立体几何求角.doc

立体几何求角一解答题（共8小题）1如图，在正四棱锥PABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点（1）求证：PCBD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值2如图，已知ABC和BCD所在平面互相垂直，且BAC=BCD=90，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将EFD向上翻折使得D与A重合（）求证：ABCF；（）求直线AE与平面ABC所成角3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点（1）求证：DEBC；（2）求三棱锥EBCD的体积4如图：ABCD是平行四边形，AP平面ABCD，BEAP，AB=AP=2，BE=BC=1，CBA=60（1）求证：EC平面PAD；（2）求证：平面PAC平面EBC；（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值5如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：平面PMC平面PCD；（3）求点D到平面PMC的距离6如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（）求证：PD平面PBC；（）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值7如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACB=90，BAC=60，PA=AC，M为PB的中点（）求证：PCBC（）求二面角MACB的大小8如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若DAB=60，AB=2，AD=1（1）求证：PABD；（2）若PCD=45，求点D到平面PBC的距离h立体几何求角一解答题（共8小题）1如图，在正四棱锥PABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点（1）求证：PCBD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，PBC，PDC都是等边三角形，（2分）E是棱PC的中点，BEPC，DEPC，又 BEDE=E，PC平面BDE（5分）又BD平面BDE，PCBD（6分）解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE 四边形ABCD为正方形，O是AC的中点（8分）又E是PC的中点OE为ACP的中位线，APOEBEO即为BE与PA所成的角 （10分）在RtBOE中，BE=，EO=，（12分）cosBEO=直线BE与PA所成角的余弦值为（14分）2如图，已知ABC和BCD所在平面互相垂直，且BAC=BCD=90，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将EFD向上翻折使得D与A重合（）求证：ABCF；（）求直线AE与平面ABC所成角【解答】解：（1）面ABC面BCD，面ABC面BCD=BC，BCD=90CFBC，FC面ABC，ABCF（5分）（2）设，设BE=t，则ED=EA=2t，取BC的中点H，连接HE，AH，又（7分）又AH面BCD，AE2=AH2+EH2，（2t）2=+t2t+，点E是BD的中点，（10分）HEBC，HE面ABC，BEA为所求角的线面角（12分）（14分）所以直线AE与平面ABC所成角为（15分）3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点（1）求证：DEBC；（2）求三棱锥EBCD的体积【解答】证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EFBCB1的中位线，EFBB1，EF=BB1，ADBB1，AD=BB1，EFAD，EF=AD，四边形ADEF是平行四边形，DEAF，AB=AC，F是BC的中点，AFBC，DEBC（2）BB1平面ABC，AF平面ABC，BB1AF，又AFBC，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，BCBB1=B，AF平面BCC1B1，DE平面BCC1B1，AC=5，BC=6，CF=3，AF=4，DE=AF=4BC=BB1=6，SBCE=9三棱锥EBCD的体积V=SBCEDE=124如图：ABCD是平行四边形，AP平面ABCD，BEAP，AB=AP=2，BE=BC=1，CBA=60（1）求证：EC平面PAD；（2）求证：平面PAC平面EBC；（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为BEPA，BE平面PAD，PA平面PAD，所以BE平面PAD，同理BC平面PAD，所以平面PAD平面EBC，因为EC平面EBC，所以EC平面PAD（4分）（2）证明：因为AB=2，BC=1，CBA=60，由余弦定理得，AC=，所以由勾股定理逆定理BCA=90，所以ACBC，又因为BE平面ABCD，所以BEAC，则有AC平面EBC，AC平面PAC所以平面BEC平面PAC（8分）（3）解：作CHAB于H，连结PH，又因为CHPA，所以CH平面PABE，所以HPC即为线面角，（13分）5如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2（1）求证：MN平面PAD；（2）求证：平面PMC平面PCD；（3）求点D到平面PMC的距离【解答】（1）证明：设PD的中点为E，连接AE、NE，由N为PC的中点知EN平行且等于DC，又ABCD是矩形，DC平行且等于AB，EN平行且等于AB又M是AB的中点，EN平行且等于AM，AMNE是平行四边形MNAE，而AE平面PAD，NM平面PADMN平面PAD（2）证明：PA=AD，AEPD，又PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA，而CDAD，CD平面PADCDAE，PDCD=D，AE平面PCD，MNAE，MN平面PCD，又MN平面PMC，平面PMC平面PCD（3）解：设点D到平面PMC的距离为h，则，点D到平面PMC的距离h=6如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2（）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（）求证：PD平面PBC；（）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值【解答】解：（）如图，由已知ADBC，故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，由已知，得，故所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为证明：（）因为AD平面PDC，直线PD平面PDC，所以ADPD又因为BCAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC解：（）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BCBF=2又ADDC，故BCDC，在RtDCF中，可得所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为7如图，已知三棱锥PABC，PA平面ABC，ACB=90，BAC=60，PA=AC，M为PB的中点（）求证：PCBC（）求二面角MACB的大小【解答】解：（）证明：由PA平面ABC，PABC，又因为ACB=90，即BCACBC面PAC，PCBC（）取AB中点O，连结MO、过O作HOAC于H，连结MH，因为M是PB的中点，所以MOPA，又因为PA面ABC，MO面ABCMHO为二面角MACB的平面角设AC=2，则BC=2，MO=1，OH=，在RtMHO中，tanMHO=二面角MACB的大小为3008如图，四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若DAB=60，AB=2，AD=1（1）求证：PABD；（2）若PCD=45，求点D到平面PBC的距离h【解答】（1）证明：AD=1，AB=2，DAB=60，BD2=AB2+AD22ABADcos60=3，AD2+BD2=AB2，ADB