2019秋高中数学第二章平面向量单元评估验收（二）（含解析）新人教A版必修4.docx

单元评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若向量a(2，0)，b(1，1)，则下列结论正确的是()Aab1 B|a|b|C(ab)b Dab解析：ab2，所以A不正确；|a|2，|b|，则|a|b|，所以B不正确；ab(1，1)，(ab)b(1，1)(1，1)0，所以(ab)b，所以C正确；由于210120，所以a，b不平行，所以D不正确答案：C2已知向量a，b不共线，若1ab，a2b，且A，B，C三点共线，则关于实数1，2一定成立的关系式为()A121 B121C121 D121解析：因为A，B，C三点共线，所以k(k0)，所以1abk(a2b)kak2b.又a，b不共线，所以所以121.答案：C3()()化简后等于()A. B. C. D.解析：原式.答案：C4设非零向量a，b满足|ab|ab|，则()Aab B|a|b| Cab D|a|b|解析：由|ab|ab|，得(ab)2(ab)2，得ab0，又a，b均为非零向量，故ab.答案：A5已知(2，2)，(4，1)，(x，0)，则当最小时，x的值是()A3 B3 C1 D1解析：(x2，2)，(x4，1)，(x2)(x4)2x26x10(x3)21.当x3时，取到最小值答案：B6设点A(1，2)，B(2，3)，C(3，1)，且23，则点D的坐标为()A(2，16) B(2，16)C(4，16) D(2，0)解析：设D(x，y)，由题意可知(x1，y2)，(3，1)，(1，4)，所以232(3，1)3(1，4)(3，14)所以所以答案：A7设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B.C. D.解析：().答案：A8在菱形ABCD中，若AC2，则等于()A2 B2C|cos A D与菱形的边长有关解析：如图，设对角线AC与BD交于点O，所以.()202.答案：B9设D为边长是2的等边ABC所在平面内一点，3，则的值是()A. B C. D4解析：由3可得，点D在ABC外，在直线BC上且BD4CD，则|，()|2|cos 42.答案：A10在ABC中，AB4，ABC30，D是边BC上的一点，且，则的值等于()A4 B0 C4 D8解析：因为，所以()0，所以0，即ADBC.所以ADB90，在RtADB中，B30，所以ADAB2，BAD60，所以|cos 60244.答案：C11定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：根据题意可知若a，b共线，可得mqnp，所以abmqnp0，所以A正确；因为abmqnp，而banpmq，故二者不相等，所以B错误；对于任意的R，(a)b(ab)mqnp，所以C正确；(ab)2(ab)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以D正确答案：B12已知A，B，C是锐角ABC的三个内角，向量p(sin A，1)，q(1，cos B)，则p与q的夹角是()A锐角 B钝角 C直角 D不确定解析：因为ABC为锐角三角形，所以AB，所以AB，且A，B，所以sin Asincos B，所以pqsin Acos B0，故p，q的夹角为锐角答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，则m_解析：由题意可得，233m0，所以m2.答案：214已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析：不妨令b(2，0)，a(cos ，sin )，则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin )，令y|ab|ab|，则y2102.因为2516cos29，25，所以y216，20又y0，所以y4，2 答案：4215若a(2，3)，b(4，7)，ac0，则c在b方向上的投影为_解析：ac(2，3)c0，所以c(2，3)，设c与b夹角为，则c在b方向上的投影为|c|cos |c|.答案：16若两个向量a与b的夹角为，则称向量“ab”为“向量积”，其长度|ab|a|b|sin ，若已知|a|1，|b|5，ab4，则|ab|_解析：由|a|1，|b|5，ab4得cos ，又0，所以sin .由此可得|ab|153.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图，ABCD是一个梯形，且|2|，M，N分别是DC，AB的中点，已知e1，e2，试用e1，e2表示下列向量，.解：因为，|2|，所以2，.(1)e2e1.(2)e1e2e1e1e2.18(本小题满分12分)不共线向量a，b的夹角为小于120的角，且|a|1，|b|2，已知向量ca2b，求|c|的取值范围解：|c|2|a2b|2|a|24ab4|b|2178cos (其中为a与b的夹角)因为0120.所以cos 1，所以|c|5，所以|c|的取值范围为(，5)19(本小题满分12分)如图所示，在ABC中，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.(1)用和分别表示和；(2)如果，求实数和的值；(3)确定点P在边BC上的位置解：(1)由，可得.因为，所以.(2)将，代入，则有，即(1)(1)，所以解得(3)设m，n.由(2)知，所以nnmmm，因为与不共线，所以解得所以，即2，所以点P在BC的三等分点且靠近点C处20(本小题满分12分)在四边形ABCD中，(6，1)，(x，y)，(2，3)，.(1)求x与y的关系式；(2)若，求x、y的值以及四边形ABCD的面积解：如图所示(1)因为(x4，y2)，所以(x4，2y)又因为，(x，y)，所以x(2y)(x4)y0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)因为，所以0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0，又x2y0，所以y22y30，所以y3或y1.当y3时，x6，于是(6，3)，(0，4)，(8，0)所以|4，|8，所以S四边形ABCD|16.当y1时，x2，于是有(2，1)，(8，0)，(0，4)所以|8，|4，S四边形ABCD16.综上可知或S四边形ABCD16.21(本小题满分12分)已知a(2xy1，xy2)，b(2，2)(1)当x，y为何值时，a与b共线？(2)是否存在实数x，y使得ab，且|a|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，请说明理由解：(1)因为a与b共线，所以存在实数，使得ab，所以解得所以当x，y为任意实数时，a与b共线(2)由abab0(2xy1)2(xy2)(2)0x2y30.由|a|b|(2xy1)2(xy2)28.联立解得或所以xy1或xy.所以存在实数x，y，使得ab，且|a|b|，此时xy1或xy.22(本小题满分12分)已知三角形ABC是等腰直角三角形，ABC90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于点F，连接DF.求证：ADBFDC(用向量方法证明)证明：如图所示，建立直角坐标系，设A(2，0)，C(0，2)，则D(0，