2019秋高中数学第二章推理与证明章末复习课练习（含解析）新人教A版.docx

章末复习课整合网络构建 警示易错提醒1进行类比推理时，可以从问题的外在结构特征，图形的性质或维数处理一类问题的方法事物的相似性质等入手进行类比要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误2进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想3推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步4注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据5用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式6分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性专题一合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，后面是由特殊到特殊的推理但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能，但推理的结论不一定为真，有待进一步证明 例1(1)(2015陕西卷)观察下列等式：111据此规律，第n个等式可为_(2)设ABC的三边长分别为a，b，c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R_解析：(1)由给出的等式看，左边共有2n项且等式左边分母分别为1，2，3，2n，分子均为1，且奇数项为正，偶数项为负等式的右边共n项，且分母分别为n1，n2，2n.分子均为1，因此猜想1(2)三角形边长四面体各面面积，三角形的面积四面体体积因此R答案：(1)1.(2)R归纳升华1归纳推理中，从特殊发现各项的变化规律，特别是各项的符号变化；从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题2类比推理重在考察观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性变式训练(1)有一个奇数列1，3，5，7，9，现在进行如下分组：第一组含一个数1；第二组含两个数3，5；第三组含三个数7，9，11；第四组含四个数13，15，17，19；.则观察每组内各数之和f(n)(nN*)与组的编号数n的关系式为_(2)在平面几何中，对于RtABC，设ABc，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径为r ，把上述结论类比到空间，写出类似的结论(1)解析：由于113，35823，79112733，131517196443，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)n3.答案：f(n)n3(2)解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体ABCD且ABa，ACb，ADc，则此四面体的外接球的半径为R 专题二演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论 例2已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若f(x)在1，e上是增函数，求a的取值范围(2)若a1，1xe，证明：f(x)x3.解：(1)因为f(x)x，且f(x)在1，e上是增函数，所以f(x)x0在1，e上恒成立，即ax2在1，e上恒成立，所以a1.(2)当a1时，f(x)x2ln x，x1 ，e令F(x)f(x)x3x2ln xx3，又F(x)x2x20，所以F(x)在1，e上是减函数，所以F(x)F(1)0，所以x1，e时，f(x)x3.归纳升华数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果变式训练若定义在区间D上函数f(x)对于D上的几个值x1，x2，xn总满足f(x1)f(x2)f(xn)f称函数f(x)为D上的凸函数，现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：因为f(x1)f(x2)f(xn)f，因为f(x)sin x在(0，)上是凸函数，所以f(A)f(B)f(C)3f，即sin Asin Bsin C3sin ，所以sin Asin Bsin C的最大值是.答案：专题三综合法与分析法证明数学命题综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实例3(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积(1)证明：因为AM2MD，所以AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，如图所示，由N是PC的中点知，TNBC.TNBC2.因为ADBC，所以TNAM.又BC4，所以AMBC.因为TNAM.所以四边形AMNT为平行四边形所以MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解：因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA2.取BC的中点E，连接AE.因为ABAC3，所以AEBC，AE.由AMBC得点M到BC的距离为.所以SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM2.归纳升华综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法即可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程变式训练在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明：由A，B，C成等差数列，有2BAC.因为A，B，C为ABC的内角，所以ABC.由，得B.由a，b，c成等比数列，有b2ac.由余弦定理及，可得b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得a2c2acac，即(ac)20，因此ac，从而有AC.由，得ABC，所以ABC为等边三角形专题四反证法的应用(1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，它反映了“正难则反”的思想(2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提原结论的否定，更易于开拓思路，因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明所以反证法在数学证明中有着广泛的应用 例4设等比数列an的公比为q.(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意kN*，有(ak11)2(ak1)(ak21)a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列归纳升华1反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面进行推理，就不是反证法2推导出的矛盾多种多样，有的与已知相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与已知事实相矛盾等等，推出的矛盾必须是明显的变式训练已知直线m与直线a和b分别交于A，B，且ab.求证：过a，b，m有且只有一个平面证明：如图所示，因为ab，所以过a，b有一个平面，又maA，mbB，所以Aa，Bb，所以A，B.又Am，Bm，所以m.即过a，b，m有一个平面.假设过a，b，m还有一个平面异于平面，则a，b，a，b，这与ab，过a，b有且只有一个平面相矛盾因此，过a，b，m有且只有一个平面.专题五转化与化归思想的应用转化与化归的思想就是在处理问题时，通过某种转化过程，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终使问题化繁为简、化难为易 例5设f(x)2x21，ab1，且a，b同号，求证：对任意实数p，q恒有af(p)bf(q)f(apbq)成立证明：f(x)2x21，ab1af(p)bf(q)a(2p21)b(2q21)，f(apbq)2(apbq)21.又af(p)bf(q)f(apbq)a(2p21)b(2q21)2(apbq)212ap22bq22a2p24abpq2q2b22ap2(1a)2bq2(1b)4abpq2abp22abq24abpq2ab(pq)2.因为a，b同号，所以2ab(pq)20.所以原不等式成立归纳升华本章内容中转化与化归思想主要应用于以下几个方面：归纳推理中特殊到一般的转化；演绎推理中一般到特殊的转化；分析法中结论与条件的转