函数的极限的求解方法.doc

函数的极限的求解方法摘 要：本文介绍了计算函数极限的几种方法，讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限 关键词：零因子：初等法：两个重要极限 ：等价无穷小： 等价无穷小替换 ：函数的连续性 ：法 。 引 言 极限思想是许多科学领域的重要思想之一. 因为极限的重要性，从而怎样求极限也显得尤其重要. 对于一些复杂极限，直接按照极限的定义来求就显得非常困难，不仅计算量大，而且不一定能求出结果. 为了解决求极限的问题，有不少学者曾探讨了计算极限的方法 . 本文也介绍了计算极限的几种方法，并对文献结论进行了推广，讨论如何利用我们已有的知识计算极限，并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.函数的极限主要表现在两个方面：一、自变量任意接近于有限值，或讲趋向（于）（记）时，相应的函数值的变化情况.二、当自变量的绝对值无限增大，或讲趋向无穷大（记）时，相应的函数值的变化情况.相关知识点（一）“”形：定义1：如果对（不论它多么小），总，使得对于适合不等式的一切所对应的函数值满足：，就称常数为函数当时的极限，记为 ，或 （当时）注1：“与充分接近”在定义中表现为：，有，即.显然越小，与接近就越好，此与数列极限中的所起的作用是一样的，它也依赖于.一般地，越小，相应地也小一些. 2：定义中表示，这说明当时，有无限与在点（是否有）的定义无关（可以无定义，即使有定义，与值也无关）. 3：几何解释：对，作两条平行直线.由定义，对此.当，且时，有.即函数的图形夹在直线之间（可能除外）.换言之：当时，.可见不唯一！例1证明 .证明：对，因为所以此处，即考虑附近的情况，故不妨限制为，即，.因为，要使,只须，即.取（利用图形可解释），当时，有.定理1：（保号性）设，（i） 若，则，当时，.（ii） 若，必有. 注：在(i)中的“”，“”不能改为“”，“”. 在(ii)中，若，未必有. 定义2：对，当时，当时，有.这时就称为当时的左右极限，记为或.或.定理2：（充要条件）.（二）“”形：定义3：设当时是有定义的，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为或（当时）.注1：设在上有定义，若对，当时，有，就称为当时的极限，记为，或（当）（，或（当）. 2：（充要条件）. 3：若，就称为的图形的水平渐近线（若或，有类似的渐近线）.例2 证明.证明：对，因为，所以要使得，只须，故取，所以当时，有，所以. （三） 无穷小与无穷大一、无穷小定义1：对若，使得当时，有成立，就称为当时的无穷小，记为.注 1：除上两种之外，还有的情形.2：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的常数. 定理1：当自变量在同一变化过程（或）中时：（i） 具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和，即：为的极限为无穷小.（ii） 若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限. 二、无穷大定义2：若对，使得当时，有，就称当时的无穷大，记作:.注1：同理还有时的定义. 2：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆. 3：若或，按通常意义将，的极限不存在.定理2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若为无穷大，则为无穷小.（ii）若为无穷小，且，则为无穷大.（四）函数极限运算法则由极限定义直接来求极限是不可取的，因此需寻求一些方法来求极限.定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 注1：与都表示函数与，而不是常数. 2： “”下放没标自变量的变化过程，这说明对及均成立，但须同一过程.定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设有界，. 推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若为常数，.推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设. 定理3：若，则存在，且. 注：本定理可推广到有限个函数的情形.定理4：若，则存在，且.推论1：（为常数）.推论2：（为正整数）.定理5：设，则.定理6：如果，且，则.推论1：设为一多项式，当.推论2：设均为多项式，且，由定理5，.例3 .（利用定理3）例4 （因为）.注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段.例5 求.（消去零因子法）解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子，所以 .例6 求.解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时，所以. 例8 证明为的整数部分.证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，所以由定理2.（五） 极限存在准则、两个重要极限收敛准则： 如果函数满足下列条件：（i）当时，有.（ii）当时，有.那么当时，的极限存在，且等于. 两个重要极限：例9 .（做替换）例10 .（先三角变换） （六） 无穷小的比较定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小，(i) 若，就说是比高阶的无穷小，记为；(ii) 若，就说是比低阶的无穷小；(iii) 若，就说是比同阶的无穷小；(iv) 若，就说与是等价无穷小，记为.注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：，但，因为不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即； 4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当时，与既非同阶，又无高低阶可比较，因为不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理1：（等价替换法则）若均为的同一变化过程中的无穷小，且，及，那么.例12 求.解：因为当时，所以 .例13 求解：因为当时， 所以 原式.注7：在目前，常用当时，等价无穷小有：，；8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！（七）连续性与罗必达法则定理1：设当时的极限存在且等于，即，又设在处连续，那么，当时，复合函数的极限存在，且等于，即.注：可类似讨论时的情形.定理2：设函数在点连续，且，函数在点连续，那么，复合函数在点处连续.例14求（利用函数的连续性来求极限）解：因为，及在点连续，故由上述定理，.法则： 在求或时，若发现同趋于0，或同趋于，则此时上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，如，我们通常把这种极限称为或型的未定式（不定式），这种未定式是不能用“商的极限等于极限的商”这一法则来计算的.定理3：（法则）若满足： (i)； (ii) 在的某去心邻域内可导，且； (iii)（可为有限数，也可为或）；则： .注 1：“”可改为“”或“”，只不过对(ii)作相应的修改，结论仍成立. 2：若仍为型未定式，则可再次使用法则，这时， 直到极限不是未定式为止. 3：法则的三个条件缺一不可，表现在(a)若不是未定式，则不能使用，否则会导致错误；(b)若(iii)不成立，也不能用，否则也会导致错误； 4： 型未定式的法则：可将上定理的(ii)(iii)不变， (i)改为： (i)：即可，结论仍成立. 5：其它还有等型的不定式，但它们经过简单的变形都可化为型或型的未定型，然后法则.例15 求.解：. 注：在应用法则时，要注意法则的条件是否满足，不可乱用.例16 能否用法则？解：若用法则，则有 不存在，（分子，分母的极限不存在）.【求函数极限的方法总结与例题】在“知识点”部分结合相关知识点，给出一些例题，但有必要将函数极限的求法进行归纳并给出例题.例题的解法突出一题多解或诸方法结合使用.现归纳如下七点： ：消去零因子法，既把式子中的0因子消去。：初等法（如三角变换，有理化，通分，分子分母同除一个函数）。：利用两个重要极限及收敛准则，既利用和函数极限的收敛准则进行运算。：等价无穷小的性质及等价无穷小替换法进行运算。：利用函数的连续性，进行运算。：利用法则（非常重要的工具）。：上述诸方法结合使用.例1 求极限 解：（消去零因子）例2 求极限 解：（初等法）例3 求极限 解：（初等法） 例4 求极限 解：（初等法） 例5 求极限 解：（两个重要极限及收敛准则） 例6 求极限 解：（两个重要极限及收敛准则）例7 求极限 解：