求通项公式专题.doc

通项公式求解方法大全:我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、观察法已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。例1.已知数列试写出其一个通项公式：_（答：）例2、(1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，可用项数表示为分子是数列1，3，7，15，31， 每一项比对应的分母少1，可用项数表示为所以，所求的数列的通项公式是(2)这个数列即：其结构特征是：分母与项数相同；分子是2加上或减去l，即各项的符号为负、正相间，即为所以，所求的通项公式是(3)观察数列的项，这个数列可以按分母、分子由小到大重新排列为：分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为(4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为(5)通项公式是(6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：二、递推公式法类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知满足，而且，求通项。解 是首项为1，公差为2的等差数列， 例2. 已知中，求通项。解 由已知可得 ， 令，代入后个等式迭加，即 。例3.在数列中，=1， (n=2、3、4) ，求的通项公式。 解： 这n-1个等式累加得：= 故 且也满足该式 ().类型2 解法：形如 (n=2、3、4)，且可求，则用累乘法求。例1、 已知满足，而，求通项。解 是常数， 是以2为首项，公比为的等比数列。 例2、在数列中，=1，求。解：由已知得 ，分别取n=1、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=123(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式 ().例3、 在数列中，求通项公式。解法一： 解法二：由 类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1、 数列中，对于有，求通项。解法1 由已知递推式得 两式相减得 因此数列是公比为3的等比数列，其首项为 解法2 上法得是公比为3的等比数列，于是有把个等式相加得。解法3 设递推式化为 整理比较得，即 于是得 所以是公比为3的等比数列，其首项为 ，即。解法4 评注 解法1、2、3称为构造法，但法1与法3构造出的等比数列不同，各有千秋；解法4称为迭代法，对很多递推式求通项公式都适用，应认真理解掌握。类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例1、 已知中，求通项解 在两边同乘以得 ，令 则 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。方法：变形为，即，若有解，解得，于是数列是公比为的等比数列，即转化为前面的类型，从而达到求解的目的。例1、 已知数列中，求解：由， 故化为 所以数列是公比为的等比数列，首项是 所以， 所以 类型6递推式为。例1、 在数列中，表示其前项的和，且，求通项。解 当时，。 当时，又，故类型7 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例1、 在数列中，表示其前项的和，且，求通项。解 由 两式相减得 即 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故得。类型8 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例1数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.类型9解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例1、 在数列中，求通项公式。解 由题意知数列中的各项均为正数，即，对等式取以3为底的对数，得，则有，进而可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。类型10 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例1、 在数列中，当时，求通项。解 由， 所以是以为首项，以为公差的等差数列。 所以，即。评注：在递推关系，若，对其取倒数后得到等差数列；若，取其倒数后得到一个新的递推式，其解法于后。例2、 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。解 将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.类型11 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。类型12 不动点法 对于数列，是常数且） 其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例1已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化简得，解得，令 由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例2已知数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令 由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，类型13或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。类型14双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。类型15周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。三、换元法例1 已知数列满足，求数