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应用三角形内角和定理及其推论解题例析三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。以上关于三角形的内角和定理及其推论在解题中有比较广泛的应用，下面举例说明。一、求角度的大小例1：在ABC中，若A: B: C=1:2:3，则C=_。解：依题意，不妨设A=x，则B=2x，C=3x，因此由三角形的内角和定理可得：x+2x+3x=180，解之得：x=30，故C=3x=90。例2：如图1，已知1=20，=25，A=35，则BDC的度数为_。ABCD11BCDAE 图1 图2解：在ABC中，ABC+ACB=180-A=180-35=145，DBC+DCB=(ABC+ACB)-( 1+2)=145-(20+25)=100.在BDC中，BDC=180-(DBC+DCB)=180-100=80.例3：如图2，在直角三角形ABC中，C=90，DEAB于E，交AC于D。若B=53，则CDE=_.解：ABC是直角三角形，B=53，由三角形内角和定理的推论1，得A=90-53=37。再由三角形内角和定理的推论2，得CDE=A+AED=37+90=127。二、求多角的和例4：如图3，一个任意的五角星，它的五个角(A、B、C、D、E)的和为（ ）A.50 B.100 C.180 D.200AABCDE12BCDE12 图3 图4解：由推论2知，2=B+D，1=C+E；又由定理知：1+2+A=180，即A+B+C+D+E=180，故本题应选C。例5：如图4，已知A=60，求B+C+D+E的度数。解：由题设可知，B+C=180-1，D+E=180-2，B+C+D+E=360-(1+2）1+2=180-A=120,B+C+D+E=360-120=240.三、求角的取值范围ABCDBCDEA例6：如图5，在ABC中，ABACB，延长AC到D，求BCD的取值范围。 图5 图6解：AACB，BACB，A+B2ACB,A+B=180-ACB，180-ACB2ACB, ACB120,120BCDA。AABCPDBCDE 图7 图8析与证：为了使BPC与A有联系，可延长BP交AC于D，于是由推论3知，BPCPDC, 而PDCA，故BPCA。六、判断三角形的形状例9：在ABC中，A=B=C，试判断三角形的形状。解：A=B=C，B=C，又A+B+C=180，C+C+C=180,C=90, ABC为直角三角形。七、解实际问题例10：一个零件的形状如图8所示，按规定A应等于90，B和C应分别是32和21。检验工人量得BDC=148，就可以确定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零不合格的理由。解：根据三角形内角和定理及其推论，可连结AD，并延长到E。CDE=CAD+C，BDE=DAB+B，CDB=CAD+DAB+B+C。如果零件合格，那么CDB=90+32+21=143现量得CDB=148，所以零件不合格。练习： 在ABC中，A-B=B-C=20，求A、B、C的度数。 在ABC中，A+C=2B，求B的度数。 如图1，已知1=20，2=25，A=35，则BDC的度数为_。BCD12CABED 图1 图2 如图2，已知ABCD，求A+C+AEC的度数。参考答案1、A=80，B=60，C=40；2、B=60；3、BDC=80；4、360。与三角形的角相关新题型三角形的内角和定理、外角性质揭示了三角形的角之间的重要的内在关系，成为重要的几何基础知识其考查形式也丰富多样，下面我们就关注几类与三角形的角相关的新题型一、情境探究型问题例1 一天，小军和小明在讨论如图所示的图形中，有以下说法：既可看成是的一个内角，也可看成是的一个外角；可看成是的一个内角，也可看成是的一个外角；由三角形的外角性质可知;图中有三组互余的角，如与、与、与其中，正确的个数是 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解：选D;点评：这个问题置身于两个同学们讨论氛围中，其实是内角、外角的识别问题二、操作体验型问题例2 如图，一块试验田的形状是三角形（设其为），管理员从边上的一点出发，沿的方向走了一圈回到处，则管理员从出发到回到原处在途中身体 ( ).ABCDA转过B转过C转过D转过析解：分析题意，知道管理员走了一圈后，其实是转了一周，即转过，选D点评：解题贵在发现本质，像本题的本质就是，管理员在整个运动过程中，最后转了一圈，即旋转了三、变化探究型问题例3 如图，已知，点、分别在射线、上移动，的内角平分线与的外角平分线所在直线交于点，试猜想：随着、点的移动，的大小是否变化？说明理由.解：的大小不变.理由：平分.点评：这个问题在运动背景下，问题似乎找不到突破方向，具体分析时，同学们可以做无效线条的删减，以“突显”图形的目的像本题的本质就是三角形一个内角与外角平分线的夹角问题例5 探究与发现：（1）如图12与BC有什么关系？为什么？（2）把图ABC沿DE折叠，得到图，填空：12_BC(填“”“”“=”)，当A40时，BC12_（3）如图，是由图的ABC沿DE折叠得到的，如果A30，则xy360（BC12）360 , 猜想BDACEA与A的关系为 . 图 图 图解析：（1）12=BC 由三角形的内角和是180易证.（2）12=BC 280 (12=BC=180-40=140)（3）300,60 BDACEA=2A (由已知度数得到BDACEA与A的数量关系,不要求证明)点评：本题看似复杂，其实是三角形内角和与外角性质的综合应用，同学们注意体会其中的方法除了上面的方法，是不是还可以有其他的方法呢？（补全图、折去的部分，利用三角形外角性质分析）试试吧！三角形内角和定理及其推论的应用同学们在学习三角形知识的过程中，首先会学到三角形内角和定理及其推论，其内容如下：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180；推论1：直角三角形的两个锐角互余；推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。下面举一些典型的例子说明定理及其推论的应用。例1：如图1，求A+B+C+D+E的度数。AABBCCDDEE112 图1 图2解：1=A+B，2=E+C，而1+2+D=180,即A+B+E+C+D=180，A+B+C+D+E=180。例2：如图2，B=30，CDE的三个内角都相等，求A的度数。解：CDE的三个内角都相等，1=，又1=B+A，A=60-30=30。例3：如图3，在ABC内，A=42，B和C的三等分线分别交于D、E。求BDC、BEC的度数。ABCDE 图3解：A+ABC+ACB=180，A+ABC+ACB=180，而A=42，ABC+ACB=92，即DBC+DCB=92。BDC=180-92=88，同理：ABC+ACB=46，即EBC+ECB=46，BEC=180-46=134。故BDC=88，BEC=134。例4：如果一个三角形的每个内角都大于50，则它们必定都小于80。证明：设A、B、C表示三角形的三个内角。A50，B50，C=180-A-B180-50-50=80.即C80.同理：A80，B80。例5：在锐角三角形中，三个内角的度数都是质数，试判断三角形的形状。解：由于ABC的各角均为锐角，不妨设ABC90.A、B、C均为质数，且A+B+C=180，A、B、C的度数中至少有一个为偶数，但偶质数只有2，故A=2，B此时不能再为偶数2。B+C=180-2=178，而BC89，B=C=89，故ABC为等腰三角形。例6：ABC的最大角为最小角的2倍，求第三个角的范围。解：设三角形的三个角分别为、2，则+2=180，=(180-)，又2，于是(180-)(180-)，即45C。证明：AFB是BDF的一个外角，由三角形内角和定理的推论2知，AFBBDF。同理可知，BDFC，则由不等式的传递性，得AFBC。DAABCD12BCFE 图4 图5例8：如图5，凸四边形ABCD，求证：ABC、ACD、BCD、ABD中，至少有一个三角形的一个内角不超过45。证明：BAD+ADC+DCB+CBA=360，这四个角中至少有一个不小于90。不妨设BAD90，由三角形的内角和定理，1+290，因而1和2中至少一个角不超过45。练习：1、 若一