2010美赛数学建模.doc

连环作案嫌疑人“地理轮廓”估计的统计模型 摘要：在不同地点发生的系列谋杀案对社会的危害极大，如何确定其犯罪嫌疑人的住所是破案的关键。对犯罪嫌疑人住所的估计，给出了3种方法，即圆周假设、质心法和最小距离法，通过对比验证表明，最小距离法较优；一般犯罪分子都会选择”不近不远”的作案地点，基本上服从二维正态分布。同时考虑犯罪分子的心理特征，作案方式等进一步对模型进行优化，得出更合理的模型，提高对连环作案的案件的效率。关键字：连环作案、圆周假设、质心法、最小距离、概率分布一 问题叙述：1.1问题重述1981年Peter Sutcliffe(萨克利夫)被判刑因为他参与了十三起谋杀和对其他人的恶毒攻击。缩小搜索Sutcliffe的方法之一是发现一个攻击位置的“质心”.最终犯罪嫌疑人恰好生活在该方法预测的同一个小镇。从那时起，已经发展出一系列更加复杂的技术用来预测基于犯罪地点的具有地理效应（地理轮廓）的系列犯罪行为。你的团队被一个当地警察局要求发展出一种方法用来帮助他们的系列犯罪调查。（1）你们的方法应该至少需要利用两种不同的情景以生成地理效应（地理轮廓），进而根据不同情况下的分析结果对执法人员提供有效的预测。（2）基于以往犯罪的时间和位置，预测信息应该提供一些估计或指导下次可能的犯罪地点。如果在预测中用到了其它的信息，必须提供特别的细节说明告诉我们这些信息是如何被整合的。（3）你们的方法中也应该包括在给定条件下（包括适当警告信息）下预测的可靠性估计。1.2“地理画像”地理轮廓是是一项刑事调查方法, 分析确定最有可能的罪犯居住面积确定的罪行的连接一连串的位置。通过采用定性和定量的方法，它有助于理解空间的违法行为和针对较小的区域的社会调查。通常用于在连环谋杀或强奸 （但还纵火，轰炸，抢劫及其他犯罪） 的情况下，技术可帮助警方侦探优先考虑大规模的重大犯罪调查，往往需要成百上千个嫌疑人和提示中的信息。基本原则是犯罪相关的地点提供关于受害人的资料和罪犯的与地理环境的相互作用。它甚至可以显示罪犯对周边地理情况的熟悉程度和罪犯对安全距离的界定，可以反映了他的非刑事空间生活方式方面即其居住地的规划。二模型假设：由于犯罪活动的巨大变动以及几乎所有连环杀人案的凶手通常患有心理疾病，所以采用相对简单的计算机模型去预测连环杀人案一般都面临几个障碍。以下是应用我们模型的对犯罪行为所采取的假设： 犯罪是单独作案的。我们假设模型中的案件都是由单独个体作案的，我们的模型不对有组织的犯罪，团伙犯罪和暴动进行分析。 案件的性质为连环杀人案件; 作案地点在被罪犯被发现地点的附近。在凶杀案中这意味着尸体的发现地点就是作案地点。这不是不合理的假设，因为多数连环案件的凶手在作案后会把受害人尸体丢到作案地点附近。在连环案件中，比如连环强奸案，爆窃或纵火案，作案地点与警方发现地点是无区别的。 假设罪犯作案动机相对稳定。 犯罪发生在一个狭小的区域，比如一个市或县。这里忽略案件发生在州或国家之间的情况。在那些案件中，我们的模型必须被应用于每一个犯罪群体。假设案件的作案地点服从正态分布。二 符号说明：O 以为横轴，为纵轴的直角坐标系的原点 第i个作案地点的纬度 第i个作案地点的经度M 犯罪分子的住所位置纬度N 犯罪分子的住所位置经度 犯罪分子的住所位置和作案地点的距离 表示第i个犯罪地点在直角坐标系O中的位置点Y 表示犯罪分子居住地在直角坐标系0中的位置点四.犯罪分子的居住地范围的预测4.1圆周假设“犯罪圆周假设”基本原理：假设一个犯罪嫌疑人连续作案，其作案地点分布广泛，若找出两个最远的犯罪位置，将二者连接起来，并以此连线为直径，画出一个包括所有犯罪地点的圆周，多数情况下，犯罪嫌疑人就住在圆周里，而且可能就住在靠近圆周中心的地区，这就是西方犯罪情报分析理论著名的“圆周假设”。将犯罪嫌疑人两次最远处作案地点之间连线，并以连线为直径,画一个圆周，就可以把所选的作案地点包括在内。犯罪嫌疑人住所大致处于圆周的中的地带，这与“圆周假设”理论基本吻合。若以犯罪分子的居住地为起点，根据大致的方位，将发案地点连接起来，就会发现，在早期，犯罪分子主要围绕自己的居住地作案。到了后来，有了较大的改变，基本上是从居住地出发，放射状向四周散开，由此可以推测出犯罪分子是沿着公路或铁路远行，选择到离家较远的地方作案，然后再按原路返回居住地。首先，第一次作案在Leeds（利兹），这是值得关注的重点。其次，以第一次发案点为圆点，向其他发案地区连线就会发现，案件大多发生在两条红线构成的扇区内，其中多数案件都沿公路展开。再次，曼彻斯特最远处作案点。最后，将两个最远的作案地点连线，并以最长线的中点为圆心画圆，则可将所有的作案地点全部包括在内，符合犯罪的“圆周假说”理论，犯罪分子有可能居住在圆周内。结论：两条红线的交叉点，又是第一次发案地点，据此可以预测，以Bradford(布拉德福德)、Leeds（利兹）为中心的地区，应是犯罪嫌疑人的原始居住地，这符合犯罪人员首次作案的心理，即犯罪人员早期作案大多选择其居住地附近。这符合事实，查资料知道彼得萨克利夫（Peter Sutcliffe）是居住在Bradford(布拉德福德)的。且圆心的纬度和经度为（53.77255，1.6869）与实际居住地距离相差6724.8米其中计算不同经纬度之间的公式对上面的公式解释如下：1.Lat1 Lung1 表示A点经纬度，Lat2 Lung2 表示B点经纬度；2.a=Lat1 Lat2 为两点纬度之差 b=Lung1 -Lung2 为两点经度之差；3.6378.137为地球半径，单位为千米；计算出来的结果单位为千米。4.2.质心求法在一个陌生的地方作案比在一个自己熟悉的地方作案危险; 在自己藏匿的地方周围作案比在相对较远的地方作案更容易暴露自己的行踪以及在在一个地方连续作案比较危险等因素，可以初步利用质心法求得罪犯居住地大致的犯罪在哪个区域内。()=纬度N经度W犯罪顺序53.81781.5428153.80831.5311253.83341.5002353.81091.7633453.81791.5325553.43242.2506653.80011.7721753.65441.78853.4599 2.2225953.71171.87361053.791.7641153.80851.67151253.82281.578113纬度的均值，经度的均值,知道Peter Sutcliffe的居住地在布拉德福德伊顿区 6 花园巷且查资料得出其纬经度为（53.81307，1.7893）计算出质点与其居住地的距离相差4902米。4.3.最近距离法由犯罪心理学，可以对犯罪分子在选择连环作案地点时的心理特征进行分析，他们通常考虑考虑三点：一是对作案地点要熟悉；二是要避开熟人；三是不能离居住地太远。所以犯罪分子选择的作案地点一般会是离居住地不近不远。因此可以利用最小距离法。又因犯罪分子以往作案大致在leeds，manchester ，halifax， bradford， huddersfield这五个市区内，可分别计算这五个市区到13个犯罪地点的最小距离，从而确定犯罪分子的最小距离，即可初步确定犯罪分子在哪个市区。地区leedsmanchesterhalifaxbradfordhuddersfield纬度经度53.801281.54856753.479252.24792653.727021.8575453.795981.75939853.645791.785635与第1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13犯罪地点的距离1874.4411386.5464775.78614131.252126.65561818.6414670.6722313.3458404.5623559.9614195.648106.8863077.93459768.559721.3463034.1648757.0260304.065209.19247474.3136501.852729.90835729.7647000.2552729.2858340.352300023265.326272.6911188.8123614.4841764.439871.4169547.35338215.592003.3349313.44415208.0521213.6214418.1215044.6717505.951677.16215086.5751776.22950.889315791.3248229.2512000.73730.35335933.68312263.3524902.9724619.6328045.4318405.8325350.6838795.2117170.121026.01935474.49335.95616087.7419575.6923937.12距离总和230442.3577300254478.5211408.3282726.8由以上数据可以看出，犯罪距离之和最小值是211408.3米，初步认定在bradford市区，知道Peter Sutcliffe的居住地在布拉德福德伊顿区 6 花园巷且查资料得出其纬经度为（53.81307，1.7893）计算出质点与其居住地的距离相差2730.7米。4.4模型的改进由于以上三种方法都有各自的优缺点，且忽略了一些因素如时间间隔因素，距离波动因素等，所以我们可以对其模型进行优化。4.4.1时间间隔因素得到z2基于理论：两次作案时间间隔越小，两次作案点越有价值。所谓时间间隔：每个作案点时间间隔为它与前一次的间隔处理权重时间时间间隔30 October 1975020 January 1976825 February 197738123 April 19777826 June 1977641 October 19779221 January 197811231 January 19781016 May 19781044 April 19793222 September 197915020 August 198035217 November 198088由时间间隔可知案件7，8时间间隔最小，两次作案点最有价值。取两者的中心为z2。4.4.2距离波动因素得到z3计算初始z 初始a每个点的距离波动定义为|d-a|权重处理办法与时间的相同加权平均得到新的z根据最小距离法得到z3的纬度和经度分别是53.79598和1.7593984.4.3最大概率圆的算法认为初始点包含某些重要信息，并且可能在加权之后有信息丢失所以不舍弃z1用z1，z2，z3确定最小覆盖圆缺点：改进：对犯罪地点的纬度经度进行分析，找出质心点，时间间隔因素，距离波动因素的点再次寻找最小覆盖园，使得预测犯罪分子居住地的范围更加精确。其中z1的纬度和经度分别是53.7747，1.5248，z2纬度和经度分别是53.64598和1.7765， z3的纬度和经度分别是53.79598和1.759398五.下一个作案地点的预测5.1罪犯作案地点的区域划分;如图所示，为了便于分析罪犯犯案地点的规律，将West Yorkshire 的地图按照城市边界的划分为5 个区域，分别以A、B、C、D、E 标注，区域A 为Bradford，区域B 为Leeds，区域C 为Halifax，区域D 为Huddersfield，区域E 为Manchester 根据罪犯的背景资料以及犯罪记录将犯罪的地点标注在上述的地图上，命案的地点以1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13标注5.2各个区域作案的概率分布状况由犯罪学，在一个陌生的地方作案比在一个自己熟悉的地方作案危险; 在自己藏匿的地方周围作案比在相对较远的地方作案更容易暴露自己的行踪; 在一个地方连续作案比较危险等。可以假定作案地点与居住地之间的距离服从正态分布。其密度函数为,由于第一作案地点尤为重要，因为首次作案考虑其对作案的熟悉程度和对作案距离的选择问题，可以认为第一作案地点大致为以后作案的期望值。查资料可以得到每个区域经度纬度的取值范围，然后对密度函数积分，计算每个区域的犯罪率，便可得到哪个区域是案件的高发区。经计算得，布拉德福德是案件的高发区。在于其案件的特性进行范围收索。如Peter Sutcliffe选择作案的对象是妓女，那可以在利兹的周围风气不好的地域加大收索。5.3影响因素5.3.1安全距离，熟悉程度( 1)系列犯罪中, 如果作案地点距离上次作案地点太近, 警察在上次作案地点周围会有所布控, 易被发现。如果离居住点太近, 则易暴露其居住地。因此, 整合相关的数据得到犯罪嫌疑人在选择第n次作案地点时能够保证自己不被发现的平方安全距离(简n称安全距离) 为: 式中: 为犯罪嫌疑人居住地坐标; 为前后两次作案平方距离与居住地平方距离之和。再定义相对安全距离为: 相对安全距离为此次安全距离与前一次作案安全距离的比值。( 2)犯罪嫌疑人选择n 次作案地点时, 必然会考虑到对作案区域周围地形和逃跑路线的熟悉程度。开始时, 犯罪嫌疑人可能仅对居住地附近比较熟悉, 随着作案次数和作案区域的增加, 犯罪嫌疑人会对更多的地方变得熟悉。犯罪嫌疑人对某一块区域的熟悉程度与这块区域距离以往作案地点的距离有关, 还与以前已有的熟悉程度有关。即: 式中, 为第n 次作案熟悉程度。一般来说, 距离作案地点距离越远, 熟悉程度越低。根据心理学资料, 取一次作案的影响半径为4 km。熟悉程度在每次作案后都会进行一次叠加, 经过两次临近地点犯案后, 熟悉程度不能再增加, 即kn的最大值为1, 根据案例PETER 所给出的数据, 得到线性回归函数如下:式中: r为距案发地点的距离; 的最大值取1。5.3.2影响因素与作案地点的关系( 1)安全距离过近, 则被捕的可能性会增加;安全距离过远, 则犯罪花费过多, 因此存在一个可以接受的安全距离。通过对案例中相对安全距离进行拟合, 得到在95%的置信区间内做Ko lmogorov- Sm irnov检验后, 得到安全距离与在该地作案的概率服从正态分布, 根据概率密度的定义,查资料知道安全距离影响因子为:( 2)系列犯罪的犯罪嫌疑人在作案时会考虑作案地点的各种地形条件, 越是理性的犯罪嫌疑人, 越容易选择他熟悉的地方作案, 而越是冲动的犯罪嫌疑人, 更有可能在他不熟悉的地方作案。从犯罪人心理的角度, 定义熟悉程度影响因子为:5.3.3合理预测下一次作案区域模拟安全距离和熟悉程度在每个犯罪嫌疑人心理 地位!是不同的, 因此, 为安全距离和熟悉程度赋予权重。f = f 1 + f 2 采用如下方法逐步确定权重, 安全距离影响因子f1若在区间 0. 5, 0. 8 之间, 则说明犯罪嫌疑人在确定这次案发地点时, 考虑到了安全距离的因素,相应的安全距离的权重则加1, 否则保持不变。同理, 如果计算出来的熟悉程度影响因子f 2 在区间 0. 4, 0. 7之间, 相应的安全距离的权重加1。经过前K 个样本的学习, 确定, 并根据犯罪嫌疑人的作案定势, 绘出作案地点的地理概况, 得到整个地区的相对安全距离和熟悉情况分布。由此可以计算出每个坐标对应的作案概率。带入数据，在Bradford的概率最大为0.635，与实际情况相符。5.4模型的改进对于作案距离，我们假定服从正态分布，有一定的缺陷性，对于连环作案的犯罪分子随着作案次数的增加，作案水平心理的提高。可能会有些犯罪分子选择离家进的区域作案