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文档简介

三角函数向量复数齐民友(武汉大学数学与统计学院430072)1 三角函数新课标中有关三角函数的内容分在数学4 ( 两个项目:三角函数,三角恒等变换) 和数学5 (解三角形) 中,共给了32 个学时. 其起点是初中已学过的锐角三角函数, 讲法上强调了利用向量方法, 发挥单位圆的作用,而且强调要淡化三角恒等变换的技巧性内容. 这些都是很好的, 但我以为如果突出三角函数的最本质内容, 不但用不了这么多时间, 而且更有利于学生现在和以后的学习. 这个最本质的内容就是三角函数是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现. 但是为了讲清楚它, 教学次序要调整一下:先讲平面向量(包括余弦定理, 这种讲法的数学上的根据,我已在“前文”:“中学数学教学中的向量”(以下引用此文处较多, 均简称“前文”) 中作了详细讨论.匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题, 三角学源自天文学, 因为天体运动的轨道在人类认识的早期就是圆, 天体则是球, 天体的运行必是匀速旋转. 这些命题被亚里斯多德当成了形而上学的根本原则, 却是有人类认识的经验基础的. 由此,首先要回答什么是角. 初中水平的几何和三角学里讲的角是两条边“夹”出来的. 因此无所谓始边终边,角的大小也是非负的,其范围在0 ,因此有锐角钝角之分. 比更大的角有时称为“优角”,比0更小的角就谈不上了. 到了高中,第一个最重要的概念是:角是“转”出来的:具有固定起点的平面有向线段(即平面向量, 向量起点如前文所述,一定在原点. 以下我们时常混用有向线段与向量二词,应该不会有困难,) 绕此起点(原点) 在此平面内旋转就得到一个角. 有始边, 终边之分, 顺时针方向转的称为负角, 逆时针方向转的称为正角. 所以刻划一个平面向量a ,先要给定一个平面向量(例如i)作为参照( 即始边) , 然后, 让这个参照向量绕原点在此平面内旋转直到与a“重合”( 其实只需部分重合, 因为i与a 不一定同长) ,记旋转角为,再令a 之长为r =| a | ,它对角的性质无影响,所以我们以后总设r = 1 , 即只讨论单位向量旋转所成的角. 这个向量起点是(0 ,0) ,终点是, 于是我们就说角就是单位圆上的点在其圆周上旋转所成的. 这种角习惯上称为任意角. 学生们时常以为任意角就是可取任意值的角. 这些当然是对的,但又不止于此,还有以上的丰富内容, 主要是有方向.既然如此, 要研究匀速旋转, 一方面可以研究角的变化,例如设角速度为,则有.是角的初始位置. 这一点不仅有数学意义, 更重要的是有物理意义. 课标上要求重视三角学与其它学科的联系与结合是非常重要的. 而且依我之见, 最重要的是它与振动和波动的联系, 因为这可以说是几乎全部高科技的基础(或再加上“之一”二字, 以免有绝对化之嫌?) 而其出发点就在于此. 但这又是当前数学教学(不只是中学) 的薄弱环节. 这一点以下再说. 我们下面常取=0,这纯粹是为了数学上的方便.研究匀速旋转最重要的是研究的变化,即是研究x和y作为的函数. 于是我们给出定义当然如果不是单位向量,则令我们会越来越多地看到, 最好是不把正弦余弦看作两个函数, 它们是密切相关的. 所以最好是把二者合起来看成一个向量值函数这个概念虽然不难,但是中学生能不能接受,我没有把握. 至少,好一点的学生是可以的, 而一旦接受了,会有很大方便.前文中我建议把这一部分(但一段暂时不讲) 放在向量一章里讲. 一方面, 可以对向量的方向有一个比较可操作的刻画方法, 即用辐角刻画. 这种刻画方法即使在中学阶段也十分重要.利用这种把正余弦定义为角的终边的坐标的方法,我们突破了初中讲,时限于锐角的限制,说明这已是一个推广,而为下面更进一步的展开作一铺垫. 这样定义正余弦更直接地是为介绍余弦定理作准备. 对余弦定理则要从如何计算向量或有向线段之长入手, 看出它是匀股定理的推广, 而不是把它简单地看成解三角形的工具. 解三角形只是余弦定理一个小小的应用:屠龙宝刀也可以用来杀鸡! 以下就可以进入三角函数理论本身了. 但在这以前请读者注意,我们多次强调了现在我们讲的是平面向量. 因为三维空间的旋转是一个非常困难的问题,对中学生是不宜去讲的. 但是从左图可以看到:如果把正方形先绕z轴转得,再绕x 轴转 得. 但是若首先绕x轴转得, 再绕z轴得到的(右) 与前一个不同. 学生们自己用一本书在桌子边上实验一下即知. 这说明三维空间中旋转的乘法( 连续施行两次旋转称为它们的乘积) 是不服从交换律的. 大概多数中学老师会告诉学生有不可交换的乘法这回事. 给一两个例子即可使学生看到这一点, 不必等到系列3的选修课对称与群再讲了. 类似的例子在中学数学里多的是. 课标也把形成一定的数学视野作为高中阶段学习数学的总目标的一部分. 不能一提到一个问题就一定要开一门课, 列一个章节, 而可以随时注意提醒一些重要概念,“随风潜入夜, 润物细无声”可能是更易收效的.整个三角函数理论,其实可以归结为4 点:(1) 沙尔定理. 设角的始边为,终边为,如果再以为始边旋转到终边,则由旋转到的角是我们在前文中已经讲到沙尔定理, 这里又是一个. 那么, 沙尔是谁?这个定理是怎么说的?沙尔 (Michel Chasles , 1793 - 1880) 是一位重要的法国数学家. 在19 世纪之始, 当笛卡儿的解析几何已经 “占据了统治地位”时, 有一批几何学家出来说, 解析几何代数味太重, 不算几何, 因此主张复兴综合几何. 这批几何学家以蒙日为首, 沙尔也是一员大将. 言词之争是小事, 射影几何学却由此发展起来了,以至于大数学家凯莱甚至说: 几何学就是射影几何学. 沙尔在1852 年出版的高等几何学一书中提出了以下的定理.沙尔定理: 设A ,B ,C 为直线上三点, 则这就是“正宗”的沙尔定理. 不过因为它太简单,只能当作一个练习题, 人们似乎也不太重视. 但是沙尔本人是充分了解其意义的, 其实质意义就是,应该让几何量有正负号, 这样许多定理的证明就不必分成许多特例来分别证明了. 因此, 沙尔把他的这个定理称为几何学的基本定理. 后来人们把沙尔定理也推广到面积, 体积上去. 大数学家克莱因( Felix Klein , 爱尔朗根纲领的提出者, 而不是我们比较熟悉的写了数学史巨著的作家克莱因:M. Kline ,名字拼法也不同) 写过一本从高观点看初等数学,全书分三卷,第二卷几何学对这个观点及其发展作了非常精彩的论述. 附带提一句, 有向线段与有向角的概念也是沙尔引入的. 这样读者可以理解,本文和前文都把一个定理冠以沙尔之名是有道理的.(2) 勾股定理. 它的证明确实就是勾股定理: .初中生也知道这个公式, 但是现在讲的是它的一个推广:不限于锐角, 而是任意角. 它的几何意义也很简单:如果一个点(x ,y) 在单位圆上转,则转来转去还在单位圆上.这两个定理都简单得不能再简单了. 把它们当作基本的东西未免可笑. 但是, 它们确实起了基本作用. 说到底,三角函数就应该那么简单. 过去把它搞得那么复杂是由于没有认识到它的本质. 因此另两个定理就是讲的圆的基本性质对称性(3) 对称定理.圆的最重要的性质就是其对称性. 圆有丰富的对称性. 我们不必拘泥于中心对称, 轴对称等等名词. 总之,圆在许许多多的变换下仍变为圆. 这就是对称性. 我们不妨从单位圆上的一个向量, (即一个角或一个点) 开始, 而且让它旋转. 首先是每次转90(向左转) 或90(向右转) ,而且是连续不断地施行这一变换(当然转了360以后一定还原) :从变到.这里看起来有无穷多个旋转,其实都可以由向左转90(即) 生成:向后转即连续两次向左转,向右转则可以先作3次向左转再反向转360: .但是另一个重要变换- (对x 轴反射) 不能这样生成. 所以我们把这个变换也列为基本的. 有了这两个基本的变换以后,例如对y 轴的反射- 也可由- 再继之以两次向左转.总之,所有的都可以由和生成. 这里我们用大写字母T表示变换.变换是整个数学的核心概念之一. 在讲三角函数时把它溶化进去是有好处的, 当然这不等于要对中学生用上一大堆记号. 而可以用两个引理来概括我们所需的变换.引理1 若单位圆上一点经变为(则证明太简单了, 画一个图就明白. 但是用向量来表述这个证明更加简单. 点就是向量, 但是在旋转后i变成为j , j 则变成- i. 所以变成. 此即所求证的结果.可能有读者喜欢画图, 但是, 画图只能给出一个特例,通常会把画在第一象限. 岂非还要对在二、三、四象限的情况分别再给以证明?应用了向量以及基底在旋转后的情况, 这些麻烦就全消失了.在讲复数后还可以给出另一个统一的十分简单的证明. 总之, 我们又一次看到, 抓住绕原点的旋转,总能得到优美简单的证明.引理2 若单位圆上一点经变为, 则仍在单位圆上,而且引理2与引理1大异其趣. 引理1 利用了圆在旋转下的不变性(对称性) , 引理2 则用到它对于轴反射的对称性. 读者会问, 圆还有对于其它直径如轴的对称性, 那里又会有什么新鲜事呢?看来不会再有本质上不同的结果了. 所以, 引理1 ,2 也就够用了. 所谓“诱导定理”其实就是反复应用这两个引理. (也许还要加上一个周期性引理, 它虽然也可以从引理1 ,2 得出,但是周期性是一个重大问题,所以还是把它列出引理0 正余弦函数均以2为周期. )“诱导定理”至此就讲完了. 可以由它们得出许多公式,例如等等. 有时同一个结果可以有多种证法. 应该告诉学生,哪一种证法都可以, 无所谓哪一个更好. 用惯了就行. 重要之处在于. 一定要使学生们懂得,现在不再只是锐角了. 麻烦在于, 这些公式中有一些非常常见,如而且有时还有特殊的名称, 如上式称为“余角公式”. 如果每一个公式都要起一个名字, 都要让学生自己推导, 那也太麻烦了. 所以课标里特别提到,的正余弦公式,我看就是要背!至于名称, 当然可以免了. 讲上面这些引理的目的, 是请大家注意,它们都只是圆的对称性的表现. 必须抓住三角函数是为了刻画匀速圆周运动的, 这样就真正抓住了要领,就能以简驭繁. 我们应该要求于学生的,只是真正懂得那两条引理, 并且逐步学着由它们推导出需用的公式, 最好背得几个. 绝对应该避免把三角函数的理论变成一大堆公式!关于“诱导公式”一词, 也想做一点翻案文章:究竟是什么公式“诱导”了什么公式?是“诱导”出更好的还是一般的?查一下外国文献, 似乎从无“诱导公式”一说, 倒是有很多文献说到了“reductionformula”(简化公式) 3 . 据我回忆,在上世纪50 年代前,国内教材说“简化公式”的是有的, 意思也清楚.所以本文就大胆不用“诱导公式”这个词了. 但是说 “对称定理”肯定是不完美的,因为它远没有把圆的对称性表现充分. 因为这里要求每次转90, 转了四次就周而复始,那么为什么不能每次转60呢?按道理说是可以的, 也可以得到一些公式,只不过公式太繁,用处不大. 等到讲了复数以后,就一切都明白了.(4) 加法定理它就是我们常说的“和角公式”与“差角公式”.把它们合称为加法定理是否有点故弄玄虚?这一方面是由于加法定理一词在数学中是很常用的. 许多重要的函数都有自己的加法定理, 就是把与,联结起来的公式. 三角函数的加法定理只是其一例. 更重要的是, 它虽然包含了许多公式, 其处理方式都是一样的, 而且其结果在引入复数以后又都与一个最重要的“加法定理”统一. 所以我们主张就只使用一个名词逐渐地取代现在通用的许多名词.加法定理仍然本质地反映了圆的对称性. 如果说,对称定理回答了旋转90的问题,现在则要回答旋转任意角度的问题. 为此, 取一个单位向量,为简单计就把它放在x 轴上成为x 轴正方向的单位向量. 以为始边转一个角, 设终边为, 当然,所以B 点仍在单位圆上. 现在以为始边再转一个角成为, C点当然仍在单位圆上. 单位圆转来转去仍是单位圆, 这是它的不变性也就是它的对称性. 不妨把这个说法与欧几里德的说法作一点比较:欧几里德的几何原本就是以此性质来刻画圆的(圆上任一点到圆心距离相同) ,我们只不过加上两个新名词: 不变性和对称性. 这又是不是故弄玄虚?当然不是. 不变性与对称性密切相关. 中学教材中讲过不少对称性:点对称、轴对称、球对称等等. 但是要问对称性的定义, 则只能这样说:若有一图形G以及一类变换,使得G经这一类中的任一变换后仍保持不变, 就说G关于这类变换具有对称性. 所以圆对于绕圆心的旋转具有旋转对称性.“不变性”、“对称性”和“变换”一样,都是整个数学科学的核心概念. 欧几里德讲圆只是接触到对称性的一个特例. 课标选修系列3 中的“对称与群”这一专题则是为的初步介绍一般的对称性概念的数学理论. 在讲三角函数时当然不能去讲群论, 但是我们使用变换, 不变, 对称这些“词”而不加任何进一步说明,正是为了使学生能或多或少“得其意”,为他们今后的发展作一点铺垫. 下面回到正题.单位向量绕旋转一个角而成, 再经过旋转一个角终于成了.对此有两种看法: 一是经旋转角+达到 (沙尔定理) ,所以的辐角是+,而有另一种看法是是经旋转而得, 如果把看成新的x 轴,则记其上的单位向量为i, 并记新的y 轴上的单位向量为j,有但是i是旋转了角而得的终边,故j则是i再转而得,也就是由OA 转而得 (沙尔定理) ,故这里用了一次引理1. 以i, j之式代入(4) 即有比较(3) 与(5) 利用平面向量的基本定理,即有正余弦函数的加法定理. 对任意角+有这就是和角公式. 把换或- 并利用引理2 又可得到差角公式.这个证法优于一般教材上的证法主要不在于它比较简单而且一下子给出了4 个公式, 而在于它来自一个基本的思想,即三角函数的加法定理反映了圆的对称性这一基本性质, 而且通过沙尔定理可以完全不受,在不同象限需要不同处理方法的影响. 我们在讲沙尔定理时引述了沙尔本人对几何量应该允许取不同符号的话. 实际上, 这个证明并不需要图2 ,证明的文字中从来没有“见图2”的字样.读者不妨试一下,完全不看图, 只看文字, 应该不太困难地看懂它,最多是有一些生疏.关于三角函数的论述基本已完成. 在教学过程中不费力气就可以得到倍角公式, 和差化积, 等等. 下面对三角恒等变换的教学讲一点看法. 主要的看法是, 目前的中学教学对此仍然看得过重, 我则主张进一步淡化处理. 这一部分和证明几何题一样是很有吸引力的,对学生(特别是好学生) 的数学能力的培养有好处. 为什么还要淡化, 看一下历史发展就明白了. 最简单恒等变换如和角公式, 差角公式以及某些和差化积公式, 托勒密就已证明了.但是大家不把它们看作恒等变换, 因为托勒密是用的初等几何方法( 主要依靠所谓托勒密定理: 圆内接四边形两对边乘积之和等于对角线乘积) , 而没有用三角函数之间的关系式,直到16 - 17 世纪, 由于天文学和测量学计算的需要, 常遇到各种三角函数的关系问题. 一个著名的例子: 积化和差公式就被用来计算两数乘积:设有A0 ,B0.首先找一个适当整数n(可正可负) 使. 对B 也一样处理.因此可设0 A , B 0 的情况. 如果0 即质点沿顺时针方向运动, 则速度向量的方向也是由位置向量向顺时针转动而得,其大小则为| R = - R . 但这与说速度向量的方向是位置向量向逆时针方针转,大小为R = - |R相同. 所以定理中没有问之符号,而一般地说速度向量的方向是动径方向逆时针转,大小是R .利用这个定理,我们可以很容易地求出cost 和sint 的导数. 为此,我们令= 1 ,这时=t = t ,=t =t ,所以,对求导和对t 求导是一回事. 现在,位置向量r(t) 是因此,由速度向量定义,知速度向量是但由上述定理比较这两个结果立即得出:正余弦函数的导数公式这当然是最简洁的证明, 而且我们是把一对函数的导数同时给出的. 这并不值得奇怪, 本文中许多结果都是对正余弦函数一同给出的. 但是我们不要高兴得太早. 数学中几乎一切比较重要的结果, 在证明中总会用到一些关键性的知识. 如果从表面上看没有用到,就要检查一下, 要么您确实有新的发现,要么您搞错了. 现在,关键性的后果就是 也就是圆弧与相应的弦当弧长为无穷小量时可以互换. 我们确实利用了这个结果, 即(7) 式, 所以我们并没有偷巧. 比较一下一般教材的证法,例如也可以用和差化积公式,但这时要用sinx与cosx的连续性,而为此又要用可见我们的证明确实简单一些. 但是这不是它的主要优点, 主要优点在于, 它有一个明确的物理背景,因此能在他人未见之处看到了新的联系. 至于同时得出cosx和sinx的导数,是因为这两个函数其实是一回事. 一定要分开来计算, 把(8) 式硬看成是两个公式反倒是不自然的.判断一个数学结果好不好还有一个极重要的标准,就是看它使用的方法能否用于其它问题. 现以加速度为例. 由图4 清楚地看到当质点在左边的圆上转了一圈时, 速度向量也在右边圆上转了一圈,而且仍是匀速的. 我们在前文中说过, 向量的起点应该放在原点. 这似乎与我们的直接经验矛盾.速度向量不是附在质点上吗?如果把速度看作是物理空间中的一个有向线段, 其起点确实附在质点上. 这是物理学和力学的观点, 但是按前文讲的A空间的观点来看, 这个有向线段的向量成分, 即速度向量, 则是一个向量空间线性空间的元素.从质点所在的物理空间看问题, 这个质点确是速度作为有向线段的起点, 它可能是行星, 是飞船等等.但是速度作为一个向量, 其原点则是线性空间的原点,即零向量,也就是表示静止状况. 所以速度向量的线性空间与物理空间是不一样的. 前文的第三个怪论就是这回事. 北京和上海的风都在自己的线性空间中, 北京可以既起北风又起东风, 合成北京的东北风;上海可以又起西风, 与上海的东风相加, 使风速为零. 不管是上海或是北京, 东风加北风都可以是东北风,风速v 加上风速- v 就是静风. 这些是线性空间的规则. 可是上海的线性空间和北京的线性空间是不同的空间. 上海的东风就是不能与北京的北风相加. 回到正题. 我们既然已将速度向量放在图4 的右圆上,并且看出它仍是以角速度作匀速旋转, 则又可以对它应用以上定理, 发现其加速度向量(速度的速度就是加速度)的方向, 是速度向量方向逆时针转,也就是动径方向转!其大小则是R =2 R. 方向转动就成了反方向. 如果我们回到物理空间, 又把加速度向量放在质点上, 就会发现这个质点有一个加速度成分( 这是又一个作为线性空间元素的向量) 与动径方向相反. 但是动径的方向是由圆心指向质点的, 相反的方向则是由质点指向圆心. 所以称为向心加速度. 总之, 我们有了惠更斯的向心加速度定理。向心加速度定理若一质点在半径为R 的圆上以角速度作匀速旋转,则它必有一向心加速度2R.这个事实是由惠更斯发现的, 后来在牛顿发现万有引力作用时起了重要作用. 读者可能会说, 数学教材中为什么要有物理学的内容. 首先, 从前面的论述可以看到, 这个定理完全是一个几何学定理,证明的方法也全然是几何学的方法; 最多因为它涉及了时间、速度、加速度, 可以说它具有运动学的含义,但是没有力、动能、动量等等, 所以说它不是一个动力学的定理. 我们在此介绍也是为了讲上面介绍的向量方法的力量. 可是更重要的在于数学的发展进入18 世纪以后,与物理力学的关系更加密不可分. 其实在此以前即已如此, 例如中学数学教材也会讲到重心, 这可完全是一个静力学概念, 抛射体的轨迹就是抛物线, 这也是一个力学问题, 但对此很少有人会怀疑为什么要在数学课程里来讲.有了微积分以后情况又有发展. 大概讲一点瞬时速度(这也是力学概念) 还可以. 可是疑虑就更多起来了. 微积分引入中学教材会引起深刻的变化. 前面引用张奠宙先生的文章, 标题中有“冰冷的美丽与火热的思考”一语. 从文章看,这是著名的数学家和数学教育家弗赖登塔尔(1908 - 1990) 的一句名言:“没有一种数学思想, 以它被发现时的那个样子发表出来. 一个问题被解决以后, 相应地也发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽. ”这是一个很有价值的思想. 古老的数学成就,当时是如何创造出来的, 因为年代久远已难于追踪,因此也就特别容易陷入形式技巧之中. 新一轮课改引入的内容大多出自18 世纪以后,我们就更应该追寻其创造的过程, 使我们自己的教和学生们的学都成为再创造的过程.以下的内容更不成熟,更盼与读者共同切磋.上面用向量的方法发现了, 正余弦函数原是一个东西, 所以把它们放在一起成为一个向量r =rcosi + rsinj (上面因为常在单位圆上考察所以取r =| r | = 1) 就成为十分自然的方法. 问题在于能不能进一步?这就要回忆到前文讲的2 维线性空间还有另一种模型:复数模型(或记为C1 模型). 从历史上看, 复数进入数学比向量要早得多,应为16 世纪. 后来发现复数只能用于2 维问题, 为了推广到更高的维数,几经周折终于在19 世纪提出了向量. 这样就很清楚, 向量是复数的推广. 但是复数比之向量有一个极大的优点:对复数可以进行四则运算,对于一般的向量则不行. 读者可以问, 两个向量不是有数量积吗?但是数量积与复数的乘积很不相同:两个复数a, b 之乘积ab 仍是一个复数, 而两个向量之数量积a b 就不是一个向量,而是一个实数,它并不在a , b所在的线性空间中. 由复数乘积ab = 0 可得a = 0 或b = 0 ,但由a b = 0 就得不出a = 0 或b = 0. 所以复数的乘积和向量的数量积是代数性质完全不同的运算. 更何况复数可以作除法 (只要b 0) ,对向量则不行. 所以,一旦有了一个2 维向量, 我们时常采用它的复数模型. 所以, 对应于,我们考虑相应的复数 对ai+bj 我们就用去代替它. 就线性空间的运算而言, 二者完全一样, 所以连名词也可以交换使用:例如说模总是指 (算术根) ,说辐角则总是指,其多值性则需另外处理,其实讲向量的辐角也一样需作特殊的处理, 也一样麻烦. 但是采用复数模型就允许在必要时作复数的乘除法,而且对复数的乘除法可以研究其几何意义 (与向量数量积的几何意义完全不同) . 明白了这一点, 下面我们就专门来讨论一个复数值的函数E() =cos+ isin. 不过这里的仍是实的. E() 这个记号只是我为了方便(为了少写几个字) 设计的, 别人不一定会用. 我这样写是为了下面证明它就是指数函数(现在还完全不清楚) ,而这是非常复杂的问题.我们可立即由正余弦导数公式(8) 得到这个式子我们称为一个微分方程, 即包含未知函数E() 及其导数的方程. 读者看到这里可能会有点心惊:微分方程不是一门大学问吗?难道要给中学生讲微分方程?当然不是, 读者大可以平常心对待它. 因为在研究这类问题的时间还是微分方程的初创时期. 什么时候才有了微分方程这个词还不清楚. (9) 式让我们联想到一个非常类似的“微分方程”:求一个函数y = y(t) 使这是雅可布伯努利在17 世纪20 - 30 年代研究复利问题时得出的. 他没有为它应该有( 那时还没有)一个很吓人的名词微分方程而畏缩, 反正在他面前有一个复利问题. 牛顿也根本没有想到,他研究的是微分方程, 而就是太阳系的行星的运动问题. 对于雅可布伯努利,t是时间,y是t时的存款,他不管什么微分方程的解存在不存在( 那时的数学家大概没有什么人会为存在问题担心) ,反正应该有那么一笔钱y(t) 在那里. 他还发现了这个函数即,后来(大概是欧拉) 才看到这里的. 从复利的生成过程看,说这个解是指数函数是很有说服力的. 自此以后, e 这个重要的数就进入了数学家的视野. 人们对它的重要性的认识与日俱增, 关于它的研究也越来越多. 对此,贡献最大的数学家是欧拉. 现在来看方程(9) . 它的形状与(10) 非常相似, 只是实数a 被虚数i 取代. 因此人们自然想到 . 也就是把中的a 代之以i.但是按我们的记号, E() = cos+ isin,因此就得到了极为重要的欧拉公式:. (11)人们一再称赞这个公式的美丽, 并且由它得出许多几乎令人难以相信的又不能否定的结论. 例如, 令=就有. (12)一个公式居然把5个最重要的数:0 ,1 , e , i 联结起来,岂非怪事. 令又有,所以虚数的“虚数次幂”居然成了实数!可是如果这就是欧拉公式的本质, 那么数学也就和魔术相差不远了. 魔术终究是假的,终究会被拆穿. 关于欧拉公式的这些“奇迹”是深刻的数学呢还是骗人的把戏?甚至有些数学系的大学毕业生居然会说, 他看不出e有什么奇妙之处,一方面可能是他看见的奇迹还太少. 例如法国自然学家法布尔写过一本科普名著昆虫记, 在讲到蜘蛛时, 他用充满诗意的语言描写了清晨带有露珠的蛛网, 形成一条曲线, 在初升的朝阳照射下,晶莹剔透, 闪闪发亮, 这种曲线叫悬链线,方程是 . 也有人说这是e在大自然中最美丽的展示. 这样的例子还多. 可是魔术再多也只是魔术,重要的是要看到欧拉公式(11) 在整个数学中的作用. 这是一个太大的问题, 我们只能就本文所述告诉读者, 整个三角函数理论, 本质上也就是关于具有纯虚数指数的指数函数的理论. 为什么?因为前面我们已经把整个三角函数理论归结为4 个定理,现在看一下,这4 个定理又如何归结为关于的性质. 我们已经知道复数z 必有三角式z = r(cos+ isin) , r =| z | 是复数的模,是z 的辐角:= argz. 如果z 是单位圆上的点, 必有| z | = r = 1 ,这时z 可写为z = = ,因为z 在单位圆上,所以这就是勾股定理.如果一个单位向量(复数) z 以为始边, 即. 在转过角后,必定成为 . 如果再转一个角,则将被去乘而得到,这就是沙尔定理: 终于转了+成为. 我们不要小看了这一段话, 这里面包含了两个意思:首先,复数z 乘以表示对向量z 旋转了一个角. 平面上的运动最基本的有以下几个:平移 (在前文中已讲了, 平移若用实数表示就是对直角坐标亦即向量(x ,y)的分量x ,y各加一个实数: x x + a , y y + b,若用复数表示,令A = a + ib ,平移就是z z + A) ,旋转(将一向量z 旋转一个角就是用去乘它: z z) ,以原点为中心的位似(就是用一个实数去乘它z z ,这个运动只涉及z 的模|z|.即将此模变为| z | ,而辐角不变).还有反射下面再说.更重要的一层意思就是:以上我们利用了公式. (14)这个公式如何证明?可能有的读者以为它不必证明了:它不就是指数函数的性质吗?可是谁告诉您是指数函数呢?这完全是由于(9) 与(10) 的形状相似,如果仅仅因此就说是指数函数, 那就不过是把E()换一个写法, 换一个称呼而毫无意义了. 可是这里遇到了一个本质性的困难:到底什么是指数函数?在现在的中学教材中讨论指数函数时是限制x为实数的. 例如当x = 3时, 这连初中生都会, x = 1/ 2 时, 也没有问题. 甚至当x 是无理数时, 用一点极限的思想也不难理解指数函数是什么( 当然, 完全不必给中学生讲) ,但若x = i ,什么叫做a把自乘i 次?这是完全不可理解的. 到这时就需要对指数函数的性质加以分析了. 指数函数, x为实数,最重要的性质是:它们称为指数定律( 我不理解何以现在的中学教材都不使用这个极普通的名词) , 其中最重要的是第一个,时常称为指数函数的加法定理. 通常, 在说指数定律时就是指的加法定理. 正因为它的重要性,所以,如果能证明适合(14) 式就有理由认为也是指数函数. 但是(14) 的证明是容易的. 因为 (暂时我们还只把看成E() 的一个写法) , 二者相乘即有这样就表明了的沙尔定理(14) 就是三角函数的加法定理.最后看对称定理,引理1 来自.附带说一下, 前面我们说, 若(x,y) 绕原点旋转而得( x, y) ,则x= - y , y= x , 可以用复数给出一个简单统一的证明,以上就是. 引理2 来自共轭复数公式:.它表明对x 轴的反射就是求共轭复数, 也就是改变辐角的符号,这时自然横坐标不变而纵坐标变号.至此, 读者想必可以认同: 对三角函数的研究本质上就是研究一类很特殊的指数函数 . 勾股定理就是的值模为1 ,其它三个定理,都是来自指数定律的加法定理以及共轭复数的定义. 法国大数学家阿达玛曾经说过:“联结两个实域中的真理的最短的路径时常是通过复域. ”三角函数与指数函数这两个我们原来只在实域中研究的函数, 在进入复域以后就统一起来了. 复数的引入打开了数学的广阔领域,指数(与对数) 在这里起了重大作用. e 的作用如同一样可以说是无所不在. 但是复数的引入也带来了许多问题,需要把微积分的几乎所有基本概念都作很大的发展. 但是, 以上的“论证”其实只是一种类比,不能说是证明. 要证明也难, 因为首先要弄清究竟是什么,也就是要给出定义. 完全依靠我们的经验来解释它, 是不可能的. 因为实在无法以令人信服的方法,说明e自乘i次是什么意思.这里不可避免

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