直觉模糊多目标二人零和矩阵对策.pdf

第 卷 第 期运 筹 与 管 理 ， 年 月 收稿日期：- - 基金项目：国家自然科学基金资助项目（ ， ）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（- - - ） 作者简介：周晓光（- ），男，湖南汨罗人，副教授，博士，研究方向： 管理决策与对策。 直觉模糊多目标二人零和矩阵对策 周晓光， 高学东， 张晓冬 （北京科技大学 东凌经济管理学院，北京 ） 摘 要：研究矩阵对策是深入研究对策理论的一个基本途径和重要手段。 根据直觉模糊多目标决策和模糊对策 理论，研究了支付值为直觉模糊值的多目标二人零和矩阵对策。 首先介绍了基于直觉模糊集的多目标二人零和 矩阵对策模型，接着提出了求解直觉模糊多目标二人零和矩阵对策的线性规划方法。 最后以数例说明本文提出 的方法。 结果表明该方法能方便地得到对策的均衡策略和均衡解。 关键词：直觉模糊集；矩阵对策；多目标对策；线性规划 中图分类号： 文章标识码： 文章编号：- （）- - Multi- objective Two- person Zero- sum Matrix Game Based on Intuitionistic Set - ， - ， - （Dongling School of Economics and Management， Beijing University of Science and Technology，Beijing ， China） Abstract： - - - ， ， - - - - - - - ， Key words： ； - ； ； 引言 模糊矩阵对策是研究模糊对策的一个基本途径和重要手段。 对基于线性规划方法的模糊二 人零和对策问题进行了初步研究，但没有定义明确的平衡策略 。 对具有模糊支付的双矩阵对策 及其性质进行了研究，基于可能性和可信性测度理论定义了纳什均衡策略 。 还对具有模糊支付 的二人零和对策平衡策略的性质进行了研究 。 和 研究了模糊多目标双矩阵对策的 非线性规划求解方法 。 等也对模糊二人对策问题进行了研究 。 年， 提出了 直觉模糊集的概念 。 年， 和 提出了 集理论 。 由于 集和直觉模糊集在 本质上相同， 和 指出 集等同于直觉模糊集 ，将二者统一起来。 直觉模糊集是 集的一种推广形式。 直觉模糊集在描述决策者偏好时，能从支持、反对和弃权三个方面来表示，比 集有更强的表示能力，它能更好地处理决策过程中的主观性、模糊性和不确定性。 作者对直觉模糊 集（值）的相似度量 、基于直觉模糊集的多属性决策方法 等进行了研究。 其他学者，如 、刘华 文 等研究了基于直觉模糊集的多目标决策方法。 然而，现有研究成果对基于直觉模糊集的对策理论没 有进行深入的研究和探讨。 为此，本文对支付值是直觉模糊值的多目标二人零和矩阵对策及其解法进行 了探讨。 直觉模糊集及排序 定义1 设 U 是一个非空集合，它的元素用 x 表示。 U 上的一个直觉模糊集 A 是指 U 上的一对隶属 函数 tA和 fA，即 tA：U， fA：U，满足 tA（x） fA（x），且tA（x），fA（x）。 其中 tA称为直觉模糊集 A 的真隶属函数，表示支持 xA 的证据的隶属度下界；fA称为直觉模糊集 A 的假隶属函数，表示反对 xA 的证据的隶属度下界。 直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与非隶属两方面 的信息，这使得直觉模糊集在处理不确定信息时比传统的 集有更强的表示能力，且更灵活。 设 xU，称闭区间tA（x）， fA（x）为直觉模糊集 A 在点 x 的直觉模糊值，它同时表示了支持和反 对 xU 的隶属程度。 例如，A 在点 x 的直觉模糊值为tA（x）， fA（x） ， ，则有 tA（x） ， fA（x） ，fA（x） 。 可以解释为：元素 x 属于 U 的程度是 ，不属于 U 的程度是 ，对 U 的未 知程度是 。 用投票模型来解释为：在 个投票人中，有 人赞成， 人反对， 人弃权。 由此可见，集 合A 在点 x 的直觉模糊值tA（x）， fA（x）的内涵，比A 在点x 的 值，即隶属函数值（隶属度）ux要 丰富得多。 设 A 为一个直觉模糊集，当 U 离散时，将其表示为 A n i tA（xi）， fA（xi） xi， xi U； 当 U 连续时，将其表示为 A UtA（x）， fA（x） x 。 在基于直觉模糊集的决策和对策过程中，常常要在多个方案中根据属性值选择最佳的方案 ， 。 这 样，往往会涉及方案的排序。 将侯选方案 Ai满足与不满足决策者要求的程度，用评价函数 E 表示如下： E（Ai） （tij，t 倡 ijtik，t 倡 iktip，t 倡 ip）tis，t 倡 is （tij， fijtik， fiktip， fip）tis， fis tAi， fAi 上式中，tAi （tij，tik，tip），tis）， fAi （ fij， fik， fip）， fis）。 根据评价函数 E，学者们提出了众多排序方法。 排序函数主要是解决侯选方案 Ai满足决策者要求的 合适程度。 刘华文 对评价函数 E（Ai）所反映的弃权部分进行了分析，考虑到弃权人群中可能有一部分 人倾向于投赞成票，有一部分人倾向于投反对票，另一部分人仍倾向于弃权。 对弃权部分 Ai，按投票结果 可细化为三部分：tAiAi，fAiAi和（ tAi ft Ai）Ai，分别表示弃权部分中倾向于投赞成票、反对票和弃权票 的比例。 其提出的排序函数为： L（E（Ai） tAi tAi（ tAi fAi）（） 并指出 L（E（Ai）的值越大，方案 Ai越满足决策者的要求。 例1 若 E（A） ， ，E（A） ， ，由式（）有 L（E（A） ， L（E（A） （ ） ，这说明方案 A优于方案 A。 基于直觉模糊集的多目标二人零和矩阵对策模型 由于对策过程中往往存在着大量的模糊概念、模糊语言、模糊数据及信息的不完全等，局中人很难准 确地估计各个局势下的支付值，从而使得各个目标的支付矩阵是模糊的。 这里假设各目标的支付值是直 觉模糊值。 假设有两个局中人 P和 P参与对策，其纯策略集合分别记为 S ，m，S ， n，有 N 个目标需要考虑。 当局中人 P选取纯策略 iS、局中人 P选取纯策略 jS时，形成对策 运 筹 与 管 理 年第 卷 局势（i， j），此时 P获得第 k（k ，N）个目标的支付值为珘a k ij，而 P相应地损失支付值 ，即得到支 付值 珘a k ij。 尽管珘a k ij （ a k ij）往往不等于，但由于 P所得即为 P所失，仍称为零和对策。 为简单起见， 将局中人 P的第 k 个目标的支付矩阵记为 A k （珘a k ij）m n，a k ijtij，t 倡 ij，t 倡 ij fij，i ，m； j ，n；k ，N，如式（）所示。 n A k m 珘 a k 珘a k 珘a k n 珘 a k 珘 a k 珘 a k n 珘 a k m 珘 a k m 珘 a k mn （） 将局中人 P的所有 N 个目标的支付矩阵记为 A （珘aij）m n，i ，m，j ，n，即 n A m 珘 a 珘a 珘an 珘 a 珘a 珘an 珘 am 珘am 珘amn （） 在直觉模糊多目标二人零和矩阵对策中，由于 N 个目标之间的相互冲突和不可公度性，为了增加可 比性，消除不同物理量纲的影响，要先计算各目标的相对优属度。 本文假设所有目标都已经进行了相对优 属度的处理。 下面介绍求解支付值为直觉模糊值的多目标二人零和矩阵对策的线性规划方法。 基于直觉模糊集的多目标二人零和矩阵对策的线性规划方法 求解直觉模糊多目标二人零和矩阵对策的线性规划方法的基本思想是：根据直觉模糊集（值）的运算 规则，利用目标的权重将各目标支付矩阵 A k 集结为 A，即将直觉模糊多目标二人零和矩阵对策转化为直 觉模糊二人零和矩阵对策后，再通过直觉模糊线性规划求解。 假设各目标集结后的决策矩阵为 A，在直觉模糊二人零和矩阵对策中，局中人 P期望局中人 P无论 采取什么策略 zZ，总能找到最优策略 y 倡Y，使其期望赢得比 v“小不了多少”，即允许 v 在某一范围之 内，v 为对策的极大极小值。 因此，可将 P选择最优策略 y倡Y 的问题转化为求解下面的直觉模糊线性 规划的最优解： v m i 珘 aijyi珓v m i yi yi （） 上式中，j ，n符号“”表示直觉模糊不小于，其模糊程度可由局中人 P根据实际问题的需 要与特点来确定。 同样，局中人 P期望局中人 P无论采取什么策略 yY，总能找到最优策略 z 倡Z，使其期望损失比 w“大不了多少”，即允许w 在某一范围之内，w 为对策的极小极大值。 （对二人零和矩阵对策，总有v w。） 因此，可将 P选择最优策略 z 倡Z 的问题转化为求解下面的直觉模糊线性规划的最优解： 第 期 周晓光，等： 直觉模糊多目标二人零和矩阵对策 w m j 珘 aijzj w m j zj zj （） 上式中，i ，m符号“”表示直觉模糊不大于，其模糊程度可由局中人 P根据实际问题的需 要与特点来确定。 假设 v ，w ，令 yi yi v， z j zj w（） 则 m i yi m i yi v v（） m j zj m j zj w w（） 于是，式（）与式（）分别等价于下面两式： m i yi m i 珘 aijy i yi （） m j zj m j 珘 aijzj zj （） 将符号“”和“”转化为 个直觉模糊数之间的大小比较，即将式（）与式（）转化为： m i yi m i 珘 aijyj （ t）珓pj yi （） m j zj m j a ijzj （ t）珓qi zj （） 上式中，i ，m；j ，n；珓pj、珓qi表示“几乎为 的正直觉模糊数”；参数 t， 。 最后，对直觉模糊值进行大小比较。 以式（）为例进行说明。 根据式（），可将式（）与式（）分别 化为 m i yi m i （taijtaij（ taijfaij）yi （ t）（tpjtpj（ tpjfpj） yi （） 运 筹 与 管 理 年第 卷 m j zj m j （taijtaij（ taijfaij）zj （ t）（tqitqi（ tqifqi） zj （） 其中，i ，m；j ，n。 上面两式是关于参数 t 的线性规划，对于不同的 t 将会有不同的结果。 t 时，式（）和式（）是对 偶线性规划；t 时，式（）和式（）不是对偶线性规划，需要分别进行求解。 对任意给定的参数 t，利用 单纯形法可求得（）和（）的最优解，再由式（）至式（）可得出直觉模糊二人零和矩阵对策 A 的最优 策略及期望支付值，该最优策略与期望支付值也是原多目标二人零和矩阵对策的最优策略与期望支付值。 数例分析 例2 假设有两家公司 E与 E欲提高某目标市场上某种产品的销售量和市场占有率，由于该目标 市场对此产品的需求量基本稳定，故一家公司销售量和市场占有率的增加，会引起另一家公司销售量和市 场占有率的减少，但销售量和市场占有率不一定成比例关系。 两家公司都在考虑采取下面 种策略来增 加销售量和市场占有率。 策略：加强产品广告宣传；策略：适当降低产品价格。 上述问题实际上是一个 多目标二人对策问题，令公司 为局中人 E，采取策略（，）；公司 为局中人 E，采取策略（ ，）。 在这两种策略下，目标销售量 f（百万件）和市场占有率 f（）的支付矩阵 A 、A 分别由直觉模糊值表示 如下： A ， ， ， ， A ， ， ， ， 矩阵 A 中元素“ ， ”表示公司 采取加强产品广告宣传策略，公司 也采取加强产品广告宣 传策略时，公司 销售量至少增加 万件，最多增加 万件；对公司 而言，其销售量至少减少 万件， 最多减少 万件。 其它元素可类似解释。 矩阵 A 中元素“ ， ”表示公司 采取适当降低产品价格策略，公司 采取加强产品广告宣传 策略时，公司 市场占有率至少上升，最多上升；对公司 而言，其市场占有率至少下降，最 多下降。 其它元素可类似解释。 假设各目标的权重为直觉模糊值，目标销售量的权重为 ， ，市场占有率的权重为 ， 。 下面给出求解过程。 Step 1 根据直觉模糊值的运算规则，将目标决策矩阵 A 、A 集结为 A，即将直觉模糊多目标决策转 化为直觉模糊单目标决策。 A ， ， ， ， Step 2 取 P P ， ，q q ， ，根据式（）、式（）和式（），可将上述 直觉模糊决策矩阵转化为： y y y y （ t） y y （ t） y ，y （） 第 期 周晓光，等： 直觉模糊多目标二人零和矩阵对策 z z z z （ t） z z （ t） z ，z （） Step 3 根据参数线性规划求解式（）和式（）得： y （ （ t），y （ （ t） z （ （ t），z （ （ t） Step 4 根据式（） （）可得： y ， y ， v （ t） z ， z ， v （ t） 即公司 以 的概率选取策略 ， 的概率选取策略 ；公司 以 的概率选取策略 ， 的概率选取策略 时，双方达到多目标均衡，其均衡值分别为 （ （ （ t）、 （ （ （ t）。 显然，当 t 时，v w，式（）和式