2020版高考数学第四章三角函数、解三角形10第8讲解三角形应用举例新题培优练文新人教A版.docx

第8讲 解三角形应用举例 基础题组练1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10B北偏西10C南偏东80 D南偏西80解析：选D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.2一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60 km解析：选B.如图所示，依题意有AB15460，DAC60，CBM15，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30，故选B.3如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h解析：选B.设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.4某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 km B10 kmC5 km D5 km解析：选C.作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得，即BC5，即这时船与灯塔的距离是5 km.5海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是_ n mile.解析：如图，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，由正弦定理，得，所以BC5(n mile)答案：56如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则这条河的宽度为_解析：如图，在ABC中，过C作CDAB于D点，则CD为所求河的宽度在ABC中，因为CAB30，CBA75，所以ACB75，所以ACAB120 m.在RtACD中，CDACsinCAD120sin 3060(m)，因此这条河的宽度为60 m.答案：60 m7如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，求山高MN.解：根据图示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)8某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间解：如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理，得，所以sin CAB，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮综合题组练1如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B与D互补，则AC的长为()A7 km B8 kmC9 km D6 km解析：选A.在ABC及ACD中，由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.2如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为()A50 米 B50 米C50米 D50米解析：选B.设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50 .3.(应用型)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_解析：依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案：454(2019长春质量检测(二)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积Sb2sin A，角A的平分线AD交BC于点D，AD，a，则b_解析：由面积公式Sbcsin Ab2sin A，可得c2b，即2.由a，并结合角平分线定理可得，BD，CD，在ABC中，由余弦定理得cos B，在ABD中，cos B，即，化简得b21，解得b1.答案：15(应用型)某港湾的平面示意图如图所示，O，A，B分别是海岸线l1，l2上的三个集镇，A位于O的正南方向6 km处，B位于O的北偏东60方向10 km处(1)求集镇A，B间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O的交通压力，拟在海岸线l1，l2上分别修建码头M，N，开辟水上航线勘测时发现：以O为圆心，3 km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行请确定码头M，N的位置，使得M，N之间的直线航线最短解：(1)在ABO中，OA6，OB10，AOB120，根据余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcos 120621022610196，所以AB14.故集镇A，B间的距离为14 km.(2)依题意得，直线MN必与圆O相切设切点为C，连接OC(图略)，则OCMN.设OMx，ONy，MNc，在OMN中，由MNOCOMONsin 120，得3cxysin 120，即xy2c，由余弦定理，得c2x2y22xycos 120x2y2xy3xy，所以c26c，解得c6，当且仅当xy6时，c取得最小值6.所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 km.6在ABC中，已知B，AC4，D为BC边上一点(1)若AD2，SDAC2，求DC的长；(2)若ABAD，试求ADC的周长的最大值解：(1)因为SDAC2，所以ADACsin DAC2，所以sinDAC.因为DACBAC，所以DAC.在ADC中，由余弦定理，得DC2AD2AC22