2-1=0,令 t=e2,则0t1,则4t3-t+2t-1=0,则t(2t+1)+1(2t-1)=0,解得t= ,因为0e1,所以e= .,3.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是 .,答案,解析 由已知条件易得B ,C , F(c,0),所以 = , = , 由BFC=90,可得 =0, 所以 + =0, 整理得c2- a2+ b2=0,又b2=a2-c2, 所以4c2-3a2+(a2-c2)=0, 即3c2=2a2, 所以 = ,所以e= = .,4.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为 + =1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0), 点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为 . (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MNAB.,解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 , 又kOM= ,从而 = . 进而a= b,c= =2b. 故e= = . (2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为 ,可得 = . 又 =(-a,b),从而有 =- a2+ b2= (5b2-a2). 由(1)的计算结果可知a2=5b2, 所以 =0,故MNAB.,评析 本题考查椭圆的简单几何性质及利用向量法证明线线垂直,较难.,5.(2014课标,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C: + =1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2 与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.,考点一 椭圆的定义和标准方程,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018湖北武汉模拟,4)曲线 + =1与曲线 + =1(k9)的 ( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等,答案 D 曲线 + =1表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率 为 .曲线 + =1(k9)表示焦点在x轴上的椭圆,其长轴长为2 ,短轴长为2 , 焦距为8,离心率为 .对照选项,知D正确.故选D.,2.(2019湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考,4)已知椭圆C: + =1(ab0)的 左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 ,过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若F1AB的周长为8,则 椭圆方程为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. +y2=1 D. + =1,答案 A 由椭圆的定义可知,F1AB的周长为4a, 4a=8,a=2,又离心率为 , 即 = ,c=1,则b2=3, 故椭圆方程为 + =1,故选A.,3.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰是边长 为2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,答案 C 由条件可知b=c= ,则a=2,所以椭圆的标准方程为 + =1.故选C.,4.(2019福建福州一模,11)已知F1,F2为椭圆 +y2=1的左、右焦点,P是椭圆上异于顶点的任意 一点,K点是F1PF2内切圆的圆心,过F1作F1MPK于M,O是坐标原点,则|OM|的取值范围为 ( ) A.(0,1) B.(0, ) C.(0, ) D.(0,2 ),答案 C 如图,延长PF2,F1M相交于N点,5.(2019安徽六安一中模拟四,10)点P在椭圆C1: + =1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+ 6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为 ( ) A.4 -4 B.4-4 C.6-2 D.2 -6,答案 D 设椭圆的左焦点为F1, 则|PQ|-|PF|=|PQ|-(2a-|PF1|)=|PQ|+|PF1|-4, 故要求|PQ|-|PF|的最小值, 即求|PQ|+|PF1|的最小值, 圆C2的半径r为2, 所以|PQ|+|PF1|的最小值等于|C2F1|-2= -2=2 -2, 则|PQ|-|PF|的最小值为2 -6,故选D.,解后反思 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题,解决问 题时需要对题中的目标进行转化,将未知的问题转化为熟悉问题,将“多个动点问题”转化为 “少(单)个动点”问题,从而解决问题.,6.(2019湖南郴州二模,15)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距 离为2 -2,离心率为 ,则椭圆E的方程为 .,答案 + =1,解析 椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c, a-c=2 -2,离心率e= , = , 解得a=2 ,c=2,则b2=a2-c2=4, 椭圆E的方程为 + =1.,知识总结 椭圆上的点到焦点的最小距离为a-c,最大距离为a+c.,考点二 椭圆的几何性质 1.(2019河南洛阳一模,4)已知椭圆 + =1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于 ( ) A.5 B.6 C.9 D.10,答案 C 由椭圆 + =1的长轴在y轴上,焦距为4,可得 =2,解得m=9.故选 C.,名师提醒 椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上标准方 程中y2项的分母较大.,易错警示 焦距为2c,不要误认为c.,2.(2019湖北1月联考,5)已知椭圆C: + =1(a4)的离心率是 ,则椭圆C的焦距是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4,答案 C 由e= = 得a= c, 所以c2=a2-b2=3c2-16,所以c2=8, 因此焦距为2c=4 .,3.(2019河北衡水二模,3)已知椭圆 + =1(ab0)的离心率为 ,则 = ( ) A. B. C. D.,答案 D e= = = ,8a2=9b2, = .故选D.,4.(2018河南六市一模,4)已知点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为 焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为 ( ) A. B. C. D.,答案 A A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A(-3,2),连接AB交直线l于点P,则此时椭圆C的 长轴长最短,为|AB|=2 ,所以椭圆C的离心率的最大值为 = .故选A.,5.(2019江西吉安一模,4)如图,用与底面成45角的平面截圆柱得一截口曲线,即椭圆,则该椭圆 的离心率为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 设圆柱的底面圆的直径为R,则椭圆的短轴长为R. 截面与底面成45角,椭圆的长轴长为 R, 椭圆的焦距为 = , 则e= = = .,6.(2019江西模拟,11)如图所示,A1,A2是椭圆C: + =1的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M 不与A1,A2重合,点N满足NA1MA1,NA2MA2,则 = ( ) A. B. C. D.,答案 C 解法一:设M(x0,y0),N(x1,y1),则直线MA1的斜率为 = , 由于 MA1NA1,所以直线NA1的斜率为 =- , 于是直线NA1的方程为y=- x+2. 同理,NA2的方程为y=- x-2, 联立消去y,得x1= ,因为M(x0,y0)在椭圆 + =1上,所以 + =1, 从而 -4=- , 所以x1=- x0, = = .故选C. 解法二:由题意以及选项可知 是常数, 故取M为椭圆的左顶点,由椭圆的性质可知N在x的正半轴上,如图,A1(0,2),A2(0,-2),M(-3,0), 由OMON=O , 可得ON= , 则 = = = = . 故选C.,B组 20172019年高考模拟专题综合题组 (时间:35分钟 分值:54分) 一、选择题(每题5分,共25分),1.(2018湖南常德模拟,8)椭圆C1: + =1与双曲线C2: - =1(ab0)的离心率之积为 ,直 线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为 ( ) A. +y2=1 B. + =1 C. + =1 D. + =1,答案 C 椭圆C1: + =1的离心率e1= = , 双曲线C2: - =1的离心率e2= = , 由e1e2= ,得 = ,则a= b, 由 得3x2+12x+18-2b2=0, 由=122-43(18-2b2)=0, 解得b2=3,则a2=6, 椭圆C1的方程为 + =1,故选C.,思路分析 利用题意与椭圆及双曲线的离心率公式,即可求得a= b,将直线与椭圆方程联立, 由=0,即可求得b2的值,从而得a2的值,进而得出答案.,2.(2017江西上饶一模,10)设F1,F2为椭圆C1: + =1(a1b10)与双曲线C2: - =1(a20,b20) 的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,F1MF2=90,若椭圆的离心率e1= ,则双曲线C2的离 心率e2为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 设|F1M|=m,|F2M|=n,mn, 则m+n=2a1,m-n=2a2,m2+n2=4c2, 可得 + =2c2, 可得 + =2, 又e1= ,所以e2= .故选B.,一题多解 在椭圆C1中,有 = tan = ,在双曲线C2中,有 = = ,所 以 = ,即 -c2=c2- ,可得 + =2c2,可得 + =2,又e1= ,所以e2= .故选B.,3.(2019江西赣州模拟,10)已知A、B是椭圆E: + =1(ab0)上的两点,且A、B关于坐标原点 对称,F是椭圆的一个焦点,若ABF面积的最大值恰为2,则椭圆E的长轴长的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 D 如图所示, 设AB的方程为ty=x,F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 可得y2= =-y1y2, ABF的面积S= c|y1-y2|= c =c cb,当t=0时取等号. bc=2.a2=b2+c22bc=4,a2.椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.,4.(2019安徽蚌埠一模,10)已知F1,F2是椭圆 + =1的左,右焦点,点A的坐标为 ,则F1AF2的平分线所在直线的斜率为 ( ) A.-2 B.-1 C.- D.-,答案 A 解法一:F1,F2是椭圆 + =1的左,右焦点,F1(-1,0),F2(1,0),又A , AF1x轴, |AF1|= ,则|AF2|= ,点F2(1,0)关于l(F1AF2的平分线所在直线)对称的点F2在线段AF1的延 长线上, 又|AF2|=|AF2|= ,|F2F1|=1, F2(-1,-1),线段F2F2的中点坐标为 , 所求直线的斜率为 =-2. 故选A.,5.(2019广东深圳一模,11)已知F1,F2是椭圆 + =1(ab0)的左,右焦点,过F2的直线与椭圆交 于P,Q两点,PQPF1,且|QF1|=2|PF1|,则PF1F2与QF1F2的面积之比为 ( ) A.2- B. -1 C. +1 D.2+,答案 D 解法一:可设|PF1|=t,则|QF1|=2|PF1|=2t, 由椭圆的定义可得|PF2|=2a-t,|QF2|=2a-2t, |PQ|=4a-3t,