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数学八年级下册 第十七章勾股定理【题型一】勾股定理的验证与证明1.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角ABC的三边的关系是.参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2S3，从而得到：AB2+BC2AC2.2.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S1、S2、S3，则它们的面积关系是，直角ABC的三边的关系是.参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出S1+S2S3，从而得到：AB2+BC2AC2.3.如图，是由四个全等的Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由S大正方形4SRt+S小正方形，得c24ab+(ba)2 a2+b2c2.4.如图，是由四个全等的Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗？参考答案：由S大正方形4SRt+S小正方形，得(a+b)24ab+c2 a2+b2c2.5.如图，已知AB90且AEDBCE，A、E、B在同一直线上.根据此图证明勾股定理.参考答案：先证明DCE是等腰直角三角形，再根据梯形面积为三个三角形面积之和得(a+b)22ab+c2, a2+b2c2.6.如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法.参考答案：方法类似第5题.7.（2011温州） 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图11）.图12由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图12中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 .参考答案：8.（2010 湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。定理表述请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；知识拓展利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：= .又在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，参考答案：定理表述如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 尝试证明又 整理，得 知识拓展【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论1.如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A，B，C.参考答案：10，144，1600.2.如图，直线l上有三个正方形a、b、c若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？参考答案：先证两直角三角形全等，得FEBC，从而得正方形b的面积为16.3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.参考答案：显然SBCEa2，SACDb2 ，SABFc2 又a2+b2c2 Sa+SbSc.4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.参考答案：类似上一题.5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究Sa、Sb和Sc之间的关系.参考答案：类似上一题.6. 如图，已知ABC中，ACB90，以ABC的各边为长边向形外作矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S1、S2、S3之间有什么关系，并证明你的结论.参考答案：类似上一题.7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为多少？参考答案：49cm2.8.如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是a、b、c，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3 ，则 S1 S2 S3 S4= . 参考答案：a+c【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证【选择题】1.在RtABC中，C90，a12，b16，则c的长为（ ）A.26 B.18 C.20 D.21参考答案：C2.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A.3 B.4 C.5 D.参考答案：C3.在RtABC中，C90，B45,c10，则a的长为（ ）A.5 B. C. D.参考答案：C4.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A. B. C. D.3参考答案：B5.若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9参考答案：C6.若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（ ）A.5 B. 6 C. D.5或参考答案：D7.下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt的是（）A.a=2，b=3, c=4 B.a=7, b=24, c=25C.a=6, b=8, c=10 D.a=3, b=4, c=5参考答案：A8.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（ ）.A.10m B.11m C.12m D.13m参考答案：C9.现有两根木棒,长度分别为44和55.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）.A.22 B.33 C.44 D.55参考答案：B10一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10参考答案：D11直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为34，那么这个直角三角形的周长为（ ）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm北南A东参考答案：D12将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定参考答案：A13已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A25海里B. 30海里C. 35海里D. 40海里参考答案：D14. （2010山东临沂）如图，和都是边长为4的等边三角形，点、在同一条直线上，连接，则的长为（）A.B.C.D.参考答案：D15. （2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm、BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm参考答案：B16. （2010广西南宁）图中，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式（）A. B. C. D.O参考答案：C17. （2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m参考答案：C18. （2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（）A. 3cm B. 6cm C. 3cm D. 6cm参考答案：D19. （2011贵州贵阳）如图，ABC中，C=90，AC=3，B=30，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7参考答案：D20. 直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值有（ ）. A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 无数多个参考答案：B 斜边可以为4或x,故两个答案.21如果Rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（）A.6013B.512C.1213D.60169参考答案：D22直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）A.121 B.120 C.132 D.以上答案都不对参考答案：C【填空题】1.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为_参考答案：12或7 提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或，所以直角三角形的周长为34512或347.2.直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为_.参考答案：3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_参考答案： ，提示：设斜边的高为，根据勾股定理求斜边为 ，再利用面积法得，；4.如图，学校有一长方形花圃，长4m，宽3m。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少了 步路（2步为lm），却踩伤了花草.参考答案：4.5.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图2实线部分）是 . 参考答案：76.6如图，将一根长 24 cm的筷子，置于底面直径为 5 cm，高为 12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯外的长度为h cm，则h的取值范围是 .参考答案：11h12.7.在RtABC中, C=90,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=_.参考答案：9.8.已知：如图，在RtABC中，B=90，D、E分别是边AB、AC的中点，DE=4，AC=10，则AB=_.参考答案：6.9.已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：15或.10.在RtABC中，C=90，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）b=8，c=17 ，则= . 参考答案：136011（2010辽宁丹东市）已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 参考答案：12.（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理在右图的勾股图中，已知ACB=90，BAC=30，AB=4作PQR使得R=90，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么PQR的周长等于 参考答案：.13.（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，BAC=3DBC，BD=，则AB= 参考答案：1214.（2010河南）如图，RtABC中，C=90, ABC=30，AB=6.点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是 .参考答案：2 AD 1），那么它的斜边长是（）A.2nB.n+1C.n21D.n2+1参考答案：D【填空题】1.若一个三角形的三边满足，则这个三角形是 .参考答案：直角三角形.2. ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是 .参考答案：90.3.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .参考答案：54.4.已知三角形ABC的三边长为满足，则此三角形为 三角形.参考答案：直角三角形.5.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，则BC边上的高为AD= .参考答案：6.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：13cm或【解答题】1. 如图，已知四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.参考答案：36（连接AC） FEACBD2. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问AEF是什么三角形？请说明理由.参考答案：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2= EF2 +AF2，AEF是直角三角形3. 在ABC中，BC=m2-n2，AC=2mn，AB=m2+n2(mn).求证：ABC是直角三角形.参考答案：证(m2n2)2+(2mn)2(m2+n2)24.张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下的数表：n2345a22 - 132 - 1 42 - 152 - 1b46810c22 + 132 + 1 42 + 152 + 1请你分别观察a b c与n之间的关系，并用含自然数n（n1）的式子表示：a= ,b= , c= . 猜想：以a、b、c 为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。参考答案： n2-1,2n,n2+1猜想：以abc为边的三角形为直角三角形。证明略5. 观察下列勾股数：第一组：3=211， 4=21（1+1）， 5=21（1+1）+1；第二组：5=221， 12=22（2+1）， 13=22（2+1）+1；第三组：7=231， 24=23（3+1）， 25=23（3+1）+1；第三组：9=241， 40=24（4+1）， 41=24（4+1）+1；观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的a,b,c各应是多少吗？第n组呢？参考答案：第七组，第组，6. （2011四川绵阳）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.参考答案：(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a(2)不可以是7，第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。a5(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形【题型九】勾股定理及逆定理与实际问题1.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 （ ）.A.17m B.18m C.25m D.26m参考答案：A依勾股定理先求出底边为12，而地毯长等于两直角边的和，即12+5=17.2.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（ ）Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm参考答案：D3.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 .（填“合格”或“不合格” ）参考答案：合格4.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20，遇到冰山后，又折向东航行15，则此时轮船与A点的距离为 .参考答案：255.（2009年安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m参考答案：，利用勾股定理即可.6. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.A城是否受到这次台风的影响？为什么？若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？参考答案：(1)过点A做ACBF于点C，由A、B、C三点构造直角三角形，根据勾股定理求出直角边AC=160，160200A城受到这次台风的影响;(2)以点A为圆心以200为半径画圆弧交BF于D、E，在RtACD中，所以DE=240，A城遭受这次台风影响的时间为24040=6（小时）7.如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米参考答案：在RtABC中，AB2AC2BC2 2.52AC21.52，AC2（m） 在RtEDC中，DE2CE2CD2，2.52CE222 CE22.25，CE1.5（m）， AEACCE21.50.5（m） 答：梯子顶端A下落了0.5m8.如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是多少（精确到个位）？参考答案：43（提示：做矩形两边的垂线，构造RtABC，利用勾股定理，AB2AC2BC21923921882，AB43）9.（2009年湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60方向，办公楼B位于南偏东45方向小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到01米）（供选用的数据：1414，1732） 参考答案：由题意可知：ACP BCP 90，APC30，BPC45在RtBPC中，BCP90，BPC45，在RtACP中，ACP90，APC30， 60+201732 9464946(米) 答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为946米10.如图，甲船以 16海里时的速度离开港口 O向东南方向航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，求乙船的速度.参考答案：12海里时11.树根下有一蛇洞，树高 15 m，树顶上的一只苍鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等收与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇？参考答案：20米12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？参考答案：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA