（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题4.7解三角形及其应用举例（练）（含解析）.docx

第07讲 解三角形及其应用举例 -练1（2018北京高三）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A、B两点之间的距离为60m，则树的高度为（ ）Am BmCm Dm【答案】C【解析】【详解】设树高为，则，选C.2. （2019全国高三专题练习）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmB a kmC akmD2akm【答案】B【解析】在中知ACB120，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos1202a22a23a2，ABa.故选:B.3. （2019全国高三专题练习）在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若，则A，C两点之间的距离为（ ）A km B km C km D2 km【答案】A【解析】由A点向BC作垂线，垂足为D，设ACx，CAB75，CBA60，ACB180756045ADx在RtABD中，ABsin60xx（千米）答：A、C两点之间的距离为千米故选：A.4（2018山东高三期中（理）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A同侧的河岸边选定一点C，测出AC的距离为100m，ACB30，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为（）A100m B100m C50m D25m【答案】C【解析】由三角形内角和定理可得，由正弦定理知，两点的距离为，故选C.5（2019福建高考模拟（文）我国古代数学家刘徽于公元263年在九章算术注中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值可表示成（ ）ABCD【答案】A【解析】令圆的半径为1，则圆内接正边形的面积为，圆内接正边形的面积为，用圆的内接正边形逼近圆，可得；用圆的内接正边形逼近圆，可得；所以.故选A6.（2019四川高考模拟（理）某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,则区域内面积(单位：)的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】ABC是直三角形，AB20m，AC10m，可得CB，DEF是等边三角形，设CED；DEx，那么BFE+；则CExcos，BFE中由正弦定理，可得可得x，其中tan；x；则DEF面积S故选：D7.（2019浙江高三期末）我国古代数学著作九章算术中记载：“今有邑方不知大小，各中开门出北门三十步有木，出西门七百五十步有木问邑方几何？”示意图如下图，正方形中，分别为和的中点，若，且过点，则正方形的边长为_【答案】【解析】因为，所以，而，故，所以，因为中点，所以，故，所以=150即正方形的边长为300，填300 8（2019山东省临沂市第十九中学高考模拟（理）如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分【答案】【解析】由已知得由正弦定理可得，所以海轮的速度为海里/分故答案为.9.（2009宁夏高考真题（理）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】见解析【解析】要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.需要测量的数据有：点到，点的俯角；点到，的俯角；，的距离 .3分第一步：计算. 由正弦定理；第二步：计算. 由正弦定理；第三步：计算. 由余弦定理10（2019陕西高考模拟（文）西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形，其中三角形区域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所，为运动小道（不考虑宽度），千米.（1）求小道的长度；（2）求球类活动场所的面积最大值.【答案】（1）（2）【解析】如解图所示，连接，（1）在三角形中，千米，由余弦定理得：，所以，在中，（千米）小道的长度为千米；（2）如图所示，设，在三角形中，由正弦定理可得：，故当时，取得最大值，最大值为.球类活动场所的面积最大值为平方千米.1（2019吉林高考模拟（理）海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（ ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)A步B步C步D步【答案】A【解析】因为，所以，所以；又，所以，所以；又，所以，即，所以步，又，所以步.故选A2（2019全国高三专题练习）某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30，航标B在南偏东60，俯角为45，则这两个航标间的距离为_米【答案】600【解析】航标A在正东，俯角为30，由题意得APC60，PAC30航标B在南偏东60，俯角为45，则有ACB30，CPB45故有BCPC600，AC600所以，由余弦定理知AB2BC2+AC22BCACCOSACB360000+36000032360000可求得AB600故答案为：6003（2019江西高考模拟（理）定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是_【答案】【解析】设三个半圆圆心分别为G,F，E，半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点，则PM+GF= +=，当且仅当M,G,F,P共线时取等；同理：PN MN,又外接圆半径为1，所以,BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c2,当且仅当b=c=取等；故故答案为4. （2019广东深圳高中高考模拟（理）工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（在同一水平面内），求之间的距离. 【答案】【解析】连接AC,在中，.在 中， 5（2019江苏高考模拟）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设BDE（1）当60时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积的取值范围【答案】（1）（2）【解析】 (1)当时，DEAC，DFAB，四边形是平行四边形，和均为边长为的等边三角形，面积都是，所以绿化面积为.（2）由题意知，在中，由正弦定理是，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以.所以，当，所以.答:地块的绿化面积的取值范围是.6（2019江苏高考模拟）某公园内有一块以为圆心半径为米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形区域，其中两个端点，分别在圆周上；观众席为梯形内切在圆外的区域，其中，且，在点的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.设，.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】能符合要求【解析】过作垂直于，垂足为.在直角三角形中，所以，因此.由图可知，点处观众离点处最远.在三角形中，由余弦定理可知.因为，所以当时，即时，即.因为，所以观众席内每一个观众到舞台处的距离都不超过米.答：对于任意，上述设计方案均能符合要求.1.（2017浙江，11）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， 【答案】2.（2014四川高考真题（理）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，）【答案】60【解析】，.3（2014全国高考真题（文）如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得已知山高，则山高_【答案】150【解析】在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中， 故答案为1504.（2015湖北高考真题（理）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 _ m. 【答案】【解析】由题设可知在中, ,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.5.如图，在某海滨城市附近的海面上正形成台风.据气象部门检测，目前台风中心位于城市的南偏东方向的海面处，并以的速度向北偏西方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为，并以的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到）？【答案】4.1小时【解析】根据题意可设小时后台风中心到达点，该城市开始受到台风侵袭，如图中，由余弦定理得，化简得，解得.答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭.6（2015上海高考真题（文）（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米