（山东专用）高考数学一轮复习专题14导数的应用（2）研究函数的极值与最值（含解析）.docx

专题14 导数的应用（2）研究函数的极值与最值一、【知识精讲】函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.二、【典例精练】考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例11】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】D【解析】由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值.【解法小结】由图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：(1)由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；(2)由导函数yf(x)的图象可以看出yf(x)的值的正负，从而可得函数yf(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例12】 （2015山东高考）设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若成立，求的取值范围.【答案】（I）：当时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；（II）的取值范围是.【解析】函数的定义域为令，（1）当时，在上恒成立所以，函数在上单调递增无极值；（2）当时，当时，所以，函数在上单调递增无极值；当时，设方程的两根为因为所以，由可得：（3）当时，由可得：当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；因此函数有一个极值点综上：当时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；（II）由（I）知，（2）当时，由，得所以，函数在上单调递增，又，所以，时，符合题意；（3）当时，由，可得所以时，函数单调递减；又所以，当时，不符合题意；（4）当时，设因为时，所以在上单调递增，因此当时，即：可得：当时，此时，不合题意.综上所述，的取值范围是【解法小结】运用导数求可导函数yf(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数yf(x)的定义域，再求其导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查导数f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3已知函数的极(最)值求参数的取值【例13】 (2018北京卷)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围.【解析】因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.【解法小结】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.考点二利用导数求函数的最值【例2】（2018全国卷II）已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【解析】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=exx2则f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，则g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2当（0，ln2）时，h（x）0，当（ln2，+）时，h（x）0，h（x）h（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一个零点方程exax2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递增，在（2，+）递增，当0时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=【解法小结】1.利用导数求函数f(x)在a，b上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考点三利用导数求解最优化问题【例3】 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式；(2)若cv15(c0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.【解析】(1)由题意，下潜用时(单位时间)，用氧量为(升)，水底作业时的用氧量为100.99(升)，返回水面用时(单位时间)，用氧量为1.5(升)，因此总用氧量y9(v0).(2)y，令y0得v10，当0v10时，y10时，y0，函数单调递增.若c10 ，函数在(c，10)上单调递减，在(10，15)上单调递增，当v10时，总用氧量最少.若c10，则y在c，15上单调递增，当vc时，这时总用氧量最少.【解法小结】1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【思维升华】1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.【易错注意点】1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.三、【名校新题】1. (2019辽宁鞍山一中模拟)已知函数f(x)x33x1，在区间3,2上的最大值为M，最小值为N，则MN()A20B18C3 D0【答案】A【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)在(，1)和(1，)上单调递增，在(1,1)上单调递减，又f(3)19，f(1)1，f(1)3，f(2)1，M1，N19，MN1(19)20.2. (2019湖北襄阳四校联考)函数f(x)x2xln x3x的极值点一定在区间()A(0,1)内 B(1,2)内C(2,3)内 D(3,4)内【答案】B【解析】函数的极值点即导函数的零点，f(x)xln x13xln x2，则f(1)10，由零点存在性定理得f(x)的零点在(1,2)内，故选B.3. (2019皖南八校联考)已知函数f(x)x3bx2cxbc在x1处有极值，则b()A1 B1C1或1 D1或3【答案】A【解析】f(x)x22bxc，因为f(x)在x1处有极值，所以解得故选A.4. (2019广州高中综合测试)已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处的极值为10，则数对(a，b)为()A(3,3) B(11,4)C(4，11) D(3,3)或(4，11)【答案】C【解析】f(x)3x22axb，依题意可得即消去b可得a2a120，解得a3或a4，故或当时，f(x)3x26x33(x1)20，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.5.(2019安庆二模)已知函数f(x)2ef(e)ln x(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()A.2e1 B.C.1 D.2ln 2【答案】D【解析】由题意知，f(x)，f(e)2f(e)，则f(e).因此f(x)，令f(x)0，得x2e.f(x) 在(0，2e)上单调递增，在(2e，)上单调递减.f(x)在x2e处取极大值f(2e)2ln(2e)22ln 2.6.(2019郑州质检)若函数yf(x)存在n1(nN*)个极值点，则称yf(x)为n折函数，例如f(x)x2为2折函数.已知函数f(x)(x1)exx(x2)2，则f(x)为()A.2折函数 B.3折函数C.4折函数 D.5折函数【答案】C【解析】f(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2)(ex3x2)，令f(x)0，得x2或ex3x2.易知x2是f(x)的一个极值点，又ex3x2，结合函数图象，yex与y3x2有两个交点.又e23(2)24.函数yf(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.7. (2019江西阶段性检测)已知函数yax在x1处取得极值，则a_.【答案】2因为ya，所以当x1时，a20，所以a2，经验证，可得函数y2x在x1处取得极值，因此a2.8. (2019“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f(x)x3x22xt在区间(0，)上既有极大值又有极小值，则t的取值范围是_【答案】【解析】f(x)tx23x2，由题意可得f(x)0在(0，)上有两个不等实根，即tx23x20在(0，)有两个不等实根，所以解得0t.9.若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_.【答案】【解析】因为f(x)的定义域为(0，)，又因为f(x)4x，所以由f(x)0解得x，由题意得解得1k0，当t(2，8)时，V(t)0).当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x.12.(2018天津卷选编)设函数f(x)(xt1)(xt2)(xt3)，其中t1，t2，t3R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列.(1)若t20，d1，求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)若d3，求f(x)的极值.【解析】(1)由已知，得f(x)x(x1)(x1)x3x，故f(x)3x21.因此f(0)0，f(0)1，又因为曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)f(0)(x0)，故所求切线方程为xy0.(2)由已知得f(x)(xt23)(xt2)(xt23)(xt2)39(xt2)x33t2x2(3t9)xt9t2.故f(x)3x26t2x3t9.令f(x)0，解得xt2，或xt2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的极大值为f(t2)()39()6；函数f(x)的极小值为f(t2)()396.13.设f(x)xln xax2(2a1)x(常数a0).(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围.【解析】(1)由f(x)ln x2ax2a，可得g(x)ln x2ax2a，x(0，).所以g(x)2a.又a0，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递增，当x时，g(x)0，函数g(x)单调递减.函数yg(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由(1)知，f(1)0.当0a1，由(1)知f(x)在内单调递增，可得当x(0，1)时，f(x)0.所以f(x)在(0，1)内单调递减，在内单调递增.所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意.当a时，1，f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意.当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减.所以f(x)在x1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a的取值范围为14.(2019广东五校联考)已知函数f(x)axln x，其中a为常数.(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值.【解析】(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数.f(x)maxf(1)1.当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10，不合题意.若a0得a0，结合x(0，e，解得0x；令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)