正弦函数余弦函数的性质.doc

正弦函数余弦函数的性质教学目标1掌握ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值(重点)2会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题(难点)3了解周期函数、周期、最小正周期的含义(易混点)基础初探教材整理1函数的周期性阅读教材P34P35“例2”以上部分，完成下列问题1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2(2)余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2函数y2cos x5的最小正周期是_解：函数y2cos x5的最小正周期为T2.【答案】2教材整理2正、余弦函数的奇偶性阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题1对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称2对于ycos x，xR恒有cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称判断函数f(x)sin的奇偶性解：因为f(x)sincos 2x.且f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，所以f(x)为偶函数教材整理3正、余弦函数的图象和性质阅读教材P37P38“例3”以上内容，完成下列问题函数名称图象与性质性质分类ysin xycos x相同处定义域RR值域1，11，1周期性最小正周期为2最小正周期为2不同处图象奇偶性奇函数偶函数单调性在(kZ)上是增函数；在(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数；在2k，2k(kZ)上减函数对称轴xk(kZ)xk(kZ)对称中心(k，0)，(kZ)(kZ)最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k时，ymax1；x2k时，ymin1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若sinsin，则是函数ysin x的一个周期()(2)函数ysin x在第一象限内是增函数()(3)余弦函数ycos x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条()(4)余弦函数ycos x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形()解：(1).因为对任意x，sin与sin x并不一定相等(2).ysin x的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示(3).由余弦函数图象可知正确(4).由余弦函数图象可知正确【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型三角函数的周期问题及简单应用(1)下列函数是以为最小正周期的函数是()Aysin xBysin x2Cycos 2x2Dycos 3x1(2)函数ysin的最小正周期为_(3)求函数y|sin x|的最小正周期(1)(2)利用周期定义或公式T.(3)利用图象求解解：(1)ysin x及ysin x2的最小正周期为2，ycos 2x2的最小正周期为，ycos 3x1的最小正周期为，所以选C(2)法一：ysinsinsin，所以最小正周期为.法二：因为函数ysin中2，所以其最小正周期T.【答案】(1)C(2)(3)作函数y|sin x|的简图如下：由图象可知y|sin x|的最小正周期为.求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解(2)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期再练一题1求下列三角函数的周期：(1)y3sin x，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)ysin，xR. 解：(1)因为3sin(x2)3sin x，由周期函数的定义知，y3sin x的周期为2.(2)因为cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.(3)因为sinsinsin，由周期函数的定义知，ysin的周期为6.三角函数奇偶性的判断(1)函数ysin是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数(2)已知aR，函数f(x)sin x|a|(xR)为奇函数，则a等于()A0B1C1D1(3)判断下列函数的奇偶性：f(x)|sin x|cos x.f(x).(1)可先化简解析式再判断奇偶性(2)可由f(x)f(x)恒成立来求a.(3)中注意先求定义域并化简解析式后由定义法判断解：(1)因为ysinsinsincos 2 016x，所以为偶函数(2)函数定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(x)sin(x)|a|f(x)sin x|a|，所以|a|0，从而a0，故选A【答案】(1)B(2)A(3)函数的定义域为R，又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以此函数是偶函数由1cos x0且cos x10，得cos x1，从而x2k，kZ，此时f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数1判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(x)的关系2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断再练一题2(1)函数f(x)sin 2x的奇偶性为 ()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数(2)判断函数f(x)sin的奇偶性解：(1)f(x)的定义域是R.且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，函数为奇函数【答案】A(2)f(x)sincos x，f(x)coscos x，函数f(x)sin为偶函数求正、余弦函数的单调区间(1)下列函数，在上是增函数的是()Aysin xBycos xCysin 2xDycos 2x(2)函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_(3)求函数ysin的单调递减区间(1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；(2)可利用，a为ycos x对应增区间子集求a范围；(3)可先化为ysin后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解解：(1)因为ysin x与ycos x在上都是减函数，所以排除A，B因为x，所以2x2.因为ysin 2x在2x，2内不具有单调性，所以排除C(2)因为ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若0，0时，将“x”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间再练一题3求函数y2cos的单调递减区间解：令2k3x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以函数y2cos的单调递减区间为(kZ)探究共研型正、余弦函数的值域与最值问题探究1函数ysin在x0，上最小值能否为1?不能因为x0，所以x，由正弦函数图象可知函数的最小值为.探究2函数yAsin xb，xR的最大值一定是Ab吗？不是因为A0时最大值为Ab，若A0时最大值应为Ab.求下列函数的值域：(1)y32sin 2x；(2)ycos，x；(3)ycos2 x4cos x5.(1)利用1sin 2x1求解(2)可换元令zx，转化为求ycos z值域来求解；(3)可换元，令cos xt，转化为一元二次函数来解决解：(1)1sin 2x1，22sin 2x2，132sin 2x5，原函数的值域是1，5(2)由ycos，x可得x，因为函数ycos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.(3)ycos2 x4cos x5，令tcos x，则1t1.yt24t5(t2)21，当t1，函数取得最大值10；t1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为2，10再练一题4(1)函数y2cos，x的值域为_(2)函数f(x)2sin2 x2sin x，x的值域为_解：(1)x，2x，cos函数的值域为1，2(2)令tsin x，x，sin x1，即t1.f(t)2t22t21，t，且该函数在上单调递增f(t)的最小值为f1，最大值为f(1).即函数f(x)的值域为.【答案】(1)1，2(2)构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若sin(6060)sin 60，则60为正弦函数ysin x的一个周期()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期()(3)函数ysin x，x(，是奇函数()解：(1).举反例，sin(4060)sin 40，所以60不是正弦函数ysin x的一个周期(2).根据周期函数的定义知，该说法正确(3).因为定义域不关于原点对称【答案】(1)(2)(3)2函数f(x)sin，xR的最小正周期为()ABC2D4解：因为sinsinsin，即f(x4)f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4.【答案】D3函数f(x)sin的一个递减区间是()AB，0CD解：令x，kZ，得x，kZ，k0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而.故选D【答案】D4比较下列各组数的大小：(1)cos 150与cos 170；(2)sin 与sin.解：(1)因为90150170cos 170.(2)sinsinsin sinsin .因为0，函数ysin x在区间上是增函数，所以sin sin ，即sin sin.学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1函数ysin x，x，则y的范围是()A1，1BCD解：ysin x的图象如图所示，因为x，所以由图知y.【答案】B2函数ycos的奇偶性是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数也是偶函数解：因为ycossin x，所以为奇函数【答案】A3ysin x|sin x|的值域是()A1，0B0，1C1，1D2，0解：y因此函数的值域为2，0故选D【答案】D4下列关系式中正确的是()Asin 11cos 10sin 168Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11解：由诱导公式，得cos 10sin 80，sin 168sin(18012)sin 12，由正弦函数ysin x在0，90上是单调递增的，所以sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 1680时，f(x)sin 2xcos x则x0时，f(x)_解：当x0，f(x)sin(2x)cos(x)，f(x)sin 2xcos x.f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)sin 2xcos xsin 2xcos x.【答案】sin 2xcos x三、解答题8求下列函数的值域(1)y2sin，x；(2)f(x)12sin2x2cos x.解：(1)x，02x，0sin1，02sin2，原函数的值域为0，2(2)f(x)12sin2x2cos x2cos2x2cos x12，当cos x时，f(x)min，当cos x1时，f(x)max3，该函数值域为.9已知函数f(x)2cos.(1)求f(x)的最小正周期T；(2)求f(x)的单调递增区间解：(1)由已知f(x)2cos2cos，则T4.(2)当2k2k(kZ)，即4kx4k(kZ)时，函数f(x)单调递增，函数f(x)的单调递增区间为(kZ)能力提升1(2016安庆期末)关于函数f(x)4sin(xR)，有下列命题：函数yf(x)的表达式可改写为y4cos；函数yf(x)是以2为最小正周期的周期函数；函数yf(x)的图象关于点对称；函数yf(x)的图象关于直线x对称其中正确的是()ABCD解：函数f(x)的最小正周期为，故错；f(x)4sin4cos4cos4cos，故正确；由f4sin0，知函数y