四川省宜宾市叙州区第一中学2019届高三数学4月月考试题理（含解析）.docx

四川省宜宾市叙州区第一中学2019届高三数学4月月考试题 理（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得，选D2.已知复数满足：则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，得，复数的虚部为1选C3.已知实数满足：，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数为增函数,故.而对数函数为增函数,所以,故选B.4.在区域内任意取一点，则的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出图象如下图阴影部分所示,故概率为,所以选B.5.将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应函数的解析式为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】右平移个单位长度得带,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到,故选C.6.已知，点为斜边的中点， ,则等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可分别以直线AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出点E的坐标，从而得出向量的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值【详解】如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则： 因为，所以=， 故选：C【点睛】考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算7.已知，则 展开式中的系数为( )A. 24B. 32C. 44D. 56【答案】A【解析】,中系数为.故选.8.中国明代数学家程大位的著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )A. 24里B. 18里C. 12里D. 6里【答案】B【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为,其首项为,即此人第一天走的路程为,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项, 为公比的等比数列,又,解得,则,故选B.9.正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，求得其外接圆的半径，求得的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案。【详解】如图所示，设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，设其外接圆的半径为，则，即，由，得，所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的表面积为，故选C。【点睛】本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题。10.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由函数图象的对称中心为列方程，由整理出方程并求解，联立方程组表示出，结合及得到的范围，从而求解。【详解】因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：，所以，又即：，所以或由得：，由得：，所以的最小值为故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意及这个要求。11.已知双曲线： 的左右焦点分别为， 为双曲线上一点， 为双曲线C渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且，则双曲线的离心率为（ ）A. 8B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为，设点Q坐标为，则，设，由得，点在双曲线上，解得或，双曲线的离心率为2选B点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围12.已知函数满足，若对任意正数都有，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题得,所以所以当时,单调递增,当时, ,单调递减.所以所以，所以在上单调递减.因为 所以令，u(x)是一个增函数，所以x1.故选D.点睛：本题的难点在于要反复地构造函数研究函数的单调性，属于难题.构造函数，一般是在直接研究不太方便时使用，构造函数书写更简洁，表述更方便，推理更清晰.二、填空题：本大题共4小题.13.已知向量，且，则_【答案】 【解析】由题得,故填.14.执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值之和为_【答案】127【解析】【分析】由程序框图，该程序是利用选择结构与循环结构相嵌套计算输出变量的值.模拟程序运行的过程，分析循环中各个变量的值的变化情况，确定输出的值及何时程序结束.最后再把各个输出值相加求和.【详解】执行程序，第1次循环，y=0为整数，输出x=1；x变为2，不满足大于100；第2次循环，y=1为整数，输出x=2；x变为3，不满足大于100；第3次循环，不为整数， x变为4，不满足大于100；，第100次循环，不为整数， x变为101，满足大于100，程序结束；输出值x依次为1,2,4，64，成等比数列，所以所有输出值x的和.故答案为127.【点睛】本题考查程序框图中循环结构与选择结构的应用，解题时需模拟程序运行，结合相关知识，判断程序的条件是否满足，何时结束.结构有嵌套时复杂性增加，属于中档题.15.若是双曲线同一支上的任意两点，为坐标原点，则的最小值为_【答案】1【解析】【分析】设A，B坐标，将用A，B的坐标表示，结合双曲线方程进行减元，再利用基本不等式可得.【详解】设，不妨设，所以又A，B在双曲线C上，所以，要使较小，只需，=（当且仅当时取等号）所以,故答案为1.【点睛】本题考查利用不等式求函数的最值，考查函数解析式的建立，对多元函数求最值往往利用基本不等式求解，属于中档题.16.在中，内角，的对边分别为，,_【答案】【解析】依据题设可得，由正弦定理余弦定理可得，即，也即与联立可得，故，应填答案。点睛：本题解决的思路是先运用同角三角函数之间的关系将切化弦，再运用正弦定理余弦定理将其化为边的关系，进而借助题设中的等式建立方程组，通过解方程组使得问题巧妙获解。三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，的对边分别为，已知.（I）求；（II）若，求的面积.【答案】(1) ;(2)1.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，而,展开化简即可得到，从而可以求出；（2）先求出的值，然后通过余弦定理即可求出的值，代入面积公式即可得到答案。【详解】（1）因为，所以，故，所以，因为，所以，又，且0 C ，解得，.（2）由（1）得所以，由，设，由余弦定理得：，所以，所以的面积.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积求法，考查了计算能力，属于中档题。18.由中央电视台综合频道（）和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青春电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表：非常满意满意合计30合计已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为，且.（）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的、地区的人数各是多少；（）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；（）若以抽样调查的频率为概率，从地区随机抽取3人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望.附：参考公式：【答案】(1)3；4.(2)列联表见解析；没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.(3)分布列见解析；.【解析】分析：（1）先根据概率计算x的值，得出y+z=35，再计算y与z的值，根据比例得出应抽取“满意”的A、B地区的人数；（2）根据独立性检验公式计算观测值k2，从而得出结论；（3）根据二项分布的概率公式计算分布列和数学期望详解：（）由题意，得，所以，所以，因为，所以，地抽取，地抽取.（）非常满意满意合计301545352055合计6535100的观察值 所以没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系.（）从地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为随机抽取3人，的可能取值为0,1，2，3，的分布列0123的数学期望：点睛：本题考查了抽样调查，独立性检验，二项分布，题目比较长做题时要有耐心审题，认真分析条件，细心求解，属于中档题19.如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形， ，顶点在底面上的射影恰为点(1)求证：平面平面；(2)若直线与底面成角，求二面角的余弦值【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）判断直线BC与直线AC及垂直可证.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两法向量的夹角与二面角的大小关系可得.【详解】解：（1）由已知可得 ，又且（2），如图所示建立空间直角坐标系则，取平面的法向量设平面的法向量则由得二面角的余弦值为.【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，在一个平面内找到一条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直是关键.考查利用空间向量求角，二面角的大小关键要求出两个平面的法向量，能够利用图形判断二面角是锐二面角还是钝二面角.考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力.20.已知椭圆，动圆：（圆心为椭圆上异于左右顶点的任意一点），过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于，两点，且切线长最小值时,.（）求椭圆的方程；（）判断的面积是否为定值，若是，则求出该值；不是，请说明理由。【答案】() ()见解析【解析】【分析】（）由，所以当OP最小时切线长OT最小. 又切线长取最小值时,.，所以，此时，再建立OP关于的函数，结合二次函数的最值情况可得.（）先计算切线OM（或ON）斜率不存在时的面积，再计算OM、ON斜率都存在时设MN方程，直线方程与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理求MN，求O到直线MN的距离，把的面积用k,m表示，再结合OM,ON与圆相切找出k,m的关系，化简可得.【详解】（） ,又 在椭圆上， 得,椭圆C的方程为：（）解：（1）当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得，代入椭圆方程得：说明圆P同时也与x轴相切，此时M、N分别为长、短轴一个端点，则的面积为（2）当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：由得：整理得：由韦达定理得： 设，由于点P不与点A、B重合时，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为：将与椭圆方程联立可得：代入有：整理得：又而原点O到直线MN的距离为所以的面积为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系，一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论、推理能力与字母运算能力，属于难题21.已知函数（为自然对数的底数）.（1）若，求函数的单调区间；（2）若，且方程在内有解，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用导数求解；(2)借助题设条件运用导数的知识构造函数求解.试题解析：（1）当,所以,时,的单调递减区间为；时,的单调递增区间为,递减区间为；时,的单调递增区间为,递减区间为.（2）由得.由得,设,则在内有零点.设为在内的一个零点,则由、知在区间和上不可能单调递增,也不可能单调递减,设,则在区间和上均存在零点,即在上至少有两个零点.当时,在区间上递增,不可能有两个及以上零点；当时,在区间上递减,不可能有两个及以上零点；当时,得所以在区间上递减,在上递增,在区间上存在最小值,若有两个零点,则有：.,设,则,令,得,当时,递增, 当时,递减,恒成立.由,得.当时,设的两个零点为,则在递增,在递减,在递增,所以,则在内有零点.综上,实数的取值范围是.考点：导数在研究函数的单调性和极值最值等方面的综合运用【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求函数的单调区间问题,由于,因此解答时先求导后对参数进行讨论,判定导函数值的符号,确定函数的单调性,进而求出的单调区间；第二问运用,将两个参数变为一个,然后构造函数,进而将问题进行等价转化,最后借助题设条件求出参数的取值范围是.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为，曲线(为参数).其中.（）试写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；（）若点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值.【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；（2）.【解析】试题分析: （1）对极坐标方程化简,根据写出直线的直角坐标方程;对曲线移项平方消去参数可得曲线的普通方程;(2) 由（1）可知，曲线是以为圆心，为半径的圆, 圆心到直线的距离加上半径为点到直线距离的最大值.试题解析:（1），即，又.直线的直角坐标方程为.曲线（为参数），消去参数可得