高考总复习精品教学案：平面向量单元.doc

高考总复习精品数学教案考纲导读平面向量1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律3掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形高考导航知识网络向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介主要考查：1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则2向量的坐标运算及应用3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明第1课时 向量的概念与几何运算基础过关1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 3实数与向量的积 实数与向量的积是一个向量，记作它的长度与方向规定如下： | | 当0时，的方向与的方向 ； 当0时，的方向与的方向 ； 当0时， () () () 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数使得 4 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 设、是一组基底，则与共线的充要条件是 典型例题例1已知ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点设，求解：()变式训练1.如图所示，D是ABC边AB上的中点，则向量等于（ ）ADBCABCD解:A例2. 已知向量，其中、不共线，求实数、，使解:29(22)(33)222，且3392，且1变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证：证明 2，24例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，试用、表示和解：连NC，则；BOADCNM变式训练3：如图所示，OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，试用、表示，解:，例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，tR，t为何值时，t，()三向量的终点在一条直线上？解：设 (R)化简整理得：，故时，三向量的向量的终点在一直线上变式训练4：已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？解：由题设知，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，整理得.若共线，则可为任意实数；若不共线，则有，解之得，.综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.小结归纳1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意与O的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证，且AB与CD不共线要证A、B、C三点共线，则证即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点第2课时 平面向量的坐标运算基础过关1平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得xy我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 并且| 2向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系3平面向量的坐标运算：若(x1、y1)，(x2、y2)，R，则： 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则 4两个向量(x1、y1)和(x2、y2)共线的充要条件是 典型例题例1.已知点A（2，3），B（1，5），且，求点C的坐标解(1，)，(1, )，即C(1, )变式训练1.若，则= . 解: 提示：例2. 已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值解:|coscos()变式训练2.已知2(3，1)，2(1，2)，求解 (1，1)，(1，0)，(0，1)例3. 已知向量(1, 2)，(x, 1)，2，2，且，求x解:(12x，4)，(2x，3)，3(12x)4(2x)x变式训练3.设(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 )，求证：k证明: k k0 kAMBCDP例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P(1) 若(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)， 得x010 y06 即点C(10，6)(2) 点D的轨迹为(x1)2(y1)236 (y1)M为AB的中点P分的比为设P(x，y)，由B(7，1) 则D(3x14，3y2)点P的轨迹方程为变式训练4.在直角坐标系x、y中，已知点A(0，1)和点B(3，4)，若点C在AOB的平分线上，且|2，求的坐标解 已知A (0，1)，B (3，4) 设C (0，5)，D (3，9)则四边形OBDC为菱形 AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD 小结归纳1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算第3课时 平面向量的数量积基础过关1两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的 当0时，与 ；当180时，与 ；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作，即 规定零向量与任一向量的数量积为0若(x1, y1)，(x2, y2)，则 3向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于 4向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，是与的夹角 当与同向时， ；当与反向时， cos | 5向量数量积的运算律： ； () () () 典型例题例1. 已知|4，|5，且与的夹角为60，求：(23)(32)解:(23)(32)4变式训练1.已知|3，|4，|5，求|23|的值解:例2. 已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求；(2) 求|的最大值解：(1)若，则即 而，所以(2)当时，的最大值为变式训练2：已知，其中(1)求证： 与互相垂直；(2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)证明： 与互相垂直（2）,而，例3. 已知O是ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，判断ABC是哪类三角形解:设BC的中点为D，则()()020BCADABC是等腰三角形.变式训练3：若，则ABC的形状是 . 解: 直角三角形.提示： 例4. 已知向量(cos, sin)和(sin, cos) (, 2)且|，求cos()的值.解:(cossin, cossin)由已知(cossin)2(cossin)2化简：cos又cos2(, 2) cos0cos变式训练4.平面向量，若存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式.解：由得小结归纳1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意与ab的区别0，或 3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合第4课时 线段的定比分点和平移基础过关1 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使，叫做 2设P1（x1、y1），P2（x2、y2），点P（x、y）分的比是时，定比分点坐标公式为： ，中点坐标公式： 。3 平移公式：将点P（x、y）按向量（h、k）平移得到点P（x，y），则 典型例题例1. 已知点A(1, 4)，B(5, 2)，线段AB上的三等分点依次为P1、P2，求P1、P2的坐标及A、B分所成的比.解 P1(x2) P2(3, 0) (2) , 2变式训练1.设|AB|5，点p在直线AB上，且|PA|1，则p分所成的比为 解: 例2. 将函数y2sin（2x）3的图象C进行平移后得到图象C，使C上面的一点P（、2）移至点P（、1），求图像C对应的函数解析式解: C：y2sin(2x)2变式训练2：若直线2xyc0按向量(1, 1)平移后与圆x2y25相切，则c的值为 （ ）A8或2 B6或4C4或6 D2或8解: A例3. 设(sinx1, cosx1)，f (x)，且函数yf (x)的图象是由ysinx的图象按向量平移而得，求.解:() (kz)变式训练3：将ysin2x的图象向右按作最小的平移，使得平移后的图象在k, k (kZ)上递减，则 解:(，0)例4. 已知ABC的顶点A(0、0)，B(4、8)，C(6、4)，点M内分所成的比为3，N是AC边上的一点，且AMN的面积等于ABC的面积的一半，求N点的坐标解:由 得 N(4，) 变式训练4.已知ABC的三个顶点为A（1，2），B（4，1），C（3，4）(1)求AB边上的中线CM的长及重心G的坐标；(2)在AB上取一点P，使过P且平行于BC的直线PQ把ABC的面积分成45两部分（三角形面积：四边形面积），求点P的坐标解:小结归纳1在运用线段定比分点公式时，首先要确定有向线段的起点、终点和分点，再结合图形确定分比2平移公式反映了平移前的点P(x、y)和平移后的点P(x、y)，及向量(h，k)三者之间的关系它的本质是平移公式与图象变换法则，既有区别又有联系，应防止混淆平面向量章节测试题一、选择题1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( )A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对2.与a=（4，5）垂直的向量是 ( )A.（-5k,4k） B. (-10，2） C. () D.（5k, -4k）3. ABC中,=a, =b,则等于 ( )A.a+b B.-(a+b) C.a-b D.b-a 4.化简(ab)(2a+4b)+(2a+13b)的结果是 ( )A.ab B.0 C. a+b D. ab5.已知|p|=,|q|=3, p与q的夹角为,则以a=5p+2q,b=p3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )A.15 B. C. 16 D.146.已知A(2,-2),B(4,3),向量p的坐标为(2k-1,7)且p,则k的值为 ( )A. B. C. D.7. 已知ABC的三个顶点，A、B、C及平面内一点P满足，则点P与ABC的关系是 ( )A. P在ABC的内部 B. P在ABC的外部 C. P是AB边上的一个三等分点 D. P是AC边上的一个三等分点8.已知ABC的三个顶点，A (1,5)，B(-2,4)，C(-6,-4)，M是BC边上一点,且ABM的面积是ABC面积的,则线段AM的长度是 ( )A.5 B. C. D.9.设e1,e2是夹角为450的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,则|a+b|的值 ( )A. B.9 C. D.10.若|a|=1,|b|=,(a-b)a,则a与b的夹角为 ( )A.300 B.450 C.600 D.75011.把一个函数的图象按向量a=(,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y=sin(x+)-2,则原函数的解析式为 ( )A.y=sinx B.y=cosx C.y=sinx+2 D.y= -cosx12.在ABC中，=c, =a, =b,则下列推导中错误的是 ( )A.若abf(cd)的解集.平面向量章节测试题参考答案一、BCDBA；DDADB；BD二、13.等边三角形；14.大小是4km/h,方向与水流方向的夹角为600 ; 15.a2b ; 16.三、17.|=2|a,ba , =ab18.5e1+5e2= , 又有公共点B,A、B、D共线设存在实数使ke1+e2=(e1+ke2) k=且k=1 k=19.由可知即ABAC 设D（x,y）, 5(x-2)+5(y-4)=0 5(x+1)5(y+2)=0 D()2