积的变化规律.doc

积的变化规律薛铮（北京市西城区黄城根小学）教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书数学四年级上册第三单元第58页例4。教学目标：1.探索积的变化规律，尝试用数学语言进行描述，并进行简单运用。2.经历“积的变化规律”的发现、表达和应用的过程，初步获得探索规律的方法和经验，发展概括、推理能力。3.感受探索、运用规律的乐趣。教学过程：一、从生活中来1.一只小熊乘着热气球以同样的速度上升。教师分别问：小熊飞2秒、4秒、6秒、8秒，能飞多高？【引导学生在具体情境中感悟：速度不变时，上升的高度随着时间的变化而变化。】二、探索规律1.发现规律。观察两组算式，借助学习建议，寻找积的变化规律，并全班交流。26=12 52=10106=60 54=201006=600 512=60请学生再举一组符合这样规律的算式。【引导学生从若干组不同的的算式中，自己探索积的变化与谁的变化有关、有什么关系，并把它们表示出来，从而初步感悟积的变化规律，为抽象、概括规律打好基础。】2.表达规律。师：请你把发现的规律记录下来。全班交流不同的记录方式，教师借此整理板书，得到积的变化规律。【引导学生个性化的表达，使内隐的认识外显化，并在全班交流中，逐渐完善对规律的认识，发展概括、推理能力。】3.应用规律。小青蛙“吃”数：吃进的数与嘴里的数相乘，得到“吐”出来的数。已知：6=222抢答：24=？3=？问：方块里的数不知道，怎么知道结果的呢？三、到生活中去1.回顾学习过程。引导学生“回头看”，回顾整个学习过程。【引导学生有意识的回顾学习过程，初步获得探索规律的一般方法。】2.借助图，编故事。隐去热气球的单位名称等，请学生编故事。【拓展对积的变化规律的认识，感悟“变”与“不变”存在的广泛性，为进一步探索商不变性质等规律积累相关经验。】垂直与平行章雅玲（上海市静安区第一中心小学）学习目标：知识与技能：1.结合具体情境，通过动手操作，了解同一平面内两条直线的位置关系。2.知道“互相平行”、“互相垂直”、“垂线”、“垂足”的含义。3.能正确判断互相平行和互相垂直。过程与方法：1.培养周密思考的习惯，渗透数学推理。2.在比较、分析、综合的观察与思维中渗透分类的思想方法。情感、态度与价值观：1.养成学以致用的习惯。2.体会数学的应用与美感。学习过程：一、复习与导入1.了解关系。（1）知道什么是关系吗？（2）人和人之间存在关系，数学中也有关系。（3）今天要来研究数学中的一种特殊关系。先来猜个谜。【设计意图】新课的导入，以“关系”一词的讨论开始。人与人之间的关系是学生所熟悉的，数学中也有关系，比如“6和2”之间，就有倍数关系、相差关系等等。今天研究的数学关系又是什么呢？老师在此埋下伏笔，请同学们猜个谜语。新课伊始，通过谈话师生关系进一步拉近，猜谜语的噱头又充分调动了学生的学习兴趣。2.认识“同一平面”。师：我用长方形的纸张折了一个长方体纸筒，每个面上面写了一个字（无始无终）。你们看到了吗？现在打开这张纸，你们发现了什么？生：几个字都到了同一个平面上。师：用“无始无终”打一个我们学过的图形。（直线）为什么是直线？今天我们就来研究同一平面内两条直线的位置关系。【评析：这个环节是非常精心设计的一个环节，没有一点多余的地方，从同一平面到直线，设计的非常到位。长方体的四个侧面展开变成了一个平面，引出了同一个平面，并展开了今天研究的在同一个平面内两条直线的位置关系，非常好地让学生感受了今天要研究的内容。】【设计意图】谜语的谜面“无始无终”写在了一个长方体的4 个侧面上，打一个几何图形。通过谜语引出了直线及其特点。同时把这个长方体展开，引出“同一平面”的概念，并导入今天的课题：研究同一平面上两条直线的位置关系。二、探究与归纳1.学生主动探究把纸看着平面，用两种不同颜色的笔画两条直线； 看看，同一平面内的两条直线的位置是怎样的？学生动手画出同一平面内两条直线，师提醒孩子：还有其他画法吗？画好的同学看看小组内同学画的，交流交流。2.交流反馈，进行分类。 师：画完了吗？哪位同学愿意上来把你的想法展示给大家看看？ （个人展示，将画好的图拿上来交流） 师：仔细观察，你画的跟他一样吗？有不一样的，可以上来补充。 师：同学们的想象力可真丰富，画出来这么多种情况。你能把他们分分类吗？为了叙述方便，我们可以先给这些作品编上号。 出示7组直线， 师：你能根据直线的位置关系把这七组直线分类吗？ 生1：和交叉了分为一类 没有交叉分为一类。（1）认识相交师：刚才老师听到一个词“交叉”，两条直线“交叉”了，也就是两条直线相碰了，用数学语言应表述为两条直线“相交”了。 生2：相交了分为一类 没有相交分为一类，因为两条直线无限延长后也会相交。 师：两条直线无限延长后真的会相交吗？学生动用验证。 师：两条直线无限延长后真的相交了，两条直线也可以和分为一类。 师：两条直线相交的点，叫着交点，有几个交点？（2）认识平行。思考：剩下的 ，想象一下，延长后会不会相交？有没有交点？像这样，在同一平面内不相交的两条直线就叫平行线。总结：同一平面内两条直线的位置关系，除了相交，就是平行。【设计意图】对于解决同一平面内两条直线位置关系这一问题，首先让学生自己动手操作，把纸看做平面，在纸上任意画两条直线，并思考会有哪些不同情况。接着对各种情况进行分类。在分类过程中学生的不同观点不断碰撞，通过师生谈话交流，最终解决同一平面内两条直线的位置关系就是相交与平行两种情况。这一概念的建立过程，从画图到交流，学生通过自己的探究活动，生成了新知识。三、深化对垂直与平行的理解3、 深化对垂直与平行的理解 1、揭示垂直的概念师：咱们再来看看两条直线相交的情况。刚才有同学说，两条直线相交形成了角，有哪些角?(锐角、钝角、直角) 出示两个小棒，转转看，你发现了什么？师：下面请你按角的大小，把相交的情况再分分类。生：和 两条直线互相垂直了。 师：你怎么知道？ 生：用量角器或三角板量 师：同学们真不简单，知道用科学的方法验证，让我们一起来量一量，（用三角板的直角去量） 动态演示： 2. 看书第65页自学并提出要求：画出关键句师：相交成直角的两条线叫什么？ 师：像这样的两条直线，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （板书：成直角互相垂直）（课件出示垂直的概念） 3、巩固：说说这组线的关系。a b师：如图中，我们可以说：直线a和直线b互相垂直，直线a是直线b的垂线，直线b是直线a的垂线，它们的交点叫做“垂足”。 4、揭示平行的含义 师：两条直线无限延长后真的不相交吗？动手验证一下。 学生活动后汇报： 生：不会相交，因为我把两条直线无限延长之后没有相交。 课件动态演示： 师：你还有什么其他的方法可以验证这两条直线不相交？ 借助方格图，课件演示，发现这两条直线之间的距离相等。5、 看书第65页自学：什么叫平行？师：在数学上，不相交的两条直线就叫做平行线，也可以说，这两条直线互相平行。（板书：互相平行）（课件出示平行的概念） 师：“互相”是什么意思呢？生：必须有2条或2条以上的直线，才说互相，一条直线不能说互相平行。 师：同学们真了不起，发现了在同一平面内不相交的两条直线是平行线，也可以说这两条直线互相平行。如图中，直线a和直线b互相平行，直线a叫做直线b的平行线，直线b叫做直线a的平行线。 6、思考：为什么平行要强调“同一平面 ”？实物演示并讲解。 四、巩固练习，提升对垂直与平行的认识 1、选一选：判断下面各组两条直线的位置关系 3.双杠题中的平行 师：从体育器材双杠中，你可以找到多少组平行的木条？生1：双杠的两条横杠互相平行。生2：双杠的横杠和支架互相垂直。生3：对角支架生4：2.长方体中的垂直与平行师：长方体你们认识吗？请你在长方体里找找互相平行和垂直的线段，前提是先确定一个平面。 学生边找边说。 师：同学们说的很好，那这样两条线段，你能说说他们的位置关系吗？ 实物演示。 师：他们相交吗？平行吗？ 生：不相交，也不平行。 师：刚才我们说不相交的两条直线叫做平行，那么他们又为什么不平行呢？5.道路图中的平行与垂直。从中你能找到互相垂直与平行的道路吗？ 师：要注意，刚才同学们说的两条直线的位置关系都是在同一个平面内，而这两条直线不在同一个平面内。所以，我们要给今天的内容加上一个前提：同一平面。【设计意图】练习的设计从概念的巩固到知识的运用，从抽象的几何图形走向生活实践，从观察到动手，运用不同的典型事例帮助学生巩固垂直与平行的概念，加深理解。尤其是在双杠中找互相平行的木条，给予学生较大的思考空间，以充分激发学生的数学潜能。最后一道练习，作为机动，可以留作回家作业。 五、课堂总结 师：这节课，你有什么收获？ 长方体和正方体的认识吴冬冬（江苏省南通师范学校第二附属小学）教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册第1011页。教学目标：1.使学生通过观察、操作等活动认识长方体、正方体，知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高（或棱长）的含义，掌握长方体和正方体的基本特征。2.使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。3.使学生进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。教学重点：帮助学生掌握长方体和正方体的基本特征；增强空间观念。教学难点：使学生认识长方体、正方体的特征。教具准备：长方体和正方体教具各一个、长方体框架一个、课件；学具准备：正方体、长方体的物体各一个、土豆和小刀、若干小棒和三通接头。教学过程：一、切物成形，导入新课学生动手切土豆，认识“面”、“棱”、“顶点”。先切一刀。摸一摸新切的面，比较和切之前有什么变化。再切一刀，观察发生了什么变化。指一指新增的边，并想一想它是怎么形成的。揭示：两个面相交的线叫做棱。切第三刀，观察又有什么新变化。指一指新增的点，并数一数它是由几条棱相交而成的。揭示：三条棱相交的点叫做顶点。继而通过屏幕演示，将土豆切成一个长方体。二、循序渐进，探究特征1.自主观察，了解“面”、“棱”、“顶点”的数量。（1）独立数一数长方体“面”、“棱”、“顶点”的数量。（2）交流结果和数法。发现：长方体有6个面、12条棱、8个顶点。交流：长方体面的个数你们是怎么数的？长方体棱的条数你们又是怎么数的？（3）提出研究角度：这堂课将从面、棱、顶点三个方面继续研究长方体。2.渐次展开，探究长方体的特征。（1）动手操作，探究“棱”的特征。以高楼大厦的建造一般是以长方体框架为基础引入，提出让我们也来当一回“小小建筑师”，试着用小棒来制作长方体框架，从中寻找长方体更多的奥秘。活动提示。材料说明：材料中配有颜色不同的小棒和连接小棒的接头。学会合作：四人小组合作完成一个长方体框架。自主探究：仔细观察完成的作品，结合活动单在小组内交流你的发现。动手操作。汇报交流。通过交流发现：长方体相对的棱长度相等。（2）直觉判断，认识直观图。初步认识。相机出示直观图，引导学生观察图中的“面”和“棱”。直觉判断。寻找看不见的棱，知道在直观图中用虚线来表示看不见的棱。形成表象。在观察了解的基础上，闭上眼睛在脑海里想象长方体的样子。（3）变式呈现，理解长、宽、高。逐次擦去棱，想象长方体。先擦去一条，展开想象。再擦去三条，继续想象。最后，发现最少保留三条不同方向的棱就可以想象出长方体原来的样子。相机揭示：长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。辨认长、宽、高。变换教具的摆放位置，指出长方体的长、宽、高分别是哪些棱的长度。（4）展开想象，探究“面”的特征。根据长、宽、高想象长方体的6个面，选择合适的长方形配面。交流演示，引导发现面的特征：这个长方体的6 个面都是长方形，相对的面完全相同。变化棱的长度，认识特殊的长方体。动态演示变化过程。观察发现：长方体也可能有两个相对的面是正方形，其余四个面完全相同。寻找身边这样的特殊长方体。3.自主探究，发现正方体的特征。（1）继续变化棱长，得到正方体。 （2）引导学生从面、棱、顶点三个方面自主探究正方体。（3）讨论交流正方体的特征：6个面，都是正方形，完全相同；12条棱，长度都相等；8个顶点。相机揭示棱长的定义。（4）比较发现：正方体是特殊的长方体。并说一说理由。相机出示集合图。4.概括总结，揭示课题。揭示课题：通过前面的研究，我们从面、棱、顶点三个方面进一步认识了长方体和正方体。下面我们就运用所学的知识来解决一些生活问题。三、巩固练习，发展能力1.链接生活，运用新知。出示冰箱的外形尺寸（cm）：7060180。思考：看到这组数据，你知道这台冰箱的哪些信息？你还知道这台冰箱哪些面的面积呢？2.展开想象，正确选择。根据所给数据选择对应物体。（1）长、宽、高分别是10 米、2.5 米、3 米教室公共汽车家用冰箱（2）长、宽、高分别是6 厘米、6 厘米、6 厘米魔方粉笔盒骰子（3）长、宽、高分别是20 厘米、15 厘米、1 厘米数学书新华字典文具盒（4）当长、宽、高分别是20 厘米、15 厘米、0.1 毫米，猜猜是什么物体？四、畅谈收获，总结课堂谈话：通过今天的学习，有收获吗？现在，如果请你来介绍长方体和正方体，你有什么话想说呢？小结：本节课同学们经过自主探索，在操作中探究了棱的特征，又由棱联想到面，进一步认识了长方体，并独立探究出正方体的特征。真分数和假分数张国良（浙江省湖州市南浔区锦绣实验学校）教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册第6570页。教学目标：1.结合具体情境，让学生经历假分数的产生过程，能正确辨认真、假分数；2.采用数形结合方式，帮助学生从不同层面准确把握真、假分数的本质特征，进一步建构分数概念；3.感受数学知识理解的递进过程，积累画图、分类等数学经验。教学重点：1.通过分数单位的不断叠加，体验假分数的产生；2.在比较辨析中理解真、假分数的意义。教学难点：理解假分数的意义。教学设想：“真分数与假分数”的教学，几套教材一般都安排在“分数的意义”、“分数与除法关系”内容的教学之后，编排上很少涉及假分数如何产生的内容，学生只是知道分子等于或大于分母的叫假分数，但许多学生由于分数意义的负迁移，心存疑惑：如5/4,平均分成4份，怎么可以取出5 份呢。所以，本节课试图借助“平均分”，沟通“分数与除法”，用除法算式表示平均分的过程，用分数表示平均分的结果，在分数单位不断累加的过程中，让学生初步理解假分数的产生，为以后分子大于100的百分数的学习打下基础。1.直面学生学习的难点，加强教学针对性。“分数意义”的概念，无论是一个物体还是一群物体作为单位“1”，学生看到的都是部总关系的问题，所以呈现的分数都是小于1的。如果以此为基础，学生对假分数的理解就会产生负迁移。对于5/4是不是分数？多数学生感到疑惑：把单位“1”平均分成4 份，怎么能取出5份？这一认知冲突便是学生学习本节课真实的起点，也是教学中的一个难点。所以本节课设计的核心问题是：如何能找到合适的问题和材料让学生体验假分数的产生过程？因此，我们不回避问题，导入时开门见山地抛出问题，提出：5/4究竟是不是分数？如果是分数，那是怎么来的？以此为展开的问题，有针对性地设计整个教学进程。2.整体着眼重组教材，以“分数单位累加的方式”突破难点。纵观几套教材的整体结构，除法含义的编排只涉及被除数大于等于除数的，分数意义的编排只涉及分子小于分母的。而本节课试图在理清“分数与除法”的关系时，以“平均分”为基础，不再受被除数与除数大小关系的影响，更突显了概念的普适性和一般性。把“真分数与假分数”的概念与“分数与除法”内容进行整合，仅仅把真假分数作为分数概念的丰富和完善，是对“部总关系”基础上认识分数的拓展。本课借助“分圆饼”这一活动，在不知道圆饼总数的前提下，才有可能把圆饼一个一个地平均分。如果已知了圆饼的总数，学生借助于二、三年级除法的基础，那就很自然地变成了有余数的除法，只是把余数部分再平均分，这样产生的一定是带分数。所以在本节课的设计中采用了总数不告知的办法，一个一个呈现，每个圆饼都要平均分给4 个小朋友，一直到9 个为止。每个人依次分别分得多少个？”让学生在活动中发现：分饼的过程可以用除法表示，分得的结果可以用分数表示；每多分一个圆饼，每人分得的结果就会增加一个1/4，增加到一定的个数，就产生了5/4。以此为路径，让学生看到：分了N 个圆饼，每个人就分到N 个1/4, 写成分数就是n/4.引导学生感知假分数的产生和含义，从而突破了教学难点。3.暴露学生思维过程，力求构建诊断处方型的课堂。经过课前调查，大部分学生对假分数的认知是茫然的。如果把课本的例2 或课后练习（如下图），让学生用分数表示出阴影部分，学生基本上填的是真分数。本课在设计中以5/4为载体，分几个层次对假分数意义进行建构。一是学生发表5/4是不是分数的认识，充分暴露原有认知对假分数产生和意义理解带来的负面迁移；二是用图或其它方式表示学生心目中的5/4,（经试教调查，大部分学生不会表示或表示不到位）；三是通过“分饼”活动，体验分数单位叠加，感知5/4的产生过程；四是学生对先前所表示的5/4的作品进行重新评析和修改完善。如果课堂时间允许的话，最后还可以借助数轴，沟通真、假分数（带分数）联系。整个构建过程力图做到充分展示学生思维，暴露学生困惑，由表及里、层层递进，促使学生对假分数的产生和意义理解由茫然困惑逐渐走向清晰完整，对数学知识理解的递进过程有所感受。教学过程：一、复习引入，制造认知冲突1.同学们，我们已经学习了“分数的意义”，今天我们进一步认识分数。说说分数1/2、4/4表示的意义。2.板书5/4。问：它是分数吗？学生各抒己见。3.请你尝试着在白纸上用图或其它的方式把5/4表示出来。4.初步反馈。二、活动体验，感知假分数的产生1.课件出示：把1个圆饼平均分给4个小朋友，每人分到几个？用算式怎么表示？板书：14=1/4,1个1/42.依次把2-9 个圆饼平均分给4 个小朋友，每人分别分到几个？算式分别怎么表示？根据学生回答，教师依次板书。3.仔细观察这些算式，你有什么发现？（1）从左往右观察，得出分数和除法的关系。（2）从上往下观察，分数单位一个一个不断叠加，叠加到5 个1/4后产生5/4。4.请你们在这些分数中划一条线，把它们分分类，并说说你们的想法。指出：像1/4,2/4,3/4这样的分数叫做真分数，5/4,6/4这些分数统称为假分数。5.揭示真、假分数概念。三、比较辨析，深入理解假分数意义1.请你再写3个假分数。学生写，交流汇报。2.板书()/6。猜猜老师写的是真分数还是假分数？如果是真分数可能是几？如果是假分数可能是几？填得完吗？追问：如果是6/()，什么情况下是真分数？什么情况下是假分数？3.练习填空。（1）填一填。4/7里面有（ ）个1/7（ ）个1/7是8/7（ ）个1/7是（ ）/7（2）用分数表示各图的涂色部分，并判断是真分数还是假分数，在假分数后面打上。（图略）4.讨论辨析下图是5/8还是5/4,再次评析学生刚上课时所画表示5/4的图是否合理。四、总结孕伏，利用数轴沟通真、假分数联系（机动）1.通过这节课的学习，你有哪些收获？2.有同学说“假分数一定大于真分数”。你认为呢？3.结合数轴进一步理解真、假分数之间联系，构建分数体系。分数乘分数刘万元（山东省泰安师范附属学校）教学内容：青岛版义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册第67页第一单元小手艺展示分数乘法信息窗2。教学目标：1.结合现实情境和直观图示，理解一个数乘分数的意义，探索并掌握分数乘分数的计算方法，理解算理。2.在操作、观察、归纳、反思等活动中，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，发展合情推理的能力和演绎推理的意识，培养研究问题的规划能力和反思意识。3.经历分数乘分数的意义和计算方法的探索过程，渗透数形结合思想，积累研究分数问题的数学活动经验，获得成功的学习体验。教学过程：一、创设情境，引出学习内容1.创设情境：王芳是班里的手工编织能手，每小时能织围巾1/4米。2.提问题，列式。3.问：为什么都用乘法计算？4.引出课题。二、理解意义，初步体会算法1.用画图的方法研究1/4*1/2（1）规划研究过程。（2）自主研究。（3）交流展示，评价质疑。（4）课件演示，规范过程。2.自主用画图的方法研究1/4*2/3（1）自主研究，展示交流。（2）课件演示，板书得数。3.自主研究3/4*2/5（1）创设情境：李丽是手工编织比赛的冠军，她每小时能织3/4米，2/5小时织多少米？（2）列式。（3）自主研究，展示交流。（4）课件演示，板书得数。4.总结一个数乘分数的意义。三、猜想算法，理解算理1.猜想算法。（板书：4/7*3/5）它实际是求什么？你能猜一猜积是多少吗？为什么这样猜？有什么根据吗？2.初步理解算理。演示课件：4/7的分母是7，就表示每行有7个小格；3/5的分母是5，就表示有这样的5行。两者相乘就能算出把单位“1”平均分成了多少份。4/7的分子是4，就表示每行取4个小格；3/5的分子是3，就表示取了这样的3行。两者相乘就能算出从单位“1”里面取了多少份。3.巩固算理。列示：3/8*5/6师：分母乘分母算的是什么？分子乘分子呢？4.得出结论：分母乘分母，分子乘分子。四、巩固练习计算7/66*11/14。（写出计算过程，能约分的要约分）计算12/5*15/4。（可以先约分再计算）五、回顾学习过程，总结数学思想方法1.回顾学习过程：举例猜想验证结论应用。2.总结方法：数形结合。六、总结这节课我们主要研究了什么？有什么新的感受和收获吗？我们不但收获了知识的果实，还收获了方法的果实。而且还能发现并提出问题，积极动脑思考，每个同学都能积极主动地参与学习过程，也愿意与他人一起合作学习。相信每个同学都会满载而归，课后把自己的收获和自己的小伙伴一起分享。执教的教师们充分尊重学生的主体地位，为学生提供了充分的数学活动时间的空间。使学生在经历数学知识的形成过程中，进行自主探究。如山东的刘万元老师执教的“分数乘分数”一课，教师让学生自己想办法规划研究过程，设计研究方案。按照“规划研究过程-自主研究-交流展示、评价质疑-课件演示、规范过程”的教学思路，让学生在经历观察、操作、探究、发现、质疑、交流、反思、归纳等学习过程中，自主探索并掌握分数乘分数的计算方法，理解算理。纵观这16节课，教师们都把学生作为教学的中心，能以生为本，设计教学。教师不再是课堂的主宰，师生之间是一种民主平等和谐的关系。在学生自主探究的过程中，教师充当的是引路人，是学生的参谋。学生被充分尊重，这样激发了学生的主人翁意识，学生的探究意识和主动参与意识大大提高，学生智慧的火花在课堂中绽放了精彩。如江苏的吴冬冬老师执教的“长方体和正方体的认识”一课，通过切物成形，导入新课。学生动手切土豆，在切的过程中，学生通过看一看、摸一摸、观察比较每一次的变化，继而认识面、楞、顶点。具体过程为：学生切第一刀，摸一摸新切的面和切之前有什么变化，从而认识平