2020版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值分层演练理（含解析）新人教A版.docx

第3讲 导数与函数的极值、最值1函数yxex的最小值是()A1BeCD不存在解析：选C.因为yxex，所以yexxex(1x)ex，当x(，1)时，y0，当x(1，)时，y0，所以当x1时，ymin(1)e1.2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A12 cm3 B72 cm3C144 cm3D160 cm3解析：选C.设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x(0，5)，y(102x)(162x)x4x352x2160x，所以y12x2104x160.令y0，得x2或(舍去)，所以ymax6122144(cm3)3已知函数yxln(1x2)，则函数y的极值情况是()A有极小值B有极大值C既有极大值又有极小值D无极值解析：选D.由题意得xR，y1(1x2)10，所以函数yxln(1x2)无极值4函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、一个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四个极大值点、无极小值点解析：选C.设f(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1、x2、x3、x4.当x0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0时，令f(x)0得x，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表所示：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值因为函数f(x)在区间(1，2)上仅有一个极值点，所以或解得1a4.选C.6函数f(x)x33x24在x_处取得极小值解析：由f(x)3x26x0，得x0或x2.列表得x(，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以在x2处取得极小值答案：27(2019湖南郴州高三模拟)已知奇函数f(x)则函数h(x)的最大值为_解析：先求出x0时，f(x)1的最小值当x0时，f(x)，所以x(0，1)时，f(x)0，函数单调递减，x(1，)时，f(x)0，函数单调递增，所以x1时，函数取得极小值即最小值，为e1，所以由已知条件得h(x)的最大值为1e.答案：1e8已知函数f(x)ln x(mR)在区间1，e上取得最小值4，则m_解析：f(x)(x0)，当m0时，f(x)0，f(x)在区间1，e上为增函数，f(x)有最小值f(1)m4，得m4，与m0矛盾当m0时，若m1即m1，f(x)在区间1，e上单调递增，f(x)minf(1)m4，得m4，与m1矛盾；若m1，e，即em1，f(x)minf(m)ln(m)14，解得me3，与em1矛盾；若me，即me时，f(x)在区间1，e上单调递减，f(x)minf(e)14，解得m3e，符合题意答案：3e9(2017高考北京卷)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线y f(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.10已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)1已知yf(x)是奇函数，当x(0，2)时，f(x)ln xax(a)，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a()A BCD1解析：选D.因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(0，2)上的最大值为1.当x(0，2)时，f(x)a，令f(x)0，得x，又a，所以02.当x时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当x时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递减，所以f(x)maxf()lna1，解得a1.故选D.2若函数f(x)x3x2在区间(a，a5)上存在最小值，则实数a的取值范围是()A5，0) B(5，0)C3，0)D(3，0)解析：选C.由题意，f(x)x22xx(x2)，故f(x)在(，2)，(0，)上是增函数，在(2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令x3x2得，x0或x3，则结合图象可知，解得a3，0)3已知函数f(x)k，若x2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为_解析：f(x)k(x0)设g(x)，则g(x)，则g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，)内单调递增所以g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke.答案：(，e4设m，n是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若2(m，n)，则实数a的取值范围是_解析：由已知f(x)的解析式知f(x)3x24axa2，因为函数f(x)x32ax2a2x有两个极值点m，n，所以f(x)3x24axa2有两个零点m，n，又因为2(m，n)，所以有f(2)128aa20，解得2a6.答案：(2，6)5(2019南昌市第一次模拟)已知函数f(x)(2x4)exa(x2)2(x0，aR，e是自然对数的底数)(1)若f(x)是(0，)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)当a(0，)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)的最小值的取值范围解：(1)f(x)2ex(2x4)ex2a(x2)(2x2)ex2a(x2)，依题意，当x0时，函数f(x)0恒成立，即a恒成立，记g(x)，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(0)，所以a.(2)因为f(x)2xex2a0，所以yf(x)是(0，)上的增函数，又f(0)4a20，f(1)6a0，所以存在t(0，1)使得f(t)0，又当x(0，t)时，f(x)0，当x(t，)时，f(x)0，所以当xt时，f(x)minf(t)(2t4)eta(t2)2.且有f(t)0a，则f(x)minf(t)(2t4)et(t1)(t2)etet(t2t2)，t(0，1)记h(t)et(t2t2)，则h(t)et(t2t2)et(2t1)et(t2t1)0，所以h(1)h(t)h(0)，即f(x)的最小值的取值范围是(2e，2)6(2019山西三区八校模拟)已知函数f(x)ln xax2bx(其中a，b为常数且a0)在x1处取得极值(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0，e上的最大值为1，求a的值解：(1)因为f(x)ln xax2bx，所以f(x)的定义域为(0，)，f(x)2axb，因为函数f(x)ln xax2bx在x1处取得极值，所以f(1)12ab0，又a1，所以b3，则f(x)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调递增区间为，(1，)，单调递减区间为.(2)由(1)知f(x)，令f(x)0，得x11，x2，因为f(x)在x1处取得极值，所以x2x11，当0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e上单调递减，所以f(x)在区间(0，e上的最大值为f(1)，令f(1)1，解得a2，当a0时，x20，当1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，1，e上单调递增，所以最大值可能在x或xe处取得，而flna(2a1)ln10，所以f(e)ln eae2(2a1)e1，解得a，当1