和与积的关系.doc

积的最大与最小基础知识篇导入：周长为20厘米的长方形与正方形（边长为整数）谁的面积大？1、提出问题后学生有两种答案（正方形或长方形），举手表决，看赞成哪种答案的学生较多。2、教师提问：周长为20厘米的正方形面积是多少？（55=25）3、教师提问：周长为20厘米的长方形面积是多少，能不能确定长方形的面积具体是多少？（不能）4、我们能确定周长是20的长方形的长+宽的和是多少？（长+宽=10）5、学生列举长+宽=10的情况有哪几种。长 宽9 1=982=1673=2164=2455=25得出结论：周长相等的长方形、正方形，正方形的面积大。学生自主探索当长+宽=9 时的结果。 长 宽8 1=872=1463=1854=20得出结论：1、当两数的和一定时，两数的差越小，乘积就越大，当两数相等时积最大。2、当两数的和一定时，两数的差越大，积就越小。例1 和是10的两个自然数，这两个数的乘积最大是多少？和是9的两个自然数，这两个数的乘积最大是多少，最小是多少？分析与解：要使积最大，则两个数之间的差要最小，5+5=10时，两数相等，两数的乘积最大；5+4=9时，两数相差最小，两数的乘积最大。要使两数的乘积最小，则两个数之间的差要最大， 1+8=9时，两数之间的差最大，两数之间的乘积最小。练习：1、用30厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整数），要使面积最大，长和宽各是多少？面积最大是多少？例2用长36米的竹篱笆围成长方形一个菜园，围成菜园的最大面积是多少？分析与解：已知这个菜园的周长是36米，即四边之和是定数。长方形的面积等于长乘以宽。因为长+宽=362=18（米）由结论知，围成长方形的最大的面积是99=81米2）练习：龙大爷想在笔直的墙下用20米的塑料网围成一个长方形鸡舍，鸡舍的面积最大是多少？例3比较下面两个乘积的大小：a=5712846387596512，b=5712846087596515。分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得ab。练习：比较下面两个乘积的大小：a=3712847567546514，b=3712847167546518。能力提高篇例4 三个不同质数的和是100，这三个数的乘积最大是多少？分析与解：100是个偶数，若三个质数都是奇数，则三个奇数相加的和不可能是偶数，所以其中必然有一个数是2，另两个数的和就是98，要使乘积最大，这两个数之间的差要最小，这两个数分别是37、61，所以乘积最大是23761=4736。练习：三个不同质数的和是50，要使者三个数的乘积最小，这三个分别是多少？例5要砌一个面积为72米2的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？分析与解：将72分解成两个自然数的乘积，72=172，1+72=73；72=236，2+36=38；72=324，3+24=27；72=418，4+18=22；72=612，6+12=18；72=89， 8+9=17；这两个自然数的差最小的是9-8=1。猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）2=34（米）。得出结论：3、两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小，两个自然数的差越大，这两个数的和也越大。练习：.现计划用围墙围起一块面积为5544平方米的长方形地面，为将剩下的材料尽量用完，要求围墙最长，那么这块长方形地的围墙有多少米长？例6 已知三个非零自然数的和是15，这三个数的乘积最大是多少？分析与解：分别设三个数为a、b、c，积=abC，要使积最大，这三个数之间的差要最小，当a=b=c时，他们之间的差最小（相差“0”），所以a=b=c=5时乘积最大。练习：四个非零自然数的和是24，这四个数的乘积最大是多少？小结：几个数的和一定，当几个数相等时，积最大。例7 若将12拆分成几个自然数的和，这几个数的乘积最大是多少？分析与解：将12拆分成几个相等的数，可以拆分成六个2,四个3，三个4，而四个3相乘的积最大，所以积最大为3333=81。练习：将21拆分成几个自然数的和，这几个数的乘积最大是多少？例8 把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？分析与解：假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1a1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+323，8=3+535。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=22，所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，222=8，3+3=6，33=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为333332=486。结论4：把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2最多不超过两个。练习：把49分拆成几个自然数的和，这几个自然数的连乘积最大是多少？课后练习1、把15分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使的乘积尽可能大，这个乘积是几？2、 把19分拆成几个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。3、 把14分成几个自然数的和，怎样分能使这些数的乘积最大。4、.将11拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？5、要砌一个面积为72平方米的长方形猪圈，长方形的边长是以米为单位的自然数，这个猪圈