函数恒成立、能成立问题及课后练习(含答案).doc

第 15 页 函数专题四 恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若 在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、若不等式在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；9、若不等式在区间D上恒成立，等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型例1、已知函数，其中， 1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（构造新函数） 2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；（转化）简解：（1）由成立，只需满足的最小值大于即可对求导，故在是增函数，所以的取值范围是 例2、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的范围分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最值解决方法1：化归最值，；方法2：变量分离，或；方法3：变更主元（新函数），简解：方法1:对求导，（单调函数）由此可知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意，得的取值范围是例3、已知两函数，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 答案：题型二、更换主元和换元法例1、已知函数是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数，()求的值；()若上恒成立，求的取值范围； ()分析：在不等式中出现了两个字母：及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。()略解：由()知：，在上单调递减，在上恒成立，只需，（其中）恒成立，由上述结论：可令,则，而恒成立，。例2、已知二次函数对恒有，求的取值范围。解： 对恒有即变形为 当时对任意的都满足只须考虑的情况 即 要满足题意只要保证比右边的最大值大就行。现求在上的最大值。令 （） 所以又是二次函数所以且例3、对于满足0a4的所有实数a求使不等式都成立的x的取值范围答案： 或题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.例1、当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解析: 当时，由得.例2、已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数.（）求的值与的范围；（）若对（）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围.（）若，试讨论关于的方程的根的个数.解：（）、（）略（）由题意知，函数在区间上是减函数.在上恒成立题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）例1、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是_解析：O对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知，即。例2、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。解：画出两个凼数和在上的图象如图xy03 知当时，当时总有所以O例4、已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是题型五、其它（最值）处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.利用不等式性质1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为_。解：设，由有解，又，解得。2、若关于的不等式恒成立，试求a的范围解：由题意知只须a比的最小值相同或比其最小值小即可，得由 所以 利用分类讨论1、已知函数在区间-1，2 上都不小于2，求a的值。解：由函数的对称轴为x=a所以必须考察a与-1，2的大小，显然要进行三种分类讨论1）当a2时f(x)在-1，2上是减函数此时= f(2)=4-4a+4即a 结合a2，所以a22）当a 时 f(x)在-1，2上是增函数，此时f(-1)=1+2a+4= f(-1)=1+2a+4结合a 即a 3）当-1a2时 = f(a)= 即a或a 所以综上1，2，3满足条件的a的范围为：a或 a利用导数迂回处理1、已知 若当时在0，1恒成立，求实数t的取值范围解：在0，1 上恒成立，即在0，1上恒成立即在0，1上的最大值小于或等于0令所以，又所以即在0，1上单调递减所以，即 得 2、已知函数存在单调递减区间，求的取值范围解： 因为函数存在单调递减区间，所以有解.即能成立, 设.由得, .于是,由题设,所以a的取值范围是3、已知函数（）当时，求的单调区间；（）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（）略（）当时，不等式即恒成立.由于，亦即，所以.令，则，由得.且当时，；当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范围为.注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。小结：恒成立与有解的区别：不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；不等式对时有解，。 或的下界小于或等于；不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；不等式对时有解，.。 或的上界大于或等于；三、恒成立、能成立问题专题练习1、已知两函数，。（1）对任意，都有)成立，求实数的取值范围；（2）存在，使成立，求实数的取值范围；（3）对任意，都有，求实数的取值范围；（4）存在，都有，求实数的取值范围；2、设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ）（A） （B） （C） （D）3、若任意满足的实数，不等式恒成立，则实数的最大值是 _ . 4、不等式有解，则的取值范围是 5、不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。6、设函数. （）求函数的单调区间和极值； （）若对任意的不等式成立，求a的取值范围。7、已知A、B、C是直线上的三点，向量，满足：.（1）求函数yf(x)的表达式；（2）若x0，证明：f(x)；（3）若不等式时，及都恒成立，求实数m的取值范围8、设，且（e为自然对数的底数）(I)求 p 与 q 的关系；(II)若在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；(III)设，若在上至少存在一点，使得成立, 求实数 p 的取值范围.课后作业答案：1、解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，由，得。（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：。 ，在区间上只有一个解。，即.（4）存在，都有，等价于，由(3)得，点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。2、B。解析：由方程可得，对于任意的，可得，依题意得。3、答案：。解析：由不等式可得，由线性规划可得。4、解：原不等式有解有解，而，所以。5、解：画出两个凼数和在xy03上的图象如图知当时，当，时总有所以6、解：（）（1分）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4分）当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b. （6分） （）由|a，得ax2+4ax3a2a.（7分）0a2a.上是减函数. （9分）于是，对任意，不等式恒成立，等价于又7、解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分（2）令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分（3）原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 当x1，1时，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，则 得m3或m312分8、解：(I) 而，所以(II)由 (I) 知 ， 4分令，要使在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当时，所以在 (0,+) 内为单调递减，故； 当时，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，只需，即p1时， h(x)0，f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 p1适合题意. 综上可得，p1或 p0 9分 (III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即g(x) 2,2e 10分 p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2，不合题意。 0 p 1 时，由x 1,e x0f(x)