（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题5.3平面向量的数量积及应用（讲）（含解析）.docx

第03讲 平面向量的数量积及应用 -讲1.理解平面向量数量积的概念及其意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.2.掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系.3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直.4.高考预测：（1）以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主，基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下； （2）同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现5.备考重点：（1）理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；（2）解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.知识点1平面向量的数量积一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角的范围是0180a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量的数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0.当ab时，90，这时ab0.2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、数量积的运算律1交换律：abba.2分配律：(ab)cacbc.3对R，(ab)(a)ba(b)【典例1】（2018天津高考真题（文）在如图的平面图形中，已知,则的值为A BC D0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即ab|a|b|cos(是a与b的夹角)(2)基向量法（利用数量积的几何意义）：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解【变式1】（2019山西省静乐县第一中学高三月考）在中,则在方向上的投影为（ ）A4B3C-4D5【答案】C【解析】对等式两边平方得，整理得，则，设向量与的夹角为，所以，在方向上的投影为，故选：C.知识点2平面向量的数量积的性质及运算一、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea.2abab0.3aa|a|2，.4cos .(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.二、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|.4cos.(为a与b的夹角)【典例2】（2018浙江高考真题）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb+3=0，则|ab|的最小值是（ ）A B C2 D【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【思路点拨】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【变式2】（2019浙江高三期末）若向量满足，且，则的最小值是_.【答案】【解析】设，由可知，所以点C在以AB为直径的圆上；设,，则，而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离，所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径，即，所以，即最小值为2.故答案为2.考点1 平面向量数量积的运算【典例3】（2018全国高考真题（理）已知向量，满足，则（ ）A4 B3 C2 D0【答案】B【解析】因为所以选B.【总结提升】已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos求解；对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【变式3】已知向量，则在方向上的投影为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】因为，所以，则，则在方向上的投影既是在方向上的投影为.考点2 平面向量数量积的坐标运算【典例4】(2019成都模拟)已知菱形ABCD边长为2，B，点P满足，R，若3，则的值为()A. B C. D【答案】A【解析】法一：由题意可得22cos2，()()()()()(1)(1)2(1)2(1)422(1)463，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，D(1，)令P(x,0)，由(3，)(x1，)3x333x3得x1.，.故选A.【方法总结】1.已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则aba1b1a2b2.2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.【变式4】（2019天津高考模拟（理）如图梯形，且，在线段上，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，因此，因此，设所以当时，最小值为选B.考点3 平面向量的夹角问题【典例5】（2019全国高考真题（理）已知为单位向量，且=0，若，则_.【答案】.【解析】因为，所以，所以，所以【总结提升】向量夹角问题的解答方法：(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求出ab及|a|，|b|或得出它们之间的关系；(2)若已知a(x1，y1)与b(x2，y2)，则cosa，b.提醒：a，b0，【变式5】（2018四川高考模拟（理）已知向量，满足，若与的夹角为，则m的值为A2 B C1 D【答案】A【解析】，又，即， 得或（舍去），故的值为2，故选A.考点4 平面向量的模的问题【典例6】（2019浙江高考模拟）已知平面向量不共线，且，记与 的夹角是，则最大时，（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，所以.易得，当时，取得最小值，取得最大值，此时.故选C.【规律方法】平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|.若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解(2)求向量模的最值(范围)的方法代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解（3）利用向量夹角公式、模公式，可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决【变式6】（2018浙江高考模拟）已知向量，满足，则的最小值是A1 B2 C3 D4【答案】A【解析】因为，由绝对值向量三角不等式得：=1，故选A.考点5 平面向量垂直的条件【典例7】（2018年文北京卷）设向量a=（1,0），b=（1,m）,若，则m=_.【答案】【总结提升】平面向量垂直问题的类型及求解方法(1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可(2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数【变式7】（浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟）已知平面向量, 满足，若，则的最小值为_【答案】.【解析】设A(x,y)，B(5，0),C(0,5),