数学素养：小学数学教育的核心价值.doc

数学素养：小学数学教育的核心价值数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。将培养数学素养作为中小学生数学教育目的喻示了数学教育观的又一次变革，反映了课改以来我们对数学教育认识的不断深化。“数学素养是个体认识理解数学在现实社会中所起作用的能力，做出有根据的数学判断的能力，以及作为一个有独创精神、关心他人、有思想的公民参加数学活动以满足现实和未来生活需要的能力”，这是被广泛认可的一项国际性的学生素养评价项目研究（简称PISA）中的界定。PISA把对数学素养的理解置于一个广阔的背景中,与学生的个人生活、未来的职业生活、社会生活紧密联系,并且始终强调学生在不同的背景下参与数学活动、运用数学和做数学。在处理那些可以应用数学知识解决的问题时，数学方法的选择往往取决于问题的情境，这些情境有个人情境、学校情境、公众情境、学术情境。对学生而言，首先是个人生活，其次是学校生活、职业生活和休闲生活，然后是日常生活中遇到的地方社区和社会生活，最远的是学术情境。我国数学教育的传统则是特别重视学术情境，忽视个人情境。在教材编写上，特别重视知识的逻辑性和严谨性，知识呈现情境过于简单，设计的都是结构良好的问题，缺少开放性；在教学上则特别关注效率，总想着在尽可能少的时间里让学生获得尽可能多的知识。于是，小组探究、课堂讨论、实际操作、让学生充分表达自己意见的若干环节都被视为浪费时间而尽量压缩。有时怕学生“绕弯路”，常常先打“预防针”。为了在应试中取得好成绩，教学就追求学生做题的快速、准确，很多教师都会要求学生记忆一些常用的计算结果。在教学管理上，一个地区的教学进度整齐划一；在教学评价上，一张试卷定优劣。在数学教学中，教师的主导地位突出，个人意志控制一切，加上班级人数过多，教师难以关注到学生的个性化学习。教学观念上，秉持“熟能生巧”的古训，将“巧”的出现建立在“熟”的训练之上，忽视学生在具体、复杂情境中运用知识和技能灵活解决问题的能力培养，大量机械的训练充斥课堂。数学素养的培养是一项涉及甚广的工程，需要教师及教学管理者数学教育观念的更新和行为的跟进。开辟数学教育的多种途径数学素养是学生多方面素质的有机整合体，其培养既要抓好课堂教学这一主要途径，也需要开掘和发挥其他途径的重要作用。例如，站在大课程观的角度，对数学文化建设作系统、整体思考，形成切实可行的操作策略，在校园中形成特殊的数学文化环境和氛围，形成一个数学文化场，将静态的数学文化转化为动态的活动和过程。比如，编写数学小报、创建数学网站、开展数学节、进行应用数学知识的小课题研究等。把数学教学与生活情境相结合基于小学生认知规律和数学知识抽象性特点，小学生的数学学习必须充分借助学生的生活经验。小学生的数学学习刚刚起步，许多学习内容都是一些最基本的“起始概念”，难以借助别的概念进行推理，而只能借助于学生已有的“前概念”。学生学习时会因数学知识的抽象性而难以理解，这时也需要利用生活中相类似的事例和道理进行启发。同时，学生的数学学习是为将来生活做准备，要求数学和当下及今后的生活相联系。改革当前的数学教育评价数学教育的评价对数学素养的培养具有导向、激励和管理作用，改革数学教育评价有利于学生数学综合素养的发展。转变教育评价观念，既要关注学生普遍的数学学习状况，还要关注学生的个性化发展。建立包括学生的数学作业、课堂表现、学习反思、综合实践等指标在内的“成长记录袋”，借此对学生学习数学的情况进行过程性评价。倡导多元评价主体机制，将学生及其家长、教师、学校管理人员、社区成员一起纳入学生评价主体中，促进评价主体的多样化、评价的科学化。专题学习一：浅谈小学数学教育中数学素养的培养李玉玉枣庄市立新小学数学是一种文化，数学文化对人的影响表现为人的数学素养。随着经济、社会、文化变革的加剧，人们越来越多地认识到数学文化在生活中的重要性。企业家的“经济头脑”、科学家的“数字地球”，现代人生活工作的“现代化”，种种迹象表明，一个数学化的时代已经展现在眼前，那种远离数学、远离数学生活，固守过去传统的人不仅会被时代所淘汰，而且连基本的生存也潜藏危机。要唤醒国人对数学的关注，在数学教育和培养和提高数学素养上担当起自己应尽的责任。一、数学素养的基本内涵什么是数学素养呢？数学素养指人用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括数学意识、数学行为、数学思维习惯、兴趣、可能性、品质等等。数学是一门知识结构有序、逻辑性很强的学科，“是人们对客观世界进行定性把握和定量刻画，逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”。数学知识的学习过程，必须遵循数学学科特性，通过不断地分析、综合、运算、判断推理来完成。因此，整个学习过程就是一个数学知识的积累、方法的掌握、运用和内化的过程，同时又是数学思维品质不断培养强化的过程。显然数学的严密有序性、数学知识的内在逻辑性、数学方法的多样性是我们提高数学素养的极其重要的因素。一个具有较高数学素养的人，数学思维特质的外显和内在表现在如下几个方面。其一，“数学使人精细”是数学素养特质的外在表现。高数学素养的人往往受过系统的数学教育，数学知识丰富，在生活和上作上常表现出对数的敏感和适应，能够从纷繁复杂的事例中分离出数学因素，建立模型，通过数学进行观察分析，善于用数学的观点说明问题。其个性品质往往给人以精明、精细、富有逻辑的感觉。其二，数学锻炼人的思维是数学素养特质的内在特征。数学是思维的“体操”，数学思维本身就具有客观性、直观性、深刻性和灵活性等特征。数学思维的客观性。我们认识世界、了解世界，追求的是对客观世界的真实再现。数学思维相对于其它思维，其精度更高、信度更强、效度更可靠，原因就在于数学思维是客观现实的反映。用数学思维的观点、方法去观察、分析客观世界，更能体现真实再现的特点。数学思维的直观性。思维本是抽象的东西，如果凭借数学模型，以数据、图形作为载体进行量化分析，可以大大加强其直观性。数学思维的深刻性。用数学方法进行思维，不仅可以了解事物的表面，而且可以通过对问题进行根本地了解和透彻地分析深入认识事物的本质。如果没有数学方法的参与，有时我们很难对某些问题进行定性认识，甚至会使问题的解决半途而废。而一旦通过数学方法对事物进行定性把握和定量刻画，则不难找到事物的本质联系或根本症结，作出合乎现实的正确决断。数学思维的灵活性。数学思维方式方法的多样性以及数学运算简捷便通性，给我们运用数学知识，通过数学的观点、方法判断、分析解决问题提供了极大的便利。运用数学方法，解决问题，既可以宏观、全局、整体把握事物特征，又可以从某一方面、某一事例入手微观、局部地认识事物，达到窥“一斑”以见“个豹”的认知效果；既可以反思、总结过去，又可以设计和展望现在和未来；既可以通过数字符号反映事物间联系，又可以运用图形刻画事物的状态。随着数学手段的发展和数学器具的便捷，社会对数学运用关注的程度也越来越高，诸多便利因素的出现为我们在现实之中用数学解决问题注入了无限的活力。二、数学素养形成的对策研究小学数学对人的数学素养的形成起着重要的作用。小学数学自身的特点和规律也为培养人的数学素养提供了可能。小学数学知识结构单一，呈现方式灵活，许多数学思想、数学法则和数学规律往往依附于一定的感性材料而存在，许多数学问题都能够从生活实际中找到原型，甚至有一些数学问题实质上就是日常生活中存在现象的翻版，直接显示出生活意义。小学数学也具有严密的逻辑性，可以促进人的思维的发展，并体现出时代的整体特征。这些因素正是形成数学素养的先决条件。新一轮国家数学课程标准的建立突出体现“基础性，普及性和发展性”，要求“人人学有价值的数学：人人都获得必要的数学”，并且强调“不同的人在数学上得到不同的发展”的理念。这无疑为小学阶段发展人的数学素养指明了方向。基于以上分析，我们在小学数学教学中培养人的数学素养，应该切实做好以下几方面的工作。1、培养数学意识，形成良好数感。数学意识的培养有利于数学思维的发展，良好数感则有利于形成科学的直觉。个人的数学意识和数感一方面反映了他的数学态度，另一方面也反映了他的数学素养水平。具备良好数学意识和数感的人应该具有对数和数运算的敏锐感受力和适应性，能够有意识地用数学知识去观察、解释和表现客观事物的数量关系、数据特征和空间形式，并善于捕捉生活中诸多问题所包含的潜在的数学特征。所以应将生活与数学紧密相连，让学生深深感知到生活中时时处处都有数学，这样才能逐渐培养学生的数学意识。在青岛版教材中，最大的优点就是图文并茂、灵活的呈现所学内容，教材中所选的都是切近学生实际生活经验的情景图，紧密联系生活，从学生已有的学习、生活经验出发。例如二年级下册在教学“有余数的除法”时，利用了“野营”这一情景串，从野餐到野营让学生在“玩”的过程中充分感受到了生活中的有余数的除法。再例如“万以内数的认识”，将农村与城市的小朋友以“手拉手”的形式，呈现了农村学生进城后的所见所闻、城市学生来到农村后的所见所闻及生活体验、城乡学生分别时的美好回忆。在这些生活素材中学生能用万以内的数描述具体的事物，能进行较大数的大小比较及几千几百加减法的口算，建立了初步的数感和符号感。其余每个单元亦是如此。因此，小学数学教学要使数学问题生活化，生活问题数学化，让学生在学习中感受生活情景，直接从生活中提取素材，进行数学分析，寻求数学解决。只有这样的数学才有无限的生命力，并逐渐形成学生的数学意识。2、加强数学思维、方法的训练，形成学生数学探究能力。数学探究能力是数学素养最核心的成份和最本质的特征，数学探究能力的提高是通过数学思维方法的训练来完成的。例如青岛版二年级下册“万以内数的加减法”的教学中，学生已经掌握了两位数加减两位数的口算、笔算方法，所以利用知识的迁移规律让学生自主探究“笔算三位数加减三位数”计算方法，在探究数学方法的同时也加强了学生的迁移推理能力。3、培养估算能力，形成科学的直觉。估算是对事物的整体把握，是对事物数量的直觉判断。在现实生活中一个人的估算能力有着广泛的作用。如果我们在小学数学教学中，注重培养学生的估算意识，积极发展学生的估算能力，这将有助于学生对数学概念的理解，有助于数学方法在实际生活中的运用，有助于学生对日常数量关系的灵活处理，形成各种解题策路，进而形成科学的数学视觉。例如青岛版二年级下册第二单元的信息窗4中教材提供了大量的估算资源：农村新建的学校、菜地、苗圃参观，让学生用数充分表达和交流，估计物品的数量，交流估计的策略，并逐步形成科学的直觉。教材不但在数量上设计了估算，在计算中也设计了估算。再如第四单元的信息窗2，利用“勤劳的小蜜蜂整装待发”的情景设计“三位数加三位数”的估算，在交流的基础上引导学生归纳方法：把每个加数看做与它们接近的整百数，再口算它们的和，并感知在不需要精确计算的时候，可以用估算确定结果，也可以通过估算检验计算的结果是否合理。因此，我们只要积极帮助学生积累经验，注重对周围、身边的事例进行观察、比较，鼓励学生大胆估计、反复实践，帮助学生总结归纳，使学生分析问题有根有据，而不是盲目地猜测，学生的估算能力一定会进一步提高，从而形成科学的直觉。4、注重数学实践活动的开展。数学实践活动的开展，对于学生能力的培养是十分有益的。教师要想培养学生实际的本领，必须带领学生参与丰富多彩的数学实践活动，使学生在实践中长知识、长才干，学会识别、学会适应生活中的数学问题。例如在青岛版二年级下册中，教材设计了两个数学实践活动：奇妙的动物世界和户外活动。“奇妙的动物世界”是在学生学习了万以内数的认识和长度单位后安排的一个实践活动，活动内容是想了解一些动物每天的食量、睡眠时间和寿命，在活动中让学生先分组制定调查计划，然后调查，记录并整理调查的结果，最后小组进行交流。“户外活动”是在学生学习了时、分、秒和统计知识之后安排的，活动内容是调查、统计学生每天户外活动的时间，让学生在具体的活动中体会一定时间的长短，同时经历统计的全过程，提高分析和整理数据的能力。5、培养数学的情感体验数学，其独特的科学价值与文化价值对学生形成良好的数学情感态度具有潜在的陶冶作用。包括思想品德和情感体验两个方面。具体内容有以下四个方面。（1）对学生进行学习目的、爱国主义、爱科学的教育。（2）学生对数学、数学学习活动的兴趣和动机。包括好奇心、求知欲以及对数学学习活动中的主动参与等。（3）自信心和意志力。（4）学习数学的态度和习惯。包括：探索创新、独立思考、合作交流与实事求是态度及习惯。培养学生的数学素养，是关系整个中华民族文化素质的一件大事。对这项工作的落实，我们应该从小学做起、从现在做起、从我们的日常工作做起。思考：1、结合本篇文章谈谈你对“培养学生数学素养”的理解。2、结合你的教学实际谈谈你在教学中是如何培养学生的数学素养的。培养小学生的数学素养宁美红 2012年12月13日培养小学生的数学素养曾子墨是凤凰卫视节目主持人，她年轻漂亮，事业有成。其实，曾子墨能取得今天的成就和她自身的数学素养有很大关系，1996年，在参加全球最负盛名的投资银行摩根斯坦利的面试时，一位分析员问她：“如果你找到一份工作，薪水有两种支付方式：一年12000美元，一次性全部给你；同样一年12000美元，按月支付，每月1000美元。你怎么选择？”这两种支付方式总数相同，按常规理解，无所谓随便选择一种就行。但曾子墨却说：“这取决于现在的实际利率。如果实际利率是正数，我选第一种；如是负数，我选择第二种；如果是零，两者一样。同时，我还会考虑机会成本，即便实际利率是负数，假如有好的投资机会能带来更多的回报，我还是选择第一种。”接着，那位分析员又提问：“9枚硬币，有一枚重量和其他的不一样，你用两只手，至少几次可以找出这枚硬币？”曾子墨毫不犹豫地回答：“三次。” “还是9枚硬币，改变其中的一个条件，两次就可以找出这枚特殊的硬币，这个条件应该怎样改变？”“告诉我这枚特殊的硬币比其它的硬币重还是轻。”就这样，曾子墨以她出色的表现，征服了所有分析员。最终在她的评定书上写的是：不惜代价，一定要雇佣！数学素养听起来好像很深奥、很生疏，其实它时时渗透在我们的日常生活中，如：商场打折信息、家庭投资理财问题等。那什么是数学素养？对于数学素养的解释，到目前为止还没有一个严格的、统一的定义。有人认为“数学素养”是人在先天基础上，受后天环境、数学教育等影响，所获得的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学观念和数学思维品质等融于身心的一种比较稳定的心理状态。用南开大学顾沛教授的话说：“数学素养”就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西。小学生的数学素养包括数感、符号意识、空间观念、统计观念、数学应用意识五种数学意识，数学思维、数学理解、数学交流、解决问题四种数学能力以及数学价值观的发展。下面我从以下三个方面和大家谈谈我对培养学生数学素养的肤浅认识：一、用数学的视角去认识世界。二、用数学的方式去思考问题。三、用数学的方法解决问题。首先看第一个方面：用数学的视角去认识世界数学意识的培养。什么是“数学意识”呢？举一个例子，假如学生会计算“484”，说明学生具有除法的知识与技能。学生会解“有48个苹果，平均每人分4个苹果，可以分给多少人？”，说明学生具有一定的分析问题、解决问题的能力，但都不能说明学生具有数学意识。而在体育课上，48位学生在跳长绳，教师共准备了4根长绳，由此学生能想到“484”这个算式，这就说明学生具有一定的数学意识了。（一）理解数的意义与数的联系，培养数感。在北京自然博物馆有一块展板：“1983年初在东北地区进行的航行调查表明，在7000平方米的山林中仅发现两只老虎，因此东北虎被列为一级保护动物。”对外经贸大学的小杨认为:一个标准的操场都比7000平方米大。如果在7000平方米的范围里就有两只老虎，那么老虎的数量应该很多，怎么还会因此被列为一级保护动物呢？那为什么那么多的参观者对此说明都熟视无睹，而小杨却能发现其中的问题呢？一方面我认为小杨善于观察、思考，另一方面说明小杨有很好的数感。“数感”，就是对数的本质的理解和感觉。数的本质是“多与少”或者“大与小”，从而过渡到数的顺序。有关“数感”问题我们可以追溯到动物的感知，比如说条狗，它可能敢与一匹狼争斗，但如果有两匹狼它就会害怕，如果面对一群狼它就会逃跑。这说明动物也知道“多与少”。在数：科学的语言一书中记载了这样一件事：一只乌鸦在一家庄园的望楼顶上建了个鸟巢，庄园主对此很生气，决心杀死这只乌鸦。可是，每当庄园主走进望楼，乌鸦就离巢而去，直到庄园主走出望楼才回巢。庄园主就想了一个办法，他找来个朋友，两人一起进去，然后走出一人，希望留下一个人去杀乌鸦，但是乌鸦并没有上当回巢。后来又三人进去两人出来，四人进去三人出来，依然如故。直到五人进去四人出来，乌鸦才分辨不清，回巢了。这说明乌鸦关于数的悟性至少可以分辨到4或5。如果人不会数数的话，能辨别到几呢?实验表明，人也只能辨别到4或5。由此可以推断，在数学方面，发明了计数之后，人类才与动物产生了本质的差异。有了“多少”这一概念，人类才能理解“有序”、“后继数”等概念。从l开始，借助“后继数”，便形成了自然数系；通过自然数的四则运算，形成了有理数系；通过有理数的代数运算，最终形成了实数系。所以，“多少”的概念，以及由其自然产生而不是通过运算产生的自然数，才是数学最本质的概念，也是小学数学的根基。因此，培养小学生的“数感”是低学段教学的重点。其实学生入学前就已经知道了不少数，但那只是他们凭生活经验认识的数，对数他们只是有一种非常“肤浅”的表层认识，我们的任务就是让这些成人看起来非常抽象的数，在孩子的脑子中逐渐丰富起来，富有“数的内涵”。一年级上册第五单元学习1120各数的认识，本节课的教学重点是，让学生通过动手操作初步认识和数位“个位”、“十位” 和 计数单位“一”、“十”；理解同一数字在不同位置表示不同的数值。一上课我通过猜数游戏引出“11”这个数，然后要求学生把11根小棒摆在桌面上，让别人一眼就能看出是11根。当学生把11根分成10根和1根两部分后，接着让他们把10根捆在一起。这时告诉大家，和同学们一样，数也有自己的位置，并出示数位筒，认识个位和十位。1根小棒表示1个一应放在个位筒里，1捆小棒表示1个十应放在十位筒里。另外，学生通过1个十和10个一的相互转化过程，体会 “数位”“计数单位”概念的实际意义，建立“数位”和“计数单位”的概念。同时，“数位筒”的教学又在不知不觉中对后面“份”的概念的教学起到了非常微妙的作用，从份的概念来分析，把这“10”根小棒捆成1捆，就是把10根小棒看成1份。学完后我问学生当你看到20你想到了什么？刘钰杰说：“我穿20号的鞋子。”刘翔宇说；“20十位上是2，个位上是0。”杜雨萌说：“我有20支新铅笔。”丁中岚说：“20比11大多了。”如果我们不给孩子说的自由，大概就没机会知道孩子心中的数有如此丰富的内涵了。（二）经历符号化过程，培养符号意识。英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号意识，主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。学生在生活中能接触到很多像停车标志、奥运五环标志等用符号表示的情境，所以有一定的符号经验。上学期学习“统计我们的鞋码”时，我就利用学生已有的符号经验，鼓励他们用自己喜欢的方式进行统计，有的学生写数，有的画“”，还有的用“、”等图形表示。记得王老师在教学“用数对确定位置”时，先通过呈现学生熟悉的教室里的座位这一具体场景，激活学生头脑中已有的描述物体位置的经验；通过交流，学生产生用一致的方式来表示位置的需求。然后把具体的场景图逐步抽象成圆圈图、网络图这种平面图，并让经历用数对表示位置的过程。这样学生就经历了“具体事物个性化地符号表示学会数学化表示”的学习过程，体会到引入符号的必要性以及数学符号的简洁与实用，培养了学生的符号意识，发展空间观念。当然数学符号的产生和发展过程并不是一帆风顺的，如，阿拉伯数字的诞生和使用就是一个漫长的过程，我们可以结合数的认识的教学向学生介绍数字诞生的历史，让学生了解数字符号的发展史，感受数学文化的无穷魅力。（三）实践操作与数学思考相结合，培养空间观念空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。我们就生活在宇宙这个大空间里，如，你想邀请别人去你家做客，就要说清楚你家的方位及去你家的行走路线。还有，我们的楼房，就要经历先有设计师把头脑中的实物抽象成平面图形，再由建筑师负责把它转化为实物的过程。教学时，我们要充分利用学生已有的生活经验，找准发展空间观念的支点。上学期在学习 “方向与位置”时，我把学生带到操场上，利用学生已有的“太阳从东方升起”的生活经验，先确定东方，再来认识其他三个方向。这样就把教学视野拓展到了生活空间，利用生活原型来有效促进学生空间观念的发展。空间观念的发展不仅需要丰富的现实情境、而且需要大量的操作活动。在教学“体积和容积”时，有位教师就利用从粉笔盒抽出粉笔和放回粉笔的动态过程，把抽象的数学概念具体化，让“物体占有空间的大小”变得可观察、可感受。还有在学习“搭一搭”时，老师先出示两幅从物体前面和右面观察到的平面图：前面：右面：然后让学生通过想一想、搭一搭、说一说等活动，知道有多种可能的情况，不能确定物体的具体形状。这时老师又出示从上面看到的平面图。上面：最后，大家通过想一想、搭一搭确定了物体的形状。在这里，教学过程把学生的观察、操作、想象、思考、交流等活动结合起来，发挥学生的空间想象力，实现了二维平面与三维空间之间的转化，有效促进了活动的内化及空间观念的形成。（四）经历统计活动的全过程，培养统计观念我们几乎每天都要和数据打交道，如：“今日沪综指开于2845.33点，跌幅1.07%，成交额679.80亿元。”“我国1.91亿亩作物受旱，422万人饮水困难”，对数据进行收集、整理、分析是我们每位公民的基本素养之一。统计就是一个包括数据的收集、整理、描述和分析的完整过程。小学生学习统计的核心目标是发展“统计观念”统计观念的培养仅靠训练是难以形成的，必须让学生去亲身体验。如，上学期学校举办“阳光女孩节”，我班就开展了一次“应多买些什么颜色的气球”的调查。学生经历了收集数据、整理数据、描述数据，通过交流，作出决策的统计活动。在活动中学生体会到统计的必要性以及统计的作用。现代公共媒体已经大量使用统计图来表示信息，能看懂生活中常见的统计图表是现代公民重要的数学素养。因此，进行统计教学时，应将学习重点放在引导学生读懂统计图表、会分析图表中的数据并进行必要的推理上，而不是放在制作统计图表上。如，一位同学调查了自己班上的5位男同学，其中有4位同学喜欢打篮球，便得出结论他班80%的同学喜欢打篮球。我们就要引导学生对数据来源、数据处理的方法以及由此得到的结论进行合理的质疑，使学生对统计数据有较全面、正确的认识。（五）注重数学与生活的联系，培养数学应用意识有一次，我的好朋友不好意思的问我：在超市买东西时，你好不好看同一产品不同的包装的价格，然后比较一下哪个便宜再买？其实，我们学知识为了什么？不就是用吗？学了不让它为我们的生活服务，我们学它干什么。比如，同样是光明纯鲜牛奶：大包装1000ml,8元/桶；小包装220ml，2元/盒。通过计算10008=1250（ml/元）2202=110（ml/元）可以知道，同样1元钱，可以多喝15 ml牛奶，如果家庭人口比较多，当然选择大包装合算。什么是数学应用意识呢？数学应用意识是应用数学知识、数学思想方法的心理倾向，主动尝试用数学知识、方法、策略、思想去思考和解决遇到的现实问题。看来我这位朋友就有很好的数学应用意识。在教学中我们要有意识的引导学生关注生活中的这些数学问题，让他们体会到学习数学的意义以及数学的应用价值，养成用数学的眼光观察生活的习惯。培养学生的应用意识和实践能力，仅靠课堂上的学习体验是不够的，我们还要安排一些有意思的实践活动，把数学学习延伸到课外。在认识“厘米和米”时，一位教师就安排了四次课外实践活动：（一）请你和爸爸、妈妈一起用脚量一量你的小房间的长。通过活动，让学生体验到同一物体用不同的长度单位量，会得到不同的结果；其次让学生在学习长度单位前，对长度单位先有一个广义的了解，并在与爸爸妈妈合作的过程中感受学习的快乐。（二）请你和同桌一起用一拃来量一量课桌的长。通过本活动，学生再一次体验到同一物体用不同的长度单位量，会得到不同的结果，同时让学生感受到就自己的一拃在量的过程中长短也在变化，这样量不准确，最好用一个比较准一点的工具来量。（三）请你用数学书来量一量你的小房间和课桌的长。通过这一活动，学生感悟到用同样的长度单位去量，可以比较物体的长短，但这样的长度单位在叙述时很不方便，适用范围也小，既不能量比较长的物体，如操场，也不能量比较小的物体，如橡皮，从而感受到需要有一种统一的测量工具和统一的长度单位。（四）请你用尺子来量一量你的小房间和课桌的长。通过这次活动，学生加深了对厘米和米的认识，同时建立了法定长度单位与生活中长度单位间的联系，熟练掌握了用尺子来量物体的长度的方法。第二个方面：用数学的方式思考问题数学思维能力的培养。（一）数形结合，发展学生的形象思维小学生的思维处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。数是形的抽象，形是数的表现。“数形结合”能帮助学生生成正确的数学表象，促进学生的数学理解。案例一：“千克与克”的认识属于概念教学，内容相对比较抽象，学生理解有一定困难。在学习千克的时候，我设计了一个找1千克的环节。我让学生一只手掂着1千克重的洗衣粉，另一只手掂一掂袋子里的东西，估一估哪袋东西也重1千克。人对物体质量的直观感知，除了掂一掂然后估一估之外，很重要的一种方式是根据具体实物的数量来进行简单推断。因此，在评价学生“克与千克”知识掌握程度时，经常要考查学生“5个苹果约重（）千克”、“1箱苹果重10（）”。我们大人根据一般的生活经验，都能做出简单的估计。但刚上三年级的小学生，生活经验比较少，或者平时经历了但没有留心，临到做题时只能瞎猜。而且同样质量的物体，每个物体的大小不同，物体的数量也不同。这就要求教师在课堂上通过实践活动，唤醒学生的经验，提醒他们注意积累对质量的体验。比如，学生掂、称出1千克苹果、面粉等后，让学生数一数、看一看，就能发现4个苹果约重1千克，2瓶矿泉水约重1千克，1千克黄豆（约4000粒）有几捧。让学生将抽象的1千克数学概念与具体事物的数量、体积联系起来，能帮助学生有效建立1千克的质量概念，化抽象的概念为可以看得见的数学事实。案例二：在计算教学中我们不仅要让学生掌握计算方法，更重要的是要人学生明白算理，使学生不仅“知其然”，而且“知其所以然”，促进学生对数学的理解。在小学阶段，加、减、乘、除的竖式写法是笔算教学的重要内容，其中除法的竖式相对特殊。初次接触除法竖式是在二年级上册第七单元表内除法，由口算引入，数目简单，根据知识迁移规律，学生一般都会仿照加、减、乘法的竖式写法来写“除法竖式”。如果我们非要学生再创造一种新的竖式写法，那么除法竖式只能成为教师一厢情愿硬塞给学生的东西，体现不出除法竖式的优势。教学不应该是学生适应教师，而应该以学定教。为了让学生体验到笔算除法的必要性，我在教学这节课时，改变了教材的呈现顺序，把二年级下册的有余数的笔算除法提前，也就是先教学有余数除法的竖式，再教学没有余数的。教学过程是这样设计的：1.分糖葫芦活动，把13串糖葫芦平均分给4个同学，每个同学分到几串，还剩几串？2.用小棒代替糖葫芦分一分。3.列横式计算：134=3（串）1（串）。4.加、减、乘法都有竖式，除法也能用竖式计算，让学生尝试写出来，结果多数同学不知怎样写，而我班李景渤这样创造：13431这时，我写出正确的除法竖式让学生对比两者的不同，学生发现正确的写法能清楚的看出哪些是要分的，哪些是已经分的，哪些是剩余的，能更好的体现出分的过程。接着结合分小棒的过程来介绍除法竖式的写法。关于除法竖式的书写顺序，教材和教师用书都没有说明，我尝试按被除数、除号、除数、等于号、商的顺序来书写，这种书写过程与横式书写顺序一样，这样可以避免学生把除号里面的被除数和外面的除数位置搞错。5.学生尝试练习除法竖式：215、206、153。从有余数到无余数，从一般到特殊，学生顺利理解在153的竖式中，被除数下面要再写一个15，是表示分掉了15个。这节课先教学有余数的除法竖式，让学生产生用加、减法的竖式书写，余数没办法处理的矛盾，从而产生学习除法竖式的内心需求，同时也有助于学生理解除法竖式中各部分的意义。案例三：图形语言是形象思维的主要载体，运用“数形结合”办法解决问题就是把数学问题中的数量关系与空间形式结合起来进行思维。例如，小朋友排队，小雨从前往后数，他自己是第8个。又从后往前数，他是第5个。这队共有多少个小朋友？一部分学生一时难以解决，教师要引导学生画示意图解决，用图表示为：前后，得到：7+1+4=12（人）或8+4=12（人），化抽象为直观，使问题的数量关系更容易理解，找到简捷地解决问题的办法。（二）精心组织数学活动，培养学生初步的推理能力推理是由一个或几个已知判断得出新判断的思维过程。根据小学生的年龄特征，小学生的推理能力应以合情推理为主。伟大的科学家牛顿认为：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”数学猜想是合情推理发展的基础。“猜想验证”是一种重要的推理策略。在教学“圆锥的体积”时，老师要求学生把圆柱形的胡萝卜削成等高的圆锥，并猜测圆锥的体积与圆柱体积的关系。有的认为是圆柱的1/2,有人认为是1/3,也有人认为介于1/2和1/3之间。在上述案例中，学生借助观察与实验进行了大胆猜想；我们也可以运用类比提出猜想，如根据“长方体的体积=底面积高”，可以类比推断出“圆柱的体积=底面积高”。由于合情推理的结果具有不确定性，所以我们要采用实例法和演绎法对结论进行论证，并以实例验证为主。实例验证，主要是通过举例的方法进行，可以举反例，推翻原来的结论或猜想。也可以举出正例，运用不完全归纳法验证猜想使原来的结论更加可靠。下面我们来看学生是怎样验证“3的倍数的特征”的。当学生根据2、5的倍数的特征猜测：个位上是3、6、9的数是3的倍数后，学生就用反例进行了验证：生1：个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，如13、16、19都不是3的倍数。生2：像60、12、27等个位上不是3、6、9，但这些数都是3的倍数。通过探索初步得出：“一个数每个数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这一结论后，学生又用“举例归纳”的方法进行了验证：如有的学生发现“在1100的自然数中，是3的倍数的，各位数位的数字和都是3的倍数。110、145各数位数字之和不是3的倍数，这些数就不是3的倍数。”最后，教师还引导学生利用3根小棒在数位表中摆数，用“操作归纳”的方法进一步验证了结论。随着年级的升高，我们应该结合课堂上的学习内容，引导学生学习一些有效的演绎推理方法。如，17世纪著名的数学家莱布尼兹就一丝不苟地利用数学的演绎法论证了“22=4”，22=2（1+1）=2+2=2+（1+1）=（2+1）+1=3+1=4，这里运用了自然数的意义、乘法分配律、加法结合律等知识进行论证。小学生的推理能力往往不是靠“传授”得来的，而是在自主参与的推理活动中“领悟”出来的。数学推理能力的培养并不仅局限于课堂，一些有效的课外活动及游戏方式同样是培养推理能力的良好途径。（三）把握整体，突破常规，培养直觉思维能力爱因斯坦说：“真正可贵的思维是直觉思维。”直觉思维是人脑对事物、问题、现象的某种直接的领悟和洞察的一种思维形式。在教学中，要培养学生的直觉思维能力。首先，要提高学生整体把握知识的能力。如小明今年8岁，他妈妈今年36岁，再过6年，妈妈比小明大几岁？按一般的思维方式，此题列式是“（36+6）-（8+6）”，但具有良好的直觉思维的学生就会简化信息与问题间的距离，直接列式为“36-8”.其次，要选择合适的问题和形式，训练学生的直觉思维。如问题1：计算（1+3+5+2007）-（2+4+6+2006），教师可以引导学生观察数据特点，从而产生直觉预见，去掉括号，将算式重组为1+（3-2）+（5-4）+（2007-2006）=1004。问题2：下面时间中，与你的年龄最接近的是（）。600时b600日c 600周d 600月本题是一道选择题，只要求从四个选项中挑选一个合理的答案，省略了解题过程，允许学生运用合理的猜想，有利于直觉思维的发展。最后一个方面:用数学的方法解决问题解决问题能力的培养。记得匈牙利著名数学家罗莎曾做过一个比喻：假如在一群专家面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，要想烧开水，应当怎么做？大家都认为应先灌水，再点燃煤气灶，然后放到火上烧，这是共同的认识。但如果壶中已经灌好水了，其它条件都不变，又该怎样做？这时，多数专家会直接点燃煤气灶，然后放在火上烧，而唯有数学家会把水倒掉，因为数学家这时会用数学思维化归思想来思考问题，把后一情形化归为前面已经熟悉的情形。比喻虽有点夸张，但它的确能说明：与其他应用科学家相比，数学家更善于用数学的思维方式来思考问题。能否用数学的思想、方法、策略等去解决数学问题或日常问题是学生数学素养高低的一个重要标志。（一）让运用策略成为学生的一种思维习惯生活中的问题形式多样、变化多端，我们不可能把所有问题让学生一一尝试解决。因此，“解决问题”的学习价值在于使学生积淀解决问题的基本思路和常用方法，积累解决问题的经验，形成解决问题的基本策略。根据小学生的年龄特点，应把画图、列表、猜想与验证、动手操作等作为常用策略在教学中加以指导。很多问题都可以通过用“图”解决或找到思路。“画图”包括画线段图、示意图等。线段图是一种常见的图式表征的形式，在一年级学习求一个数比另一个数多（少）几的问题时，我就引导学生用线段图来揭示数量关系：一班：二班：使问题变的直观易解。画示意图是指用图来模拟具体情境或事物运动变化的过程，如这样一个问题：小船最初在南岸，从南岸驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。小船摆渡21次后，船在南岸还是北岸？为什么？在教师的引导下学生画出了示意图。通过观察得出结论：摆渡奇数次后，船在北岸；摆渡偶数次后，船在南岸。因为21是奇数，所以船在北岸。画图直观、明了，学生容易找到解题思路。列表也是一种重要的解决问题策略。列表可以帮助学生整理信息，并利用表格进行分析推理；也可以帮助学生分析数量之间的关系、寻找规律。对于古代数学名题“鸡兔同笼”：鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？我们可以引导学生列表：头（个）鸡（只）兔（只）腿（条）201197820515702010106020155502014652这么多腿？一定是兔子太多了还多，兔子还应减少比54少了，兔子数应该在5和10之间然后用“猜想与尝试”的策略找到解决问题的答案。其实“鸡兔同笼”问题我们的关注点不是数学问题本身，而是要用“鸡兔同笼”这个问题为载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略。“动手操作”策略是利用实物操作或动态模拟帮助学生思考问题。在各个学习领域都可以应用动手操作策略帮助学生理解知识、解决问题。如利用摆小棒理解算理、利用图形剪拼探索组合图形面积的计算方法等。当遇到如“小军去游泳池游泳，他在泳道内游了两个来回，共游了100米，这个游泳池的泳道有多长？”这样的问题，可以让学生用手在桌面上模拟一下真实情境，理解“两个来回”实际上就是4个泳道的长。另外，在指导学生掌握和运用这些方法和策略的同时，还应结合适当的材料渗透一些基本的数学思想，如刚才提到的化归思想，数学问题解决的最基本的形式就是化归：把未知的问题化归为已知的问题，把非典型的问题化归为典型的问题，把非常规的问题化归为常规问题。还有函数思想、集合思想等。（二）有效实现解决问题过程的两次转化周玉仁教授认为：“在解决实际问题的过程中，小学生实际上完成了两个转化。从纷乱的实际问题中获取有用的信息，抽象成数学问题，这是第一个转化。然后分析其间的数量关系，用数学方法求解或近似解，并在实际中检验，这是第二个转化。”因此，我们要加强对学生解决问题过程的指导，促进学生较好地完成这“两次转化”，提高他们解决问题的能力。1.注重“问题表征”方法与策略的指导，促进“问题情境”向“数学问题”的转化表征问题的方式一般分为内部表征和外部表征两种。内部表征（也称心理表征），是指在头脑中表征问题，对于信息少、数量关系简单的问题，学生一般用内部表征就能解决。外部表征是指把有关信息与问题用图形、表格等方式表示出来。外部表征的形式很多，像信息摘录、画图呈现等。根据小学生的特点，教学中要加强外部表征方式的指导，引导学生读懂问题情境，摘录下有用信息，实现“问题情境”向“数学问题”的转化。心理表征有两种基本的策略直接转换策略和问题模型策略。使用直接转换策略的学生只对题中的表面内容进行理解，比如看到“一共”就用加法，看到“少”就用减法；而使用问题模型策略的学生是对每个信息都进行表征，理解各信息之间的关系，再进行情境模型建构。如这样一个问题：学校体育室共有30个篮球，四（1）班借了20个篮球，又还回来8个，四（1）班还有几个篮球没有还？如果学生认为“ 共有30个篮球，借走20个，算式是30-20，又还回来8个，所以算式是30-20+8”这说明他使用的是直接转换策略；如果学生认为“借走20个，又还回来8个，所以没有还的篮球数是20-8，30在这个问题中是多余信息”，这个学生使用的就是问题模型策略。教学中，教师要有针对性的指导，提高学生运用“问题模型策略”表征问题的能力。2.注重数量关系分析的指导，促进从“数学问题”到“用数学方法解决”的转化解决问题时，分析数量关系是从“数学问题”到“用数学方法解决”的“桥梁”。数量关系的建构要结合具体的问题情境，除了“速度、时间、路程”和“单价、数量、总价”等常见的数学模型有必要进行概括外，其他的数量关系就没有必要作统一要求了。对于比较复杂的数量关系，教师要引导学生利用画图、列表等表征方式进行分析。下面来看一个教学片断：“解决角上重复计数问题”：在一个正方形的每条边上放6个棋子，最少要用多少个棋子？教师鼓励学生用画图的方式说明自己的想法。结果出现了：生1：62+（6-2）2=20（个），我先算两条边的棋子数要12个，另外两条边只要增加4个就可以了。生2：角上4个棋子各重复了一次，我每条边上只算一个，所以是54=20（个）。生3：角上的棋子重复了一次，所以是64-4=20(个)。生4：角上的棋子可以先不算，所以是44+4=20(个)。反馈交流后，再呈现第二个问题：在一个正方形的每条边上摆100个棋子，最少要多少个呢？让学生先把图画在脑子里，尝试列式计算，最后画图验证。在上述案例中，教师引导学生用画图的方法进行思考，从简单到复杂，从具体到抽象，并把数学计算方法、图形、数学语言说明相结合，促进了学生对方法的理解，提高了使用画图策略解决问题的能力。当然，解决问题的策略是多样化的，我们要鼓励学生根据不同的问题来选择恰当的方法和策略，并将解决问题的策略内化为个人的数学素养，成为思考问题的一种习惯。（三）在交流与反思中促进方法与策略的内化解决问题经验的积累、方法策略的内化在很大程度上是交流与反思的结果。案例：“估计一版报纸有多少字”。老师先让学生独立思考后说说自己打算怎样估计：生1：先估计一篇文章，再数出一共几篇文章。生2：先估计一栏有多少字，再看一共有几栏。生3：把报纸折成大小相等的几块，先估计一块，再估计整版。接着让学生在三种方法中选择一种进行估计。估计完再进行交流。这两次交流意义不同：第一次是交流估计的策略，通过交流使一部分还没有想起策略的同学得到了启发，估计时就不会茫然无序。第二次主要是交流具体的估计方法，在同学们的互相补充中来完善自己的方法。许多研究表明，学生在问题解决中之所以失败，常常不是因为缺乏相关的知识和认知策略，而是对知识和认知策略的无效运用。专家在研究问题时，会定期检查解题过程，看看是否沿着一条正确的途径，如果感觉没有进展，就会毫不犹豫地停下来，选择其他途径。学生的评价、反思意识和水平对提高学生解决问题的能力起着重要的作用，教师要善于引导学生对解决问题的过程和方法进行反思和评价，促进“策略”的形成。总之，“解决问题”教学要变“教解法”为“策略指导”，引导学生学会从复杂的情境中解读数学信息，注重解决问题过程中的体验和解决问题方法的积淀，提升学生的数学素养。记得听过这样一个故事：一位数学家的女儿从幼儿园放学回家，父亲问她今天学到了什么？女儿高兴的回答道：“我们今天学习了集合。”数学家想，对这样一个高度抽象的概念，到高中一年级才要学，女儿的年龄实在太小了。因此，他关切地问：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂！一点都不难。”父亲还是放心不下，又追问道：“你们老师是怎样教的？”女儿说：“老师先让班上的男孩子站起来，然后告诉大家，这就是男孩子集合；再让所有女孩子站起来，并说这就是女孩子集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合。老师最后问大家：是否都懂了？大家回答：都懂了。”听完女儿的叙述，父亲想检验一下女儿的学习成果，就问:“我们能否把世界上所有的土豆组成一个集合呢？”女儿迟疑了一会儿，最终回答：“不行！除非它们都站起来。”看来在教学中我们不仅要注重发展学生的数学意识，重点培养他们数学思维能力和解决问题的能力；还要把握数学的本质与联系，培养学生的理解能力；促进学生全面、持续、和谐的发展也是学生数学素养培养的重要内容。最后我们来看一个案例：一位教师在教学“自然数按能否被2整除分为偶数和奇数”时，让学生按从小到大的顺序列举偶数和奇数，并形成下列板书：自然数偶数：0、2、4、6奇数：1、3、5、7然后引导探究偶数和