集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型例题.doc

集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型1 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A=x,xy,lgxy,集合B=0,x,y,且A=B,则x+y= 2 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M=yy=x2 ,xR,N=yy=x2+1,xR,求MN；与集合M=（x,y）y=x2 ,xR,N=(x,y)y=x2+1,xR，求MN;以及M=xy=x2 ,xR,N=yy=x2xR,Q=（x,y）y=x2 ,xR,求MN，MQ，QN的区别。3 区别与。 :表示空集，：不是空集，是指含的一个元素。4 集合 A、B，时，注意“极端”情况：或；求集合子集时否忘记. eg. 对一切恒成立，求a范围，讨论了a2情况了吗？ 5 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足条件的集合M共有多少个6 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？7 两集合之间的关系。(CUA)( CU B) = CU(AB) (CUA)( CUB) = CU(AB)；8.可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.p、q形式的复合命题的真值表:pqP且qP或q真真真真真假假真假真假真假假假假9.命题的四种形式及其相互关系互逆逆互互互为互否逆逆否否否 互逆原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.注意区别否命题与命题的否定。10.对映射的概念了解了吗？映射f：AB中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？11.函数的几个重要性质： 如果函数对于一切，都有或f（2a-x）=f（x），那么函数的图象关于直线对称. 如果函数对于一切，都有或f（2a-x）=-f（x），那么函数的图象关于点（a,0）对称.函数与函数的图象关于直线对称； 函数与函数的图象关于直线对称； 函数与函数的图象关于坐标原点对称. 若奇函数在区间上是递增函数，则在区间上也是递增函数 若偶函数在区间上是递增函数，则在区间上是递减函数 函数的图象是把函数的图象沿x轴向左平移a个单位得到的；函数(的图象是把函数的图象沿x轴向右平移个单位得到的；函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向上平移a个单位得到的;函数+a的图象是把函数助图象沿y轴向下平移个单位得到的. 12.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？13.求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？函数的定义域是0,1,求的定义域. 函数的定义域是, 求函数的定义域14.含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数y=asin2x+2cosx-a-2(aR)的最小值为m, 求m的表达15.函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则若aA,则a=f-1 f(a); 若bC,则b=ff-1 (b); 若pC,求f-1 (p)就是令p=f(x),求x.(xA) 即互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,16.互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调17. 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;18.根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。19.知道函数的单调区间吗？（该函数在和上单调递增；在和上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！20.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.21.对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（）22.还记得对数恒等式吗？（）23.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？24.,区别f(x)恒大于0，与f(x)能取大于0的全体数情况。25.函数值的求法（1）直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数的值域。解： 显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。解： 故函数的值域是： （2）配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数的值域。解：将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8 （3）判别式法 例4. 求函数的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时， 解得：（2）当y=1时，而 故函数的值域为 例5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1） 解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 代入方程（1）解得： 即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 （4） 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数值域。解：由原函数式可得： 则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为： （5） 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数的值域。解：由原函数式可得： 解得： 故所求函数的值域为 例8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为： 即 即 解得： 故函数的值域为 （6）函数单调性法 例9. 求函数的值域。解：令 则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数 当x=2时，当x=10时， 故所求函数的值域为： 例10. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为 （7） 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。解：令， 则 又，由二次函数的性质可知当时， 当时，故函数的值域为 例12. 求函数的值域。解：因 即 故可令故所求函数的值域为 例13. 求函数的值域。解：原函数可变形为： 可令，则有 当时，当时， 而此时有意义。故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。解：令，则 由 且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。解：由，可得 故可令 当时， 当时，故所求函数的值域为： （8）数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，故所求函数的值域为 例18. 求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），在x轴的同侧。 （9）不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当 即当时，等号成立故原函数的值域为： 例20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为： （10） 一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数的值域。解：定义域为 由得故或 解得故函数的值域为 （11）多种方法综合运用 例22. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例23. 求函数的值域。解：令，则 当时， 当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。26.函数单调性的常用结论：（1）若均为某区间上的增（减）函数，则在这个区间上也为增（减）函数（2）若为增（减）函数，则为减（增）函数（3）若与的单调性相同，则是增函数；若与的单调性不同，则是减函数。（4）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。27.函数奇偶性的常用结论：（1）如果一个奇函数在处有定义，则，如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则（反之不成立）（2）两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。（3）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。28.函数解析式求法（1）待定系数法：例1 设是一次函数，且，求（2）配凑法： 例2 已知 ，求 的解析式（3）换元法： 例3 已知，求（4）代入法： 例4已知：函数的图象关于