数学高二(上)沪教版(数列的极限(二))教师版.doc

年 级： 高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题数列极限教学目的1、 理解数列极限的概念；2、 掌握数列极限的运算法则；3、 掌握常用的数列极限。4、掌握公比1时，无穷等比数列前n项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式，并能用于解决简单问题。教学内容【知识梳理】1、 什么是数列的极限？2、 数列极限的运算法则有哪些？3、 常见的求数列的极限有哪些形式？（本分讲义是针对层次比较好的学生，所以知识点多以提问的形式出现，让学生自己发挥，老师再给予纠正）【典型例题分析】例1、下列命题中，正确的是 （ ）（A）若则（B）若，则（C）若,则（D）若则【解析】在命题A中，当时，则无意义，命题不成立； 在命题B中，若，则，虽然但所以命题B不正确； 在命题C中，若，则，而时，的极限不存在，所以命题C不成立；在命题D中，若，根据数列极限的运算性质。成立，所以命题D是正确的。【答案】D 例2、已知，求。【解析】由条件不能确定的表达式，因此我们设法将拼凑出。再利用极限性质求解。可化为【答案】1例3、求下列数列的极限（1）若，则_，_（2）（3）（4）（5）（6）（7）【解析】（1）数列的极限不受前有限项的影响，其前n项和的极限应先求和再求极限；（2）关于正整数n的分式的极限，常将分子、分母同除以n的最高次项（不含系数）使得各项的极限都存在，然后利用极限的运算法则求解；（3）关于分子分母含有n的指数式的极限，常将分子分母同除以底数的绝对值较大的这一项，然后利用基本极限求解；（5）通过换元法将式子整理成相关的形式，利用这一重要极限求解；（6）关于积的极限，通常通过等式变形消去中间项，转化为基本极限求解；（7）虽然使得，但当时，分子的前n项和变成了无限项的和，二极限的四则运算法则只适用于有限个数列的极限运算，所以这类和的极限应先求和后求极限。【答案】（1）37（2）（3）（4）1（5）（6）0（7）例4、在数列中，已知，且，求【解析】与数列前n项和公式相关的极限问题一样，综合能力要求通常较高，解题时应注意套用相关公式。【答案】例5、已知，求的范围。【解析】解本题的关键时讨论与2的大小。【答案】例6、若，求。【错解】设,由已知，得解方程组得， 【错解分析】存在，不能推出的极限存在，所以不能运用极限的四则运算，可以通过整体运算解决问题。【正解】设令 解方程组，得例7、求和：【解析】化循环小数为分数，时无穷等比数列各项和公式的一个重要应用。解题时应注意确定首项和公比。【解】变式练习：化循环小数为分数（1） （2） （3）【解析】纯循环小数可以看作时一个无穷等比数列所有项之和，而混循环小数可以视为一个常数与无穷等比数列各项的和相加。【答案】（1） （2） （3）5例8、等比数列使，求实数的取值范围。【解析】由的范围确定的范围。【解】当且仅当时极限存在，并且又在等比数列中，于是，则：则：所以的取值范围是【点拨】关注其中公比的范围：，这是一个逆向思维的问题。例9、棱长为的正方形内有一个内切球（即球与正方形的每一个面有且只有一个公共点），球内又有一个内切正方体（即正方体的每一个顶点都在球的表面上），该正方体内又有一个内切球，球内又有一个小内切正方形如此进行以至无穷，求所有这些正方体的体积之和。【解析】通过球确定两个相邻正方体的棱长之间的关系。【解】设第个正方形的棱长为，体积为，则 又第个球的直径就是第个正方形的棱长，又同时是第个正方体的对角线长。于是：所以故【课堂小练】1.下列命题正确的是_数列没有极限 数列的极限为零数列的极限是 数列没有极限A B C D 2.下列命题中正确的是_A设有数列，若存在常数，使恒成立，则数列必有极限；B若数列单调递增，则此数列必有极限；C若（A为确定的常数），则存在常数，使恒成立；D数列的一个极限时零3.下列命题中正确的是_A 若，则B若，则C若，则D 若，且，则4.下列数列极限的式子中，不正确的是_A B C D 5.若存在，且，则=_6.数列和数列都是公差不为零的等差数列，且，则的值为_7.求下列各数列的极限。（1）（2）（3）（4）（5）8.求的值，其中为常数。9. 已知：，求_10.无穷等比数列中，若它的各项和存在，求的范围。答案1. D 2. C 3. B 4. D5 .7 6. 7. (1)1 (2)3 (3) (4)(5)8.原式=9.10.走近高考：1、（2008年个上海）若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则 的值是 ( B ) (A) 1. (B) 2. (C) . (D) .2、（2010 上海模拟）的值为 （ B ） （A）0 （B） （C） （D）13、（2010 上海高考）将直线l1：nx+y-n=0、l2：x+ny-n=0(nN*)、x轴、y轴围成的封闭区域的面积记为Sn，则=_1_4、已知数列的首项，其前项的和为，且，则（A）0 （B） （C） 1 （D）2解析：由,且 w_w_w.k*s 5*u.c o*m作差得an22an1又S22S1a1，即a2a12a1a1 a22a1w_w w. k#s5_u.c o*m故an是公比为2的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1则答案：B5、已知是方程的两根，若，求的值。【解析】通过方程的根与系数的关系可以得到数列的递推式；由等比数列的定义判断，可以将问题转化为无穷递缩数列各项和问题。【答案】所以数列是以为首项，为公比的无穷递缩等比数列数列是以为首项，为公比的无穷递缩等比数列又6、无穷等比数列满足，求首项的变化范围。【错解】设等比数列的公比为，由已知条件有，解方程得，又因为为无穷等比数列，则所以【错解分析】错解中忽视了，应注意无穷等比数列中存在的充要条件是公比满足；而存在的的充要条件是公比满足或。【正解】设等比数列的公比为，由已知得，解得又因为为无穷等比数列，且存在，则 即，解不等式得 所以的取值范围是【课堂总结】回顾本节课所讲的有关内容，数列极限常考的几种类型？每种类型的解决方法？【课后练习】一、基础巩固1.已知是等比数列，若是其前n项和，则“存在”是“存在”的（ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）非充分非必要条件2.无穷等比数列的各项和等于 （ ）（A） （B） （C） （D）3.在无穷等比数列中，已知，若，则的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）4.一个无穷等比数列公比为，满足，前n项和为，且它的第四项和第八项之和等于，第五项与第七项之积等于，则等于 （ ）（A） （B）32 （C）16 （D）85.把化为约分数后，分子和分母之和为 （ ）（A）119 （B）129 （C）141 （D）1396.在等比数列中若，则此无穷等比数列的各项和为_。7.若实数满足，则数列的所有项和是_二、能力提升8. 无穷等比数列的前n项和为，若，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）9.如果，那么_10若一个热气球在第一分钟时间里上升25m，在以后的第一分钟里，它上升的高度是它前一分钟里上升高度的80%，则这个热气球最高能上升_m。11.把下列循环小数化为分数 （1） （2） （3） （4）12.求和：（1）（2）13.已知，求的取值范围。14.如图，在等腰直角三角形ABC中，已知A，斜边BC长为，途中排列着的内接正方形的面积分别为求：（1）无穷个正方形的周长之和；（2）无穷个正方形的面积之积。 三、创新探究15.动点P从原点出发沿轴正向移动距离到达点，再沿轴正向移动距离到达点，再沿轴正向移动距离到