基本不等式导学案.doc

基本不等式导学案3.4 基本不等式 【学习目标】：（1） 学会推导并掌握基本不等式.（2） 会用基本不等式解决实际问题和求最值问题.【学习重难点】： 1. 重点：基本不等式的推导和应用. 2. 难点：基本不等式的应用.一、预学案（阅读教材，完成知识体系） 问题探究探究图形中的不等关系.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为_.这样，4个直角三角形的面积的和是_，正方形的面积为_.由于4个直角三角形的面积_正方形的面积，我们就得到了一个不等式：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有_结论：一般的，如果，我们有当且仅当时等号成立. 二、探究案（知识迁移，深度理解） 1.如果，用代替，上式可变为 基本不等式：一般地，对于 实数，我们有 当且仅当 时等号成立. 2.对基本不等式的进一步理解：我们把 叫做正数的算术平均数，把 叫做正数的几何平均数. 所以基本不等式又可以用语言叙述为：两个正数的 不小于它们的 .3.基本不等式的变形式 小试身手1、 不等式中等号成立的条件是（ ） A. B. C. D.2、 已知，,且，则（ ） A. B. C. D.三、典型例题 （知识运用，深度理解） 题型一：基本不等式在实际问题中的应用例1、（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为，宽为，则 ，篱笆的总长度表示为 ， 由 可得 ，当等号成立时，所用篱笆最短，此时 （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为，宽为，则 ，篱笆的面积表示为 ，由可得 ，当等号成立时，面积最大，此时小结：两个实数 若它们的积为定值P，则它们的和有最小值 ，当且仅当等号成立.若它们的和为定值S，则它们的积有最大值 ，当且仅当等号成立.简记为：积定和最大，和定积最小.利用基本不等式求最值，需要满足的条件是：一正、二定、三相等.题型二：基本不等式在求最值中的应用例2、 已知，则函数的最小值为_ 变式1：已知，求函数最大值. 变式2：已知，求函数的最小值.变式3：已知，求函数的最小值. 例3、若，求函数的最大值. 课堂小结1、熟记两个不等式2、利用基本不等式求最值时，须满足：一正、二定、三相等. 课后思考题：证明下列不等式链 课后反思：巩固练习1、设x,y满足，且x,y都是正数，则的最大值是（ ） A40 B10 C4 D22、在下列函数中，最小值为2的是（ ）A. B. C. D. 3、 若，则函数（ ）A有最大值-6 B.有最小值6 C有最大值-2 D.有最小值24、已知，则的最小值为_5、已知，求函数的最大值.6、已知整数x,y满足，求x+2y的最小值.7、某老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少? 趣味阅读： 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股定理加以证明.最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABCD是由4个相等的直角三角形再加上中间