小学奥数系列——行程问题习题及详解.doc

. 可编辑修改1 行行 程程 问问 题题 行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、 行程） 。具体题型变化多样，形成 10 多种题型，都有各自相对独特的解题方法。 现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后 给予更加明确的分类。 一般行程问题 相遇问题（重点）相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是 都用到了速度和 行程问题几大题型行程问题几大题型 追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快 一慢，有速度差 “火车过桥问题” “流水行船问题” “钟表问题” 行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题” ，基本数 量关系如下： 速度时间=路程 ；路程时间=速度 ； 路程速度=时间。注 意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程总时间，而不是两个（或几个） 速度相加再除以 2。 行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物 体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向 运动” （相遇问题） 、 “同向运动” （追及问题和领先问题）和 “相背运动” （相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是 “一个物体的运动 ”还是 “两个物体的运动 ” ，不管是“相向运动” 、 “同向运动” ，还是“相背运动” ， 他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的， 都可以归纳为：速度 时间=路程（路程时间=速度，路程速度=时间） 。 在各类行程问题中 进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学 习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上 形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型 非常多且富于变化，但是“万变不离其宗” ，希望学习者能深入理解其中包含的 数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！ 解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来， 有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 相向而行的公式：相遇时间 =距离速度和。相背而行的公式：相背距 离=速度和时间。追及问题的公式：速度慢的在前，快的在后。追及时间= 追及距离速度差。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离 =速度差时间（例如求环形跑道的长度）。 追及距离时间=速度差，追 及距离速度差=时间。 “火车过桥问题 ” 、 “流水行船问题 ” 、用行程问题结 合图形知识解答的 “钟表问题”是几类较特殊的行程问题，在解题时更要注 意具具体体问问题题具具体体分分析析 。 要正确的解答有关 “行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体情 况。如运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时）， . 可编辑修改2 出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的结果 （相遇、相距多少、交错而过、追及）。 两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体 “相向运动”或“相背运动”时，此时的 运动速度都是“两个物体运动速 度的和”（简称速度和），当两个物体 “同向运动”时，此时两个物体的 追及的速度就变为了 “两个物体运动速度的差 ”（简称速度差）。 当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和 逆风跑；船在河中顺水而下和逆水而上。此时人在顺风跑时运动的速度就应 该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应该等 于人本身的速度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度 会发现，顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水 而下”与“逆流而上”，两个速度之间也相差着两个 “水流的速度 ”。所 谓“逆水行舟，不进则退 ”就是这个道理。 1、相遇问题和相离问题：、相遇问题和相离问题： （1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向相向而行” ，注意关键词“相向” ， 如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解 图示图示: 甲 乙 甲从 A 地出发 乙 从 B 地出发 关系式：关系式： 相遇时间=总路程速度和 总路程=速度和相遇时间 典型例题：典型例题： 两港相距 168 千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出，客轮每小时 行 24 千米，货轮每小时行 18 千米，几小时后两艘轮船相距 21 千米？ 甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 52 千米，两车在离中点 16 千米处相遇。东西两地相距多少千米？ A、B 两地相距 470 千米，甲车以每小时 46 千米，乙车以每小时 40 千米的 速度先后从两地出发，相向而行。相遇时甲车行驶了 230 千米。问：乙车比甲 车早出发几小时？ 甲、乙两车的速度比是 3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点 6 千米 处相遇，求两地相距多少千米？ 解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比成正比例，总是等于 速度比，设两地间路程的一半为 X，则 =，解比例得 X=42，422=84 千米即为两地间的距离。 6 6 x x 4 3 6 千米 解法（二）： 甲 乙 . 可编辑修改3 中点中点 从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差 6 千米到达中点，乙已经过了中点 6 千米，甲和乙的路程差是 6 千米的两倍，如果将两地间距离成看成 3+4=7“份” 的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份” 。则有 62=84 千米。 43 34 多人相遇问题：多人相遇问题： （解决此类问题同时要理解领先问题）（解决此类问题同时要理解领先问题）甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、72 米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发， 丙和乙相遇后，丙又过了 2 分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。 （解决此类问题同时要理解（解决此类问题同时要理解与与“封闭路程封闭路程”有关的行程问题有关的行程问题）甲乙丙三人沿 着湖边散步，同时从湖边的一个地点出发。甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时 针方向走。甲第一次遇到乙后 1分钟遇到丙，再过 3分钟第二次遇到乙。 4 1 4 3 已知乙的速度是甲的，湖的周长是 600 米，求丙的速度。 3 2 多次相遇问题：多次相遇问题： 甲乙两辆汽车同时从 A、B 两地相对开出，甲每小时行 75 千米，乙每小时行 65 千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进，分别到达 B、A 两地后，立即按 原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了 6 小时，A、B 两地相距多少千米？ 一个游泳池长 90 米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一 端立即返回。照这样往、返游，两人游 10 分钟，甲每秒游 3 米，乙每秒游 2 米， 二人会相遇几次？ （2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背相背而行” ， 注意对注意对“速度和速度和”的的 理解，理解，注意时间的因素 图示：图示： 甲 出发点 乙 A B 关系式：关系式： 相离距离=速度和相背而行的时间 典型例题，相遇和相离的综合问题举例：典型例题，相遇和相离的综合问题举例：A、B 两地相距 420 千米，甲车从 A 地 出发开往 B 地，每小时行驶 72 千米，甲车行驶 25 分钟后，乙车从 B 地开往 A 地，每小时行驶 28 千米。两车相距 100 千米时，甲车共行驶多长时间？（分析 各种情况） 2、追及问题和领先问题、追及问题和领先问题 （1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之” 图示：图示： 慢者先走出一段距离 就是需要追及的距离 在快者追时慢者继续往前走 . 可编辑修改4 快者此时此地追起 追到 出发点 注意：追上 时一共走出的路程不叫追及距离 关系式：关系式： 追及时间=需要追及的距离速度差；追及距离=速度差追及时间 速度差=追及距离所用时间，近而再根据其他已知条件求出各自速度，从而解 决问题。 速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或 者快者开始出发时距慢者的距离。 典型例题：典型例题： 晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走 60 米， 所以他先从家出发。5 分钟后，爸爸以每分钟 80 米的速度去追小明，经过多少 分钟可以追上？ A、B 两地相距 1800 米，若甲乙两人分别从 A、B 两地同时出发，9 分钟会 相遇；如果两人同向而行，则甲 30 分钟可以追到乙，问：甲从 A 地到 B 地需要 多少小时？ 甲乙丙三辆车先后从 A 地开往 B 地。乙比丙晚出发 5 分钟，出发后 45 分钟 追上丙；甲比乙晚出发 15 分钟，出发后 1 小时追上丙。甲出发后几小时追上乙？ 解法：设数法解题。 上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发。8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他。 在离家 4 千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回 头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？ 解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线， 虚线是同时间小明走的路线。从线段图中我们可以看出爸爸走了 3 个 4 千米的 时间，小明只走了 1 个 4 千米，小明所行路程是爸爸所行路程的，相同时间 3 1 内，路程与速度成正比， 则小明的速度是爸爸速度的。 3 1 4 千米 4 千米 爸爸 小明 家 第一次追上时离家 4 千米 第二次追上时离家 8 千米 我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的 ，从爸爸第一次开始追小明到追上小明的这段时间内，爸爸行出 4 千米，小 3 1 明行出 4 千米的（同样是根据相同时间内，路程与速度成正比），小明必 3 1 须先行出 4 千米的=，也就是说，小明用 8 分钟的时间先行出 3 13 3 2 . 可编辑修改5 4=千米。 3 2 3 8 小明先用 8 分钟时间 走出 4 千米的 小 明 3 2 爸 爸 进而我们求出小明的速度是8=千米/分钟，小明 8 点 8 分从家里出发， 3 8 3 1 到爸爸二次追上小明时，小明共行8 千米，8=24 分钟，从而求得第二 3 1 次追上的时间是 8 点 32 分。 解题过程： 4（4+8）= 4（1-）= （千米） 3 1 3 1 3 8 8=（千米/分钟） 3 8 3 1 8 =24（分钟） 8+24=32（分） 答：这时是 8 点 32 分。 3 1 （2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，两物体同向而行，在同一出发点同时出发，一快一慢，则快 者必领先于慢者” 图示：图示： 慢 者 快 者 快者领先的距离 两者在同一出发点同时出发 关系式：关系式： 领先距离=速度差所用时间，速度差=领先距离所用时间，所用时间=领先距 离速度差 典型例题： 甲乙两人练跑步，甲跑步的速度每分钟比乙快千米，两人从某地同时 50 3 出发，跑了一段时间后，甲领先乙200 米，问此时甲跑了多少秒？ 小李和老王同时从 A 地出发去 B 地，小李骑电动车，老王开汽车， 2 分 钟后小李在老王的后方 0.5 千米， A、B 两地相距 90 千米，老王用了 3 个 . 可编辑修改6 小时到达 B 地，问小李到达 B 地时，老王已经到达 B 地多长时间了？ 两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165 千米的工地。甲车 比乙车早到 48 分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24 千米。问：甲车行 完全程用了多少小时？ 注意，此题虽然是“领先问题”的模式，但是却没有用到速度差，路程差的关 系式，而是根据题意先求出了乙车的速度，然后直接利用到达目的地的时间差 求出快车（题目中的甲车）行完全程所用的时间，可见，分析问题重在思维灵 活，不能僵化地利用公式。 两条公路成十字交叉，甲从十字路口南 1200 米处向北直行，乙从十字路口 处向东直行，甲、乙同时出发，10 分钟时，两人与十字路口的距离相等，出发 后 100 分钟，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距离十字路口多少米？ 与“封闭路程”有关的行程问题： 注意以下两点：一是两人同地背向运动，从一次相遇到下次相遇共行一个全程； 二是同地同向运动时，甲追上乙时，甲比多行一个全程。 典型例题：典型例题： 在 300 米的椭圆形跑道上，小田和小刘同时同地起跑，如果同向而跑 2 分 30 秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，小齐和小强的速度分别是多少？ 如图，A、B 是圆形跑道的两端，小张在 A 点，小陈在 B 点同时出发，反向 行走，他们在 C 点第一次相遇，C 点离 A 点的跑道长 80 米；在 D 点第二次相 遇，D 点离 B 点跑道长 60 米，求这个圆形跑道的长度。 D A B c 3 3、 “流水行船流水行船”问题：问题： 解答这类问题的要素有下列几点： 船行使时本身的速度（简称船速） 、水流速度（简称水速） 、顺流速度、逆流速 度； 航程（船行驶的路程） 、顺流行驶时间和逆流行驶时间，平均速度的算法。 基本关系式如下：基本关系式如下： 顺流速度= 船速 + 水速 逆流速度= 船速 - 水速 （记住这个原理下面的四个关系式也就都理解了） 顺流速度=逆流速度+ 2水速 逆流速度=顺流速度-2水速 船速（没有水流的情况下船本身的行使速度）= （顺流速度+逆流速度）2 水速=（顺流速度 - 逆流速度）2 典典型型例例题题： 一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟，在同样的风速下，逆风 跑 70 米，也用了 10 秒钟。问：在无风的情况下，他跑100 米用多长时间？ 一艘轮船顺流航行 105 千米，再逆流航行 120 千米，共用 12 小时；若顺流 . 可编辑修改7 航行 60 千米，再逆流航行 132 千米，共用 15 小时。如果先顺流航行 120 千米， 再逆流航行 120 千米回到始点，最短需要多少小时？ 4 4、 “火车过桥火车过桥”问题问题 解答火车过桥问题的关键是要明确火车“完全完全”通过大桥所经过的路程： 从火车头接触桥的一端开始，到火车尾离开桥的另一端。如下图，我们可以这 样理解此一问题：火车“完全完全”通过大桥所经过的路程也就是火车尾在车头上 桥开始到车尾离开桥结束所要经过的路程，也就是“火车的长度+桥的长度” ， 然后利用 路程（桥的长度路程（桥的长度+ +火车的长度）火车的长度）= = 速度（也就是火车的速度）速度（也就是火车的速度）过桥过桥 时间时间。 图示：图示： 火车上桥时 车尾还在距离车头 火车下桥是指一个车长的位置 车尾离开桥 桥 长 由此可见，火车过桥所经过的路程也就是图中车尾经过的路程 即火车的长度+桥的长度！ 典型例题：典型例题： 一座大桥长 3400 米，一列火车通过大桥时每分钟行 800 米，从车头上桥到 车尾下桥共需 4.5 分。这列火车长多少米？ 一列火车车身长 200 米，用 15 秒开过每小时 4 千米的同方向行走的步 行人甲，而用 12 秒开过骑自行车的人乙，那么乙每小时行多少千米？ 某特训纵队以 7 千米/时的速度行进，队尾的通讯员以 11 千米/时的速度赶 到队首送一封信，送到后又立即返回队尾，共用 0.22 小时，求这支队伍的长度。 5 5、 “钟表问题钟表问题” 首先需要说明的是，研究钟表时间的数学问题钟表问题不一定都能用 行程问题的思想来解答，但是其中相当一部分问题应用到了行程问题中的追及 或领先模式。同学们都有这样一个基本常识，钟表的时针、分针和秒针都是做 同一方向运动的（当然是顺时针方向） ，而且显然秒针走的最快，而时针走的最 慢。钟表问题常常是围绕时针、分针或秒针的重合、垂直、成直线或夹角的度 数等问题来进行研究的。 钟面上有 12 个数字（1 到 12）对应 1 点到 12 点，每个数字间都有 5 个小 格，这样，125=60 个小格，对应分针走 60 分钟是一个小时。以小格来计算， 时针每小时走 5 小格，分针每小时走 60 小格（刚好走一个圆周） ，时针的速度 是分针的，分针每分钟比时针多走 1-=小格，在计算分针与时针夹 12 1 12 1 12 11 角时，我们更可以根据圆周角 =360 度，分针每小时走完一个圆周，每份钟 走 36060=6（度）对应上面提到的一小格，时针每小时走30 度，所 . 可编辑修改8 以时针每分钟走了 3060=0.5（度） ，分针每分钟比时针多走 6 6- - 0 0. .5 5= =5 5. .5 5（度度） ，这个度数差也就是我们解决钟表问题经常用到的 “速度差” 典典型型例例题题： 6 时整时，时针与分针反方向成一条直线，下一次时针与分针反向成 一条直线时是几时几分？ 图示： 小明晚上 6 点钟开始做作业，一直到时针与分针第二次成直角时，作业 正好做完，小明做作业花了多少时间？ 一个旧时钟，时针和分针每隔 66 分钟重合一次，如早上 7 点将时钟对 准，到第二天早晨时钟的时针再次指向 7 点时，实际是几点几分？（答案：7 点 12 分） 钟表问题中不需要应用行程思想的题型举例： 有一块表，每小时比标准时间慢一分钟，中午 12 时调准，下午慢钟指到 6 时时， 标准时间是下午几时几分？ 这个问题，可以根据“问题表”的指针速度不变，看作钟表与标准时间成正比 例来解答 6 6、一般行程问题、一般行程问题 升学考试中即便考到“一般”行程问题，也不会很直接地给出已知条件， 也就是说最终能利用基本关系式解决问题的“时间” 、 “速度” 、 “路程”是需要 你利用已知条件去推算的。而且考题中很可能涉及到比例的数学思想，应用设 数法解题,综合分析法等技巧。另外行程中间有“停留”或速度变化的问题也需 要注意，具体问题具体分析。 典型例题：典型例题： 小王骑摩托车往返 A、B 两地。平均速度为每小时 48 千米，如果他去时每小 时行 42 千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？ 一辆火车的速度为 121 千米每小时，现有一块每 4 小时慢 2 分钟的表。若用 这块表计时，这辆火车的速度是多少？ 7 7、注意行程问题中的综合题、注意行程问题中的综合题，举例如下： 既涉及相遇又涉及到追及的综合A、B 两地相距 1800 米，若甲乙两人分别 从 A、B 两地同时出发，9 分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲 30 分钟可以 追到乙，问：甲从 A 地到 B 地需要多少小时？ 相遇问题和领先问题 甲、乙、丙三人，每分钟分别行 68 米、70.5 米、 72 米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇 后，丙又过了 2 分钟与甲相遇。求：东西两镇相距多少千米。 火车过桥问题中有追及和相离的问题 一列火车车身长 200 米，用 15 秒开过每小时 4 千米的同方向行走的步行人甲，而用12 秒开过骑自行车的 . 可编辑修改9 人乙，那么乙每小时行多少千米？ 行程中有停留的，要具体问题具体分析：行程中有停留的，要具体问题具体分析：绕湖一周是 24 千米，小张和小陈 从湖边某一地点同时出发反向而行。小张以每小时 4 千米的速度走 1 小时休息 5 分钟，小陈以每小时 6 千米的速度每走 50 分钟休息 10 分钟。两人出发多长 时间第一次相遇？ 行程问题结合比的应用，重点题型行程问题结合比的应用，重点题型 甲乙分别从 A、C 两地同时出发，匀 速相向而行，它们的速度比是 5：4，相遇于 B 地后，甲继续以原来的速度 向 C 地的方向前进，而乙则立即调头返回C，且乙的速度比相遇前降低了 ，这样，当乙回到 C 地时，甲刚好到达离 C 地 18 千米处的 D 地，那么 5 1 A、C 之间的距离是多少千米？ 之所以将此题列为重点题型，原因如下：小学六年级分数、比、百分数、 比例是数学知识的重点，而结合分数（分率）、百分数、比和比例的行程问 题较为复杂、抽象，可以很好地考查同学们综合运用所学知识的思维能力 行程问题结合行程问题结合分分数数、百百分分数数、比比和和比比例例的的综综合合问问题题典典型型例例题题解解析析 典典型型例例题题一一： 一辆汽车和一辆摩托同时从 A、B 两地相对开出。汽车每 小时行 50 千米，摩托车的速度是汽车速度的，相遇后汽车继续行 3.2 小 5 4 时到达 B 地。A、B 两地相距多少千米？ 线段图分析： 从相遇点开始，到 B 地 汽车从 A 点出发 汽车共用 3.2 小时 相遇时汽车走出“5 份” 相遇时摩托车走出“4 份” A B 两车此时相遇 摩托车从 B 点出发 解法（一）相遇问题中，同时两地出发，相向而行的两车相遇，相遇时行驶的 时间相同，路程比等于速度比（正比例关系） ，则我们算出速度比也就算出了路 程比。 1 ： = 5 ：4，503.24（5+4）=360（千米） 5 4 答：A、B 两地相距 360 千米。 解法（二）直接利用 “相遇时行驶的时间相同”的原理： 503.2=160（千米）两车相遇地点到 B 点的路程 160（50）= 4(小时)相遇时摩托车所用时间，也就是相遇时汽车所 5 4 用时间 （50+40）4 = 360（千米） 典型例题二：典型例题二：甲乙两人同时从从 A、B 两地出发，相向而行，出发时他们 . 可编辑修改10 的速度比是 3 ：2，相遇后，甲继续向 B 地走，但是速度提高了 20%，乙继 续向 A 地走，速度比相遇前提高了 30%。这样，当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 14 千米。那么 A、B 两地间的距离是多少千米？ 线段图分析： 甲 A B 乙 此时相遇 14 千米 解法（一）设数法解题，设甲、乙两人相遇时间是 1 小时，那么也就是甲在相 遇前，走完全程的，用了 1 小时，则甲的速度就是每小时行全程的，甲 5 3 5 3 提速后每小时可以行完全程的（1+20%）= ，那么提速后行完剩下的 5 3 25 18 用掉的时间是=（小时）；同理， 乙在相遇前，走完全程的， 5 2 5 2 25 18 9 5 5 2 用了 1 小时， （1+30%）= （乙提速后的 “速度”），在甲从相遇至到达 B 地这段 5 2 25 13 时间内，乙走了全程的 =，这时离 A 地还差 14 千米，那么 14 千米相当与全程的（- 25 13 9 5 45 13 5 3 ）。 45 13 设甲、乙两人相遇时间是 1 小时 （1+20%）= = 5 3 25 18 5 2 25 18 （小时） 9 5 （1+30%）= 14（-）=45（千米） 5 2 9 5 45 13 5 3 45 13 答：A、B 两地间的距离是 45 千米。 解法（二）相遇时，甲走了 “3 份”路程，乙走了 “2 份”路程，相遇后甲 乙的速度比为 3（1+20%）：2（1+30%）=18：13，从相遇开始，甲到 达 B 点还要走“2 份”路程，这是乙行了 21813=“份”路程。 9 13 3（1+20%）：2（1+30%）=18：13 21813= 9 13 （3+2）-（2+）= 14（3+2）=45（千 9 13 9 14 9 14 米） 典典型型例例题题三三： 从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，路程全 长是 20 千米。各段路程之比是 1：2：3，某人走这三段路所用时间比是 . 可编辑修改11 4：5：6。已知他上坡时的速度是每小时 2.5 千米，则此人从甲地到乙地共 需多长时间？ 线段图分析： 2 份 1 份 3 份 解法：20=（千米） 2.54（4+5+6）=5（小时） 321 1 3 10 3 10 答：此人从甲地到乙地共需 5 小时。 典典型型例例题题四四： 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比 原定时间提前 1 小时到达；如果按原速行驶 120 千米后，再将速度提高 25%， 则可提前 40 分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？ 线段图分析及解法： 第一种情况 速度提高 20%，则速度提高到原来的 5 6 则所用时间将是按原速行驶所用时间的 6 5 因为路程一定，速度与时间成反比，据此我们建立反比例模型，设速度为 x，时间为 y，路程为 k(路程 k 一定)，则有 xy=k, 1+20%= ,(x) ( 5 6 5 6 y)=k,时间缩短为按原速行驶所需时间 y 的，则 1-也就是 1 小时的 6 5 6 5 6 5 时间所对应的分率。 解题时书写1+20%= =1 1（1-）=6 小时 （即按 5 6 5 6 6 5 6 5 原速行驶需 6 小时） 第二种情况 120 千米 速度提高 25%，则速度提高到 原来的 4 5 则所用时间将是按原速行驶所用时间的 5 4 与第一种情况同理，可以算出 按原速行完除去 120 千米的剩余部分用小 3 10 . 可编辑修改12 时，则按原速行驶 120 千米所用的时间是 6-=（小时），由此可以求 3 10 3 8 出原速度，在根据第一种情况的结论用速度乘以时间求出全程。解题时书写： 1+25%= =1 40 分钟=小时，（1-）=（小 4 5 4 5 5 4 3 2 3 2 5 4 3 10 时） 120（6-）6=270（千米） 3 10 答：甲、乙两地相距 270 千米。 典典型型例例题题五五： 如图，甲、乙分别从 A、C 两地同时出发，匀速相向而行， 它们的速度比是 5：4，相遇于 B 地后，甲继续以原来的速度向 C 地的方向 前进，而乙则立即调头返回 C，且乙的速度比相遇前降低了，这样，当乙 5 1 回到 C 地时，甲刚好到达离 C 地 18 千米处的 D 地，那么 A、C 之间的距离 是多少千米？ A B C D 线段图分析及解法： 甲 A B C D 乙 如图，甲、乙相遇于 B 点时，所行路程 AB 与 AC 之间的比等于他们的速度比 5：4，而当“乙的速度比相遇前降低了”后，甲、乙所行的路程比应是 5 1 5：4（1-）=25：16，如果我们设 BC 之间的路程为 X 千米，则有 5 1 BD:BC=25：16,而 BD=BC+CD=BC+18,建立比例式后，问题迎刃而解。解题时 书写： 解：设 BC 之间的路程为 X 千米。 4（1-）= 5：=25：16 5 1 5 16 5 16 (x+18):x=25：16,解比例得 x=32 324(5+4)=72(千米) 答：A、C 之间的距离是 72 千米 . 可编辑修改13 较复杂的行程问题较复杂的行程问题 【名师导航名师导航】 行程问题是根据速度、时间、路程之间的关系，研究物体运动情况的问题。解 决行程问题常用方法有：1、分解。将综合性的题先分解成若干个基本题，再按 其所属类型，直接利用基本数量关系解题。 2、图示。把题中复杂的情节，通过线段图清楚地表示出来，帮助分析思考。 3、简化。对于一些较复杂的问题，解答时可以先退一步，考虑最基本的情况， 使复杂的问题简单化，从而找到解题途径。 4、挖掘。把题目中隐藏的条件给挖掘出来，特别是对一些关键字眼的仔细推敲， 对解题起至关重要的作用。 【例题精讲例题精讲】 例题例题 1 1、甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出 发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千 米甲车原来每小时行多少千米? 解：解： 方法一：方法一：(12+16)5=56 小时， 5 1 5.6 28 (千米)，4206=70(千米) 51 5420 286 AB 甲车原来每小时走 (千米) 12 7030 12 16 方法二：方法二：设甲、乙两人原来的速度分别为 x 千米时，y 千米时，那 么 AC=6x，BC=6y， 在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等，可得方程组： . 可编辑修改14 ,交叉相乘,解得 612612 5 616616 5 xy xy xy xy 30 40 x y 即甲原来的速度是每小时 30 千米 方法三：方法三：设第一次改变速度，甲、乙相遇在 D 点，第二次改变速度，甲、 乙相遇在 E 点 在第二次相遇中，假设走满 6 小时，甲走到了 C 点，乙则走到了 F 点，FC 长：56=30(千米)，FD 长：30-12=18(千米) 所以乙提速 5 千米时后，甲、乙速度比为 DC：DF=12：18=2：3 同样的，在第三次相遇中，假设走满 6 小时，乙走到了 C 点，甲则走到了 G 点， CG 长：56=30(千米)，EG 长：30-16=14(千米)，所以甲提速 5 千米时后， 甲、乙速度比为 EG：CE=14：16=7：8 设甲原来速度为 x 千米小时，乙原来速度为 y 千米小时，则 2 53 57 8 x y x y 解得 即甲原来的速度为每小时 30 千米 30 40 x y 例题例题 2 2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人 的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快两人出发后 1 小 时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好下到半山腰那 么甲回到出发点共用多少小时? 解：解：将上山甲、乙速度分别记为 a、b；则下山时甲、乙速度为 1.5a、1.5b . 可编辑修改15 用 h 表示山顶到山脚的距离， 由右图知：，即有 4b=3a 0.5 1.5 hhh aab 由左图知：即;得 h=3600 米 600600 1.5 hh aab 600600 1.50.75 h h 即山顶到山脚的距离为 3600 米 再变回到“甲下山速度是上山速度的 1.5 倍” 由 1 小时后，甲距山脚还有 3600-600=3000 米知，甲到山脚还需 3000(4000 15)=O.5 小时 所以甲自出发到回到山脚共用 1+0.5=1.5 小时 做一做做一做 1 1、男、女两名田径运动员在长 110 米的斜坡上练习跑步(坡顶为 A，坡 底为 B两人同时从 A 点出发，在 A，B 之间不停地往返奔跑已知男运动员上 坡速度是每秒 3 米，下坡速度是每秒 5 米，女运动员上坡速度是每秒 2 米，下 坡速度是每秒 3 米那么两人第二次迎面相遇的地点离 A 点多少米? 解：解：开始下山时，男运动员的速度大于女运动员的速度，有男运动员到达坡底 B 所需时间为 1105=22 秒，此时女运动员才跑了 223=66 米 现在女运动员的速度不变，还是每秒 3 米，而男运动员将从 B 上坡到 A， 速度变为每秒 3 米男、女运动员的距离为 110-66=44 米，所以当男运动员再 跑 44(3+3)3=22 米后男女运动员第一次迎面相遇，相遇点距 B 地 22 米，如 下图所示(本题 4 图所标注数字均是距坡底 B 的距离数) . 可编辑修改16 所以当女运动员到达坡底 B 时，男运动员又跑了 22 米，即到达距 B 地 44 米的 地方，如下图所示 此后，女运动员从坡底 B 上坡到 A，速度变为每秒 2 米，男运动员的速度 还是每秒 3 米，所以当男运动员再跑 110-44=66 米到达坡顶 A 时，女运动员才 跑了 6632=44 米，即距离坡底 B 地 44 米的地方，如下图所示 这时，女运动员的速度不变还是每秒 2 米，而男运动员的速度变为每秒 5 米， 男、女运动员相距 110-44=66 米，所以当男、女运动员第二次相遇时，男运动 员又跑了米，如下图所示 1 66(52) 547 7 即第二次相遇的地点距以 点米 1 47 7 例题例题 3 3、某人沿电车线路行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有 一辆电车迎面开来假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔 解：解：设电车的速度为 a，行人的速度为 b，因为每辆电车之间的距离为定值，设 为 l 由电车能在 12 分钟追上行人 l 的距离知，； 由电车能在 4 分钟能 1 12 ab 与行人共同走过 l 的距离知， ,所以有 l=12(a-b)=4(a+b)，有 a=2b，4 l ab . 可编辑修改17 即电车的速度是行人步行速度的 2 倍 那么 l=4(a+b)=6a，则发车间隔上： 6 6 la aa 即发车间隔为 6 分钟 例题例题 4 4、A，B 两地相距 105 千米，甲、乙两人分别骑车从 A，B 两地同时相向出 发,甲速度为每小时 40 千米，出发后 1 小时 45 分钟相遇，然后甲、乙两人继续 沿各自方向往前骑在他们相遇 3 分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙 在 C 地追上乙若甲以每小时 20 千米的速度，乙以每小时比原速度快 2 千米的 车速，两人同时分别从 A，B 出发相向而行，则甲、乙二人在 C 点相遇，问丙的 车速是多少? 解：解： 甲以 40 千米小时的速度行驶 l 小时 45 分钟，行驶了 千米，那么剩下的 105-70=35 千米为乙在 1 小时 45 分钟内行 45 40170 60 驶的，所以乙的速度为千米小时，如下图所示 3 35 120 4 又甲、乙再行驶 3 分钟，那么甲又行驶了千米，乙又行驶了 3 402 60 千米即在甲、乙相遇 3 分钟后，乙行驶至距 B 地 35+1=36 千米的地 3 201 60 方，甲行驶至距 A 地 70+2=72 千米的地方，此地距 B 地 10572=33 千米，如下 图所示 . 可编辑修改18 而如果甲以 20 千米小时的速度，乙的速度增加 2 千米小时至 22 千米 小时，那么相遇点 C 距 B 地为：千米，如下图所示 105 2255 2022 那么，当丙与甲相遇在距 B 地 33 千米的地方时，乙在距 B 地 36 千米的地方， 而后丙行驶至 C 地(距 B 地 55 千米)时，乙也在 C 地，即相遇 在这段时间内，乙行驶了 55-36=19 千米，而丙行驶了 55-33=22 千米，所 以丙的速度为千米小时， 223 2023 1919 如下图所示 例题例题 5 5、从甲市到乙市有一条公路，它分成三段在第一段上，汽车速度是每 小时 40 千米；在第二段上，汽车速度是每小时 90 千米；在第三段上，汽车速 度是每小时 50 千米己知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍，现有两汽车分 别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1 小时 20 分后，在第二段从甲到乙方向 的处相遇那么，甲、乙两市相距多少千米? 1 3 解解：设第一、二、三段公路的长度依次为 a、b、c，有 a=2c，如下图所示： . 可编辑修改19 易知当另一汽车到达第二、三段交接点处，即行驶的路程为 c 时，一汽车 行驶的路程为，而第一段长度为第三段长度的 2 倍，所以甲行驶至第一段 40 50 c 的处,如下图所示 402 2 505 a 所以当另一汽车行驶 路程的时间内， 2 3 b 一汽车行驶了的距离，同时减去的里程，则另一汽车行驶了的 31 53 ab 1 3 b 1 3 b 路程，一汽车行驶了的路程 3 5 a 由两汽车行驶的时间相等知，即 a:b=20：81，如下图所示 31 53 4090 ab 设第一段路程为 20k，则第二段路程为 81k，第三段路程为 lOk； 于是，一汽车跑至第二段时，所需时间为，解得 1 3 11 204081901 33 kk 而甲乙全程为 20k+81k+10k=111k，有 5 3 k 5 111185 3 所以甲、乙两市相距 185 千米 例题例题 6 6、甲、乙两人在 400 米圆形跑道上进行 10000 米比赛两人从起点同时 同向出发，开始时甲的速度为每秒 8 米，乙的速度为每秒 6 米当甲每次追上 乙以后，甲的速度每秒减少 2 米，乙的速度每秒减少 0.5 米这样下去，直到 甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加 O.5 米， . 可编辑修改20 直到终点那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 解：解： 先求出当第一次甲追上乙时的详细情况，因为甲乙同向，所以为追击问 题 甲、乙速度差为 8-6=2 米秒，当甲第一次追上乙时，甲应比乙多跑了一圈 400 米，即甲跑了 40028=1600 米，乙跑了 40026=1200 米 相遇后，甲的速度变为 8-2=6 米秒，乙的速度变为 6-0.5=55 米 秒显然，甲的速度大于乙，所以仍是甲超过乙 当甲第二次追上乙前，甲、乙速度差为 6-5.5=0.5 米秒，追上乙时，甲 应在原基础上再比乙多跑一圈 400 米，于是甲又跑了 4000.56=4800 米，乙 又跑了 4000.55.5=4400 米 甲第二次追上乙后，甲的速度变为 6-2=4 米秒，乙的速度变为 5.5-0.5= 5 米秒显然，现在乙的速度大于甲，所以变为乙超过甲 当乙追上甲时，甲、乙速度差为 5-4=1 米秒，乙追上甲时，乙应比甲多 跑一圈 400 米，于是甲又跑了 40014=1600 米，乙又跑了 40015=2000 米 。 这时甲的速度变为 4+0.5=4.5 米秒，乙的速度变为 5+0.5=5.5 米秒并 以这样的速度跑完剩下的全程 在这过程中甲共跑了 1600+4800+1600=8000 米，乙共跑了 1200+4400+2000=7600 米 甲还剩下 10000-8000=2000 米的路程，乙还剩下 10000-7600=2400 米的路 程 显然乙先跑完全程，此时甲还剩下米的路 24004004 20004.536 5.51111 程 即当领先者到达终点时，另一人距终点米 4 3611 评注：此题考察了我们的分析问题的能力，也考察了我们对追击这一基本 行程问题的熟练程度. 做一做做一做 2 2、龟兔赛跑，全程 5.2 千米，兔子每小时跑 20 千米，乌龟每小时跑 3 千米乌龟不停地跑；但兔子却边跑边玩，它先跑了 1 分钟然后玩 15 分钟，又 . 可编辑修改21 跑 2 分钟然后玩 15 分钟，再跑 3 分钟然后玩 15 分钟，那么先到达终点 的比后到达终点的快多少分钟? 解：解： 乌龟到达终点所需时间为 5.2360=104 分钟 兔子如果不休息，则需要时间 5.22060=15.6 分钟 而兔子休息的规律是跑 1、2、3、分钟后，休息 15 分钟 因为 15.6=1+2+3+4+5+0.6，所以兔子休息了 515=75 分钟，即兔子跑到 终点所需时间为 156+75=906 分钟 显然，兔子先到达，先乌龟 104-90.6=13.4 分钟达到终点 例题例题 7 7、A，B 两地相距 125 千米，甲、乙二人骑自行车分别从 A，B 两地同时出 发，相向而行丙骑摩托车以每小时 63 千米的速度，与甲同时从 A 出发，在甲、 乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回)若甲车速度为 每小时 9 千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次 回到甲处)，甲、乙二人相距 45 千米问：当甲、乙二人相距 20 千米时，甲与 丙相距多少千米? 解：解：我们设乙的速度为 9x，即甲的 x 倍 当乙、丙第一次相遇的时候，设甲走了“1” ，则乙走了“x” ，丙走了“7” ， 所以有“7”+“x”=125，于是“1”，此时甲、丙相距“7”-“1” 125 7x =“6” 这样丙第一次回到甲时，甲又向前行9=,丙又行了“6”- 639 “ 6”3 4 “” ，乙又行了 321 44 “”“”33 44 xx “” “” . 可编辑修改22 所以，甲、乙此时相距 千米. 2133312537 (7)(7)125 4444747 x xxx xx “” “”“” 有丙第二次回到甲处的时，125 千米的路程相当于百千米， 37 125 47 x x 即甲、乙相距，所以,解得 2 37 12545 47 x x 2 716 725 x x 74 75 x x 所以乙的速度为千米小时 7 9 x 7 997 9 x 当第三次甲、丙相遇时，甲、乙相距 千米 37343 45454527 47455 x x 当第四次甲、丙相遇时，甲、乙相距千米，而题中甲、乙相距 381 27 55 20 千米，此时应在甲、丙第三次和第四次相遇的某个时刻 有千米，而甲、乙的速度比为 9：7，所以甲从甲、丙第四次相 8119 20 55 遇处倒退千米即可 199171 59780 又因为丙的速度是甲的 7 倍，所以丙倒退的路程应为甲的 7 倍，于是甲、丙相 距千米 171171 (7 1)17.1 8010 当甲、乙二人相距 20 千米时,甲与丙相距 17.1 千米. 评注：甲从 A 地往 B 地出发，乙从 B 地往 C 出发，丙从 A 地开始在甲乙之 间来回往返跑动 当