基于小波变换和混沌序列的频域图像加密-毕业论文

河南农业大学河南农业大学 本科生毕业论文 题 目 基于小波变换和混沌序列的频域 图像加密 学 院 理学院 专业班级 电子信息科学与技术 10 级（4）班 学生姓名 甘晓慧 指导教师 李宝方 撰写日期： 2014 年 5 月 15 日 河南农业大学理学院本科毕业论文 基于小波变换和混沌序列的频域图像加密 甘晓慧 摘要摘要 随着信息技术的发展，信息安全问题越来越受到更多的关注，如何维护信息安全，特别是图像 信息安全，已成为众多研究者研究的课题。图像数字水印与图像加密是图像信息安全的有效保护措 施。由于数字图像具有其自身的特点，许多研究者为了提高图像加密的效率和安全性，提出了一些 频域图像加密方案，在这些方案中，基于小波与混沌的图像加密方案表现出了良好的加密特性。 目前的图像加密算法很多是在空域中进行加密。根据混沌序列以及小波变换的优良特性，将混 沌和小波变换引入到数字图像加密算法中，实现图像的频域加密，使得加密的安全性得到提高，加 密效果将会更好。 本文在前人研究工作的基础上，利用小波分析和混沌理论相结合的方法对图像加密开展深入的 研究，主要取得如下成果: （1）采用小波分解图像压缩算法，应用小波的多尺度特性对图像进行分解，根据人类的视觉特 性，只留取其低频部分（即近似部分） ，去掉高频系数. （2）一种一维 Logistic 映射与小波变换的图像加密方案的研究。该方案结合一维 Logistic 混 沌映射，由此映射生成本文所需的混沌序列。 （3）采用 Logistic 混沌系统生成的混沌序列作为密钥，再对压缩后的图像做基于密钥的图像像 素置乱加密。利用一维 Logistic 映射产生加密模板对小波分解的低频系数进行调整。 通过试验比较分析：该方案不但密钥空间大，而且对密钥和明文相当敏感，具有优良的扩散性 和扰乱性能，并能抵抗各种攻击。 关键词关键词：频域图像加密频域图像加密； 混沌序列混沌序列； 小波变换小波变换； Logistic Logistic 映射映射 河南农业大学理学院本科毕业论文 Frequency domain image wavelet transform and encryption based on Chaotic Sequency GAN Xiao-hui Abstract With the development of information technology. The problems of information security get more attention. How to maintain the information security, especially the image of information security, which has become a hot topic for many researchers. The image digital watermarking,image encryption,etc, which are the effective protection measures of the information security. Because of the digital image have its own characteristics. Many researchers put forward to some image encryption schemes in order to improve the efficiency and safety of image encryption. In the schemes,the image encryption scheme based on chaotic that shows good characteristics of encryption. Current image encryption algorithm often simply on Spatial Domain . Based on chaotic sequences and the good characteristics of wavelet transform, and then introduce the chaos and wavelet transform into digital image encryption algorithm, to achieve the Frequency Domain image encryption. Make the safety of encryption improve, and encryption effect will be better. On this basis, the application of wavelet analysis and chaos theory on image encryption of the study to obtain the following results: (1)Using wavelet image compression algorithm based on wavelet multiscale image decomposition characteristics, according to human visual characteristics, whichever leaving only the low-frequency part (ie approximate part), remove the high-frequency coefficients. (2)A one-dimensional Logistic map and research of wavelet transform for image encryption scheme. This programme combines a one-dimensional chaotic Logistic map,generated by the mapping required for this chaotic sequences. (3)Used Logistic chaos system generated of chaos sequence as key, again on compression of image do based on key of image pixel reset mess encryption. uses one-dimension Logistic map produces encryption template on Wavelet Decomposition of low frequency coefficient for adjustment. Through test comparison analysis: the programme not only key key space big, and on key and 河南农业大学理学院本科毕业论文 expressly quite sensitive, has excellent of proliferation sexual and disrupt performance, and can resistance various attack. Keywords:frequency-domain image encryption;Chaotic sequence; Wavelet transform; Logistic map 河南农业大学理学院本科毕业论文 I 目录目录 1 1 绪绪 论论 . 1 1.1 研究背景与意义 . 1 1.2 图像加密的进展和状况 2 1.3 研究的主要内容 . 4 1.4 各章内容安排 . 4 2 2 小波变换基本理论小波变换基本理论 . 6 2.1 引言 . 6 2.2 小波变换的概念 . 6 2.2.1 连续小波变换 6 2.2.2 离散小波变换 7 2.2.3 小波多分辨分析 7 2.3 小波变换在图像处理中的应用 9 2.3.1 小波变换的重构算法 9 2.3.2 小波变换在图像压缩中的应用 10 2.4 本章小结 12 3 3 混沌的基本理论混沌的基本理论 . 13 3.1 引言 . 13 3.2.1 混沌的定义 13 3.2.2 混沌的特征 15 3.2.3 混沌系统的判别和描述 15 3.2.4 Logistic 混沌模型 . 16 3.3 本章小结 . 19 4 4 基于小波变换和混沌序列的图像加密算法基于小波变换和混沌序列的图像加密算法 . 20 4.1 引言 . 20 4.2 利用小波变换对图像压缩 20 4.3 混沌序列的生成 . 22 4.4 图像加密/解密方案 23 4.4.1 图像加密算法的设计 23 河南农业大学理学院本科毕业论文 II 4.4.2 图像解密算法的设计 24 4.5 实验结果及分析 . 26 4.5.1 抗攻击性试验 26 4.5.2 优点分析 . 27 4.6 本章小结 . 27 5 5 总结与展望总结与展望 . 28 参考文献参考文献 . 29 附录附录 . 30 致谢致谢 . 35 河南农业大学理学院本科毕业论文 1 1 1 绪绪 论论 1.1 1.1 研究背景与意义研究背景与意义 目前，随着宽带网的发展，图像数据开始在网上流行。作为常见的多媒体数据，数字图像的数 据量约占多媒体信息数据量的 70%。图像比声音、文字蕴含着更多的信息量，因此数字图像在信息 多媒体中占据着非常重要的地位。图像信息生动形象，它已经成为人类表达信息的重要手段之一。 可是，网络上的图像数据有很多是要求发送方和接收方要进行保密通信的，如军用图片、金融机构 的建筑图纸等。还有些其它图像信息，根据法律必须要在网络上加密后方可传输。事实上因特网传 输图像数据不但方便快捷，不受地域限制，而且省时省力，节约开支，提高效率。但由于某些图像 数据的特殊性，即发送双方都不希望网络上所传输的图像数据被未授权者所浏览或处理，这些图像 信息不但涉及个人隐私，而且有的涉及到国家安全，此时也会有不法分子企图利用网络获取未授权 数据。因而图像数据的保护越来越受到社会的普遍重视，意识到提高图像信息的安全性已经是迫在 眉睫的问题。 图像信息安全是一门多学科交叉的研究课题，它集数学、密码学、信息论、计算机网络以及其 它计算机应用技术于一体。图像信息安全问题有着极为广泛的含义，考虑其安全算法时，必须考虑 其特殊性: 对大量数据加密的可实现性、数据的冗余性、能够经受住常见的数据格式变换、有损压 缩等操作1-2。 非线性科学在 20 世纪末期得到了前所未有的蓬勃发展。 它是一门研究非线性现象共性的基础学 科，被誉为 20 世纪自然科学中的“三大革命之一” 。科学界认为:非线性科学的研究不仅具有重大的 科学意义， 而且具有广泛的应用前景。 事实上， 这门科学几乎涉及自然和社会两学科的各个领域， 并 且不断在改变人们对现实世界的许多传统看法。一般来说，非线性科学的主题包括:混沌、分岔、孤 立子和复杂性的研究，其中混沌的研究占有极大的份量。 混沌打破了随机性与确定性之间不可逾越的界线，将经典力学推到更深一层次的研究，混沌理 论及其应用将会是近期内一个极富挑战性， 且具有巨大前景的研究课题， 潜在的应用包括:保密通信、 图像数据加密、电力电网动态分析和保护、电子震荡发生器设计、工程和民用电子仪器噪声消减、 航天和航空发动机动态分析和保护、信息存储和高速检索、流体混合、决策预测、计算机图形处理、 系统和模式识别、以及医学和生物、信号处理和通信、控制系统和优化等越来越多的领域和方向。 混沌密码学是混沌理论的一个重要的应用领。混沌系统对初值的极端敏感性、内在随机性、长期不 可预测性、以及计算高效性使得它在加密数据比较大的数字图像领域得到迅速的发展。 小波变换是近年来兴起的一个崭新的信息分析理论，是一种信号的时频域分析方法，具有多分 河南农业大学理学院本科毕业论文 2 辩分析的特点，能够很好地表现信号的时频域局部特征。小波变换用于图像处理，主要是对图像进 行小波分解，然后对不同子带的分解系数根据需要做出适当的修改，因为小波系数中如果有一个发 生变化，就会通过小波的重构运算体现在所有的像素点中3-4。各个不同的子带图像表示原始图像不 同的信息特征，低频的子带保留原始图像的近似部分，高频的子带表示原始图像细节部分。若能将 小波分析和混沌、密码学等用于图像加密将具有很好的实用前景。 1.2 1.2 图像加密的进展和状况图像加密的进展和状况 数字图像加密源于早期的经典加密理沦，其目的是隐藏图像本身的真实信息，使窃取者或无关 人员，在收到加密消息后无法获得原始图像，而接收方，则可用预先约定的密钥和解密方法，方便 地把收到的加密信息解密出来。 图像加密主要有以下几种方法:基于矩阵变换/像素置换的图像加密算法、基于密钥分割与秘密 共享的图像加密算法、基于现代密码体制的图像加密算法和基于混沌理论的图像加密算法。下面简 要阐述它们各自加密算一法的原理、特点，分析各种算法的优缺点及发展趋势。 （1）基于矩阵变换/像素置换的图像加密 基于 Arnold 变换的置乱方法5-6，例如:基于 Arnold 变换的方法、基于改进 Arnold 变换的方法 和基于 Fibonacci-Q 矩阵的置乱方法等。这些方法采用密码学中的一种典型的古典凯撒密码方法，将 数字图像按照相位空问和颜色空间置乱，对置乱图像的恢复依赖于 Arnold 变换的周期。 Arnold 变换可以看作是裁剪和拼接的过程，通过这一过程将离散化的数字图像矩阵中的点重新 排列。由于离散数字图像是有限点集，这种反复变换的结果，在开始阶段中像素点的位置变化会出 现相当程度的混乱，但由于动力学系统固定的特性，在迭代进行到一定步数时会恢复到原来的位置。 这样，只要知道加密算法，按照密文空间的任意一个状态来进行迭代，都会在有限步内，恢复出明 文(即要传输的原图像)。这种攻击对于现代的计算机来说其计算时间是很短的，因而其保密性不高。 （2）基于秘密分割与秘密共享的图像加密 秘密分割7就是把消息分割成泊多碎片，每一个碎片本身并不代表什么，但把这些碎片放到一 起消息就会重现出来。这好比是把可口可乐的配方交给多个人来保管，每个人只知道配方的一部分， 并且这每一部分没有什么实际意义，但把这些人所保管的配方放在一起就是一个完整的可口可乐配 方。这种思想用于图像数据的加密上就是在发送端先要把图像数据按某种算法进行分割，并把分割 后的图像数据交给不同的人来保管，而在接收端需要保管秘密的人共同参与才能恢复出原始待传输 的图像数据。为了实现在多个人中分割秘密图像信息，可以将此图像信息与多个随机位异或成“混 合物” 。 密钥分存的优点在于个别子密钥的泄漏不至于引起密钥的泄漏，而个别子密钥的损失也不至于 河南农业大学理学院本科毕业论文 3 影响密钥的恢复。算法简单直观，安全性好，具有较好的抗干扰性能。其缺点是图像数据量发生膨 胀，这在图像数据本来就很庞大的情况下给图像的网络传输带来了严重的困难，限制了这种加密算 法在实际中应用，而且对于采用这种门限方案的算法其恢复出的图像的对一比度会有所下降。 （3）基于现代密码体制的图像加密 Shannon 于 1949 年发表了一篇题为“保密系统的信息理论”的文章8，用信息论的观点对信息 保密问题做了全面地阐述，建立了现代密码学理论。对于图像数据来说，这种加密技术就是把待传 输的图像看作明文，通过各种加密算法，如 DRS，RSA 等，在秘钥的控制下，达到图像数据保密通 信。这种加密机制的设计思想是加密算法可以公开，通信的保密性完全依赖于秘钥的保密性(即 Kerckhoffs 准则)。 依据加密秘钥和解密秘钥是否相同，划分出两种基本的密码算法，即对称算法和非对称算法(也 叫公开秘钥算法)。私钥密码体制和公钥密码体制各有其应用场合。一般来说，在保密性要求较高的 场合，如军方，政府部门等国家要害部门一般采用私钥密码体制(如白宫电话专线采用一次一密的流 密码加密体制)。而在一般的应用场合，如一般的企业部门及个人一般采用公钥密码加密体制。这是 因为公钥密码体制秘钥管理比较方便，但它的加密秘钥是公开的，密码分析者可以采取一些主动攻 击方式，对加密秘钥进行替换，进而窃取机密数据。 （4）基于混沌理论的图像加密 基于混沌的图像加密技术是近年来才发展起来的一种密码技术。与传统加密方法相比，混沌加 密具有更高的安全性和保密性9。基于混沌系统的图像加密技术研究也越来越广泛。它是把待加密 的图像信息看成是按照某种编码方式编成的二进制数据流， 利用混沌信号来对图像数据流进行加密。 混沌信号由于具有对初始条件的高度敏感，快速衰减的相关函数和宽功率谱而成为伪随机信号的极 佳候选者，可以用来对信息加密处理。同时，它又是决定性的，由非线性系统的方程、参数和初始 条件完全决定。只要系统的参数和初始条件相同，该混沌信号就可以复制，从而可以从密文信息中 解密出原有的信息。将混沌理论与密码技术相结合，就形成了“混沌密码体制” 。 在基于混沌理论的密码技术加密算法体制中，密钥的设计和所参与的运算机制，使其具有位错 误扩散作用，即两个长度完全相同的密钥，只要存在一位的差异，两个密钥的非线性变换的结果是 截然不同的。它实现了不同的密钥将导致加密或解密的非线性变换结果的全局性差异，从而保证了 用户密钥使用唯一性。 混沌系统本身是非线性确定性系统，某些确定而简单的动力学系统产生的混沌信号能表现出非 常复杂的伪随机性(这符合 Shannon 所提出的密码设计应遵循的混乱规则)，它们难以预测。任何微 小的初始偏差都会随时间而被指数式放大(这符合 Shannon 所提出的密码设计应遵循的扩散规则)， 河南农业大学理学院本科毕业论文 4 因此，关于初始状态的少量参数就可以产生满足密码学基本特性的混沌密码序列，具有自然的伪随 机性，因而特别适合用于进行图像保密通信。 目前，基于混沌序列的加密方法可分为空间域算法和频域算法。空间域算法的优点是实现简单， 且加密过程中不会引入额外的图像畸变，但加密强度不够10。相对于空间域算法，频域算法加密效 率较高，且可以由频域的数学表达的复杂度给非法破译造成更大的困难。单华宁，王执锉等人利用 混沌 Arnold 映射对小波变换域系数进行置乱处理四，取得较好的加密效果。易显东，姚军等用模板 加密结合混沌 Arnold 映射， 提高了加密强度。 但近来的研究表明， 低维混沌序列的保密性是不够的。 郭建胜，金晨辉证明:基于广义猫映射的图像加密算法在已知图像攻击下是不安全的。为提高密文的 安全性，本文提出用一维 Logistic 映射生成的混沌序列对小波变换压缩图像进行图像置乱加密，可 获得安全度较高的加密图像。 无论是基于现代加密技术的图像加密方案还是基于混沌系统的图像加密方案，其本质都是对图 像像素位置和像素值进行变换。变换越复杂，安全性可能就越高。但数据处理的效率可能就较低。 反之，采用简单的变换，加密效率会高，但安全性就低。在实际应用中，选取什么样的加密策略， 要根据实际中对安全性和加密效率指标的要求，做到两全其美是困难的。但这是未来图像加密研究 的目标。 1.3 1.3 研究的主要内容研究的主要内容 本文研究旨在获得一种基于小波变换和混沌序列处理图像加密问题的有效方法，主要研究内容 包括: （1）采用小波分解图像压缩算法，应用小波的多尺度特性对图像进行分解，根据人类的视觉特 性，只留取其低频部分（即近似部分） ，去掉高频系数。 （2）找到一种合适的方法得到 Logistic 混沌序列。 （3）采用 Logistic 混沌映射生成的混沌序列作为密钥，再对压缩后的图像做基于密钥的图像像 素置乱加密。 1.4 1.4 各章内容安排各章内容安排 本文共分五章，各章内容安排是： 第 1 章:绪论介绍了研究课题的背景和意义，分析了图像加密技术的进展状况和存在问题，并对 研究的主要内容进行了综述。 第 2 章：主要介绍了图像加密中的小波变换基本理论，如多分辨分析理论以及二元张量积的多 分辨分析， 图像的小波分解与重构算法等。 第 3 章：介绍了混沌理论基本知识，为了使混沌的概念更具体化，重点介绍了 Logistic 混沌系 河南农业大学理学院本科毕业论文 5 统及其混沌序列的性质和特点。为基于混沌理沦的数字图像加密技术奠定了理论基础。 第 5 章：提出来一种基于小波变换和混沌序列的图像加密算法。重点介绍了混沌序列的生成， 及加密模板和置乱序列的生成。通过对加密算法的破解实验，小波图像压缩实验，证明该算法可获 得安全度较高的加密图像，而且通过该方法加密的图像数据能够经受住传输过程中的随机噪声的干 扰和影响。结合小波变换压缩处理后的图像，加密效果良好，且大大减少了图像数据的传输量。 第 6 章：对全文的总结，并就其中需要进一步研究的内容以及一些相关的实验进行了阐述和展 望。 河南农业大学理学院本科毕业论文 6 2 2 小波变换基本理论小波变换基本理论 2.1 2.1 引言引言 小波变换是当前数学中一个迅速发展的新领域11， 它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。 小波变换是一种时频可自适应改变的时频局部化分析方法。它克服了 Fourier 变换的许多弱点，是 一种新的可达到时域或频率域局部化的时频域分析方法， 因而能有效地从信号中提取信息， 通 过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析， 解决了 Fourier 变换不能解决的许多问 题，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大 小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在信号 的低频部分，可以取得较好的频率分辨率；在信号的高频部分，可以取得较好的时间分辨率，因此， 小波变换被誉为“数学显微镜”12。 2.2 小波变换的概念小波变换的概念 小波变换是指基于小波的变换。小波即小区域的波，又称为子波，是一个长度有限、均值为零 的振荡波形。这里的“小”是指衰减性，即局部非零性，因为非零系数的个数多少，反映了图像块 高频成分的丰富程度和纹理的复杂程度； “波”是指波动性，即振幅正负相间的振荡形式。与傅里叶 变换一样，小波变换也可分为连续小波变换 CWT(Continue Wavelet Transform)和离散小波变换 DWT(Discret Wavelet Transform)13 。 2.2.1 2.2.1 连续小波变换连续小波变换 定义14 对 RLtf 2 )( ，)(t 为一基本小波，令 a bt a tba 1 )(, (2.1) 其中Rba,，0a则称)(,tba为由小波母函数生成的依赖于参数ba,的连续小波，而称 babafdtttfdt a bt tf a abfW,)()()( 1 , (2.2) 为 tf的连续小波变换。其中“”表示内积，)(,tba为)(,tba a bt a tba 1 )(, 的共 轭。其重构公式（逆变换）为： dadb a tabfW C tfba 2 1 )(, 1 )(, （2.3） 河南农业大学理学院本科毕业论文 7 其中， dw w w C 2 )( ，即对)(t提出的容许性条件，容许条件是为了确保小波逆变换 可以进行。 2.2.2 2.2.2 离散小波变换离散小波变换 连续小波变换主要用于理论分析，在实际应用中，需要将连续小波离散化。这里的离散是指将 连续小波)(,tba和连续小波变换baWf, 离散化。 在连续小波中，考虑函数)(,tba，是容许的，在离散化时，总限制a取正值，这样离散小波 变换的容许条件就变为： dw w w C 2 0 ) ( (2.4) 当ba,离散化时，即 j aa 0 ， 00 bkab j ，0, 110 000 baa或，则得到离散小波函数族为 zkjkbxaat jj kj ,:)( 00 2/ 0 , (2.5) 对)()( 2 RLtf，)(tf的离散小波变换是一个序列 kj kjC , , ，称 kjC, 为离散的小波变换系 数，离散小波变换系数 kjC, 可表示为： kjkjkjfttfdtkbtatfaC j j ,)()()( 00 2 0 （2.6） 称上式为)(tf的离散小波变换。其重构公式为： jk kjkjCCtf,)( （2.7） 2.2.3 2.2.3 小波多分辨分析小波多分辨分析 多分辨分析 MRA(Multi-resolution Analysis)又称多尺度分析，它是在)( 2 RL 函数空间内，将函 数)(xf描述为一系列近似函数的极限，每一个近似函数都是)(xf在不同分辨率子空间上的投 影。这些近似都是在不同尺度得到的，多分辨分析由此得名。 当信号)(nx的采样频率满足采样定理时，数字频带必限制在-之间。此时可分别用理想 河南农业大学理学院本科毕业论文 8 低通滤波器)(wL与理想高通滤波器)(wH将它分解成(对正频率部分而言)频带在0/2的低频部分 和频带在 /2 的高频部分，分别反映信号的概貌与细节如图 2.1 所示。处理后的两路输出必定正 交(因频带不交叠)，而且由于两种输出的频带均减半，因此采样率可减半而不致引起信息的丢失(参 见图 2.2 和图 2.3)。 类似的过程对每次分解后的低频部分可重复进行下去，即每一级分解把该级输入信号分解成一 个低频的粗略逼近和一个高频的细节部分。而且每级输出采样率可以再减半，这样就将原始信号 )(nx进行了多分辨分解。 )(nx 高频部分调节信号 低频部分调节信号 图图 2.1 2.1 信号信号)(nx频带分解频带分解 - -/2 /2 -/2 /2 图图 2.2 2.2 理想高通滤波器的频响理想高通滤波器的频响 图图 2.3 2.3 理想低通滤波器的频响理想低通滤波器的频响 以上只是对多分辨分析的粗略说明，结沦不够全面。Mallat 从函数空间的剖分上作了进一步的 阐述。在二等分情况下，Mallat 从函数空间的分解出发，在小波变换与多分辨分析之间建立起联系。 把平方可积函数) 1 (x看成是某一级逼近的极限情况。每级逼近都是用某一低通频滑函数对)(tx平滑 的结果，只是逐级逼近时平滑函数也作逐级伸缩。也就是用不同分辨率来逐级逼近待分析函数。其 中包括以下概念: （1）函数空间的逐级剖分: 把空间逐级二分解产生一组逐级包含的子空间 jj VWWWVWWVWV. 21221110 ( HH(W) L(w) 2 2 河南农业大学理学院本科毕业论文 9 j是 的整数。 （2）函数空间的性质: 空间)( 2 RL内的多分辨分析是指构造)( 2 RL空间内的一个子空间序列 j V，使它具有以下性质： 单调性（包容性） ZjVV jj , 1 逼近性 0),( 2 j jj VRLClose 伸缩性 1 )2()( jj VtVt 平移不变性 ZkVktVt j j j ,)2()( 正交(Riesz)基存在性 存在 0 )(Vt ，使得Zkkt j ),2(构成的 j V的正交基。 2.3 2.3 小波变换在图小波变换在图像处理中的应用像处理中的应用 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过长期地探索研究，重要的 数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与 Fourier 变换相比，小波变换是空间(时间)和频率 的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多 尺度的细化分析， 解决了 Fourier 变换不能解决的许多困难问题。 小波变换联系了应用数学、 物理学、 计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。小波分析是一个新的数学分支， 它是泛函分析、Fourier 分析、样调分析、数值分析的完美结晶；小波分析是时间尺度分析和多分 辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、 大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。 2.3.1 2.3.1 小波变换的重构算法小波变换的重构算法 设 p jl, 、q i jl, （i=1，2，3）是由两个一元两尺度序列得到的二元尺度序列，即 河南农业大学理学院本科毕业论文 10 p jl, = pp jl 21 ， p jl 1 , = qp jl 21 ，q jl 2 , = pq jl 21 ， p jl 3 , = qq jl 21 。则有重构算法为 dqcp i jlk j i jmln jlk jmln jl mnk C ,; 3 1 2,2 ,; 2,2 , ,; 1 (2.8) 小波重构的数据传递示意图如图 2.4 所示 2 2 2 22 2 ),(mnc )( 1 n q )( 2 m q )( 1 n p )( 2 m p )( 1 n q )( 1 n p LL LH HL HH 图图 2.4 2.4 小波重构数据流示意图小波重构数据流示意图 2.3.2 2.3.2 小波变换在图像压缩中的应用小波变换在图像压缩中的应用 二维离散小波变换后的系数分布15 (2.9） 构成了信号 ),(yxf 的二维正交小波分解系数(如图 2.5 所示)， S3 W 3 3 W 3 2 W 3 1 W 1 3 W 2 3 W 1 2 W 2 2 W 1 1 W 2 1 图图 2.5 2.5 二维正交小波分解系数二维正交小波分解系数 ZZ jjjj jj mnf W mnf W mnf W mnf S mn ),(),(),(),( 321 1,., ),( 河南农业大学理学院本科毕业论文 11 G H2 f SJ 1 2 G H H G 2 2 2 2 W 1 1 W 2 1 W 3 1 SJ 它们每一个都可被看做一幅图像， ),( 1 mnf Wj 给出了 ),(yxf 垂直方向的高频分量的小波分解 系数， ),( 3 mnf Wj 给出了 ),(yxf 水平方向的高频分量的小波分解系数， ),( 2 mnf Wj 给出了 ),(yxf 对角方向高频分量的小波分解系数， f SJ 给出了 ),(yxf 的低频分量的小波分解系数。由此可见， 若用SJ，W j 1 ，W j 2 ，W j 3 分别表示 ),(mnf Sj ， ),( 1 mnf Wj ， ),( 2 mnf Wj ， ),( 3 mnf Wj 经 21 亚抽样后的变换系数(简称为子图像)，则任一图像都可以分解为 j=-J，-1 之间的 3J+1 个离散 子图像：SJ，W j 1 ，W j 2 ，W j 3 其中SJ是原图像的一个近似，W i j(i=1，2，3；j=-J，-1) 则是图像在不同方向、不同分辨率下的细节；如果原图像有 N2 个像素，则子图像SJ，W j 1 ，W j 2 ， Wj 3 分别有 N i 2 个像素，因而分解后总的像素数NT为 NNNN j j iJ T 22 1 2 3 44 （2.10） 可见，分解后总的像素数不变。 二维数字信号也即数字图像，对它的处理时基于图像的数字化来实现的。图像的书画结果就是 一个巨大数字矩阵， 图像处理就在这个矩阵上完成。 所以， 可将二维数字信号dmn看做 ),( 0 mnf S ， 即 R dxdymynxyxfmnyx mnf d yxfS mn 2 ),(),(),)(,( ),( 0 0 * ),( （2.11） 并采用与一维情况类似的 mallat 算法。由于两次一维小波变换来实现一次二维小波变换，所以 先对该矩阵的行进行小波变换，再对列进行小波变换。从信号滤波的角度实现二维小波变换的框图 分别如图 2.6 所示。 图图 2.6 2.6 二维小波变化的框图二维小波变化的框图 河南农业大学理学院本科毕业论文 12 2.42.4 本章小结本章小结 本章主要阐述了小波变换基本理论，如多分辨率分析理论及图像小波变换基础知识，如小波变 换的优点、基于小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子 图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频)子图像上大部分点都接近于 0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个 最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。 河南农业大学理学院本科毕业论文 13 3 3 混沌的基本理论混沌的基本理论 3.1 3.1 引言引言 混沌(chaos)16是非线性系统特有的一种运动形式:它是由确定性系统产生且明感依赖于初始条 件的往复稳态非周期运动，类似于随机震动而具有长期不可预测性。 3.2.1 3.2.1 混沌的定义混沌的定义 混沌运动只出现在非线性动力系统中，它是即普遍又极复杂的现象。时至今日，科学上仍没有 能给混沌一个完全统一的定义，它的正常状态不是通常概念下确定性运动的三种状态:静止、周期运 动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的、状态复杂的运动。它有时被描 述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等 。把在某些确定性非线性系统中，不需要附加 任何随机囚素， 其系统内部存在着非线性的相互作用所产生的类随机现象称为 “混沌” 、 “自发混沌” 、 “动力学随机性” 、 “内在随机性”等等。 首先提出混沌一词的李天岩和约克(J. A. Yorke)在他们著名的论文“周期 3 意味着混沌”中给出 了混沌的一种数学定义，现称为 Li-Yorke，是影响较大的混沌的数学定义。它是从区间映射出发进 行定义的，该定义可描述如下： Li-Yorke 定义17 设连续自映射 f：，I 是 R 中的一个闭区间，如果存在不可数集合 SI 满足 （1）S 不包含周期点。 （2）任给 X1，X2 S (Xl X2)有 0 （3.1） 0 （3.2） 这里 ，表示 t 重函数关系。 （3）任给 X1 S 及 f 的任意周期点 P I 有 0 （3.3） 则称 f 在 s 上是混沌的。 由李约克的定义可见，他们是用三个方面的本质特征来对混沌进行刻划的： （1）非周期 在李约克对混沌映射的定义中，称 f 在 S 上是混沌的，所依据的三个条件中的两条是对非周 期的刻划：第(1)条表明混沌轨道排除了所有阶的周期点，第(3)条意味着混沌轨道与任意的周期轨 河南农业大学理学院本科毕业论文 14 道都不具有渐近关系，而是原则上可区分的。它们实际上是从周期性角度对非周期性进行的刻划。 我们可以这样来理解混沌轨道的非周期性：如果我们在无限精确的数学层次上跟踪一条混沌轨道， 我们经历的相点永远没有重复的，而且整条混沌轨道虽然在任意有限长的一段可能与某条周期轨道 无限接近，但是无限长的整条混沌轨道将与其产生有限大小的偏离，即在 t时，任意的混沌轨道 与任意的周期轨道必然具有距离有限(非无限小)的相点。这样当我们要确定某个混沌轨道上的相点 时，只能跟踪轨道的全过程，而不可能利用任何具周期意义的、有可压缩性质的所谓规律来准确预 测。 （2）敏感初条件 李约克定义中的第(2)条实际上就是对混沌轨道所具有的“敏感初条件”的描述，即距离的下 确界为 0 的无限接近的两条轨道，其上确界却是有限的，大于 0 的，由符号动力学对一维抛物线满 映射的刻划，我们也可以看到，分别代表两条混沌轨道的两个无限接近的符号序列，即两个无限精 确条件下才可区分的无理数，意味着在无限次迭代后，最后会有宏观层次上(对主体而言)的可区分 的差别：L(左)、C(中)、R(右)，相点的 L、C、R 是在有限精确条件下，对主体来说的可区分性。 就是说，在 12n的分辨率下，差值大于 12n的两个初值，经 n 次迭代后，其符号序列中至少会有 一个符号不同， 进一步地， 李约克的定义也表明混沌轨道中的相点与无理数对应， 无理数的最后(实 际上不存在最后)数字不同，就是不同的数，但这两个“最后”数字不同的无理数代表了无限精确的 情况，反映的是个无限过程，在这个无限过程下，数学上的混沌具有对初始条件的敏感依赖性。 （3）有界 在李约克定义中， “有界”(即有确定的边界)是作为定义的前提条件出现的，它设定了 f 是从 I 到 (I R)的映射，而 I 是 R 中的一个闭区间，这表明 f 把 I 映射回 I，所有的相点不能超越 I 的确 定边界，这个“有界”的前提条件的设定是必要的，如果没有这个限制条件，就不能保证系统是混 沌的，例如：映射 f：Xn+1f(Xn)Xn2，当 X11 时，f 会很快使 Xn超越 I 的边界而趋于，这时 Xn的整个序列或说轨道 X1，X2，Xn，X显然仍具有非周期、敏感初条件等混沌的本质特征，但 是它的演化过程是发散的，不会形成混沌吸引子。可见， “有界”是混沌的不可或缺的必要条件和本 质特征之一。 定义表明在区间映射中，对于集合 S 中的任意两个初值，经过迭代，两序列之间的距离的上限 可以为大于零的正数，下限等于零. 就是说当迭代次数趋向无穷时，序列间的距离可以在某个正数 和零之间“漂忽” ， 即系统的长期行为不能确定，是一种与我们通常熟悉的周期运动极不相同的运 动形态。但应该指出的是上述定理或定义都只是表明一种数学上的“存在性” ，并没有描述它们的测 度和稳定性。 河南农业大学理学院本科毕业论文 15 3.2.2 3.2.2 混沌的特征混沌的特征 混沌运动还具有通常确定性运动所没有的几何和统计特征，如局部不稳定而整体稳定，无限自 相似，连续功率谱，奇怪吸引子，分维，正的 Lyapunov 指数等。为了与其它复杂现象相区别，一般 认为混沌具有以下几个主要的特征: （1）混沌具有内在随机性，是确定性系统内部随机性的反映，它不同于外在的随机性，系统是 由完全确定性的方程描述，无需附加任何随机因素，但系统仍会表现出类随机性的行为。混沌信号 的相关函数类似于随机信号的相关函数，具有类似冲激函数的特性。 （2）混沌现象具有对初始条件的敏感依赖性，只要初始条件稍有差别或微小扰动就会使系统的 最终状态出现巨大的差异。因而，混沌系统的长期演化行为是不可预测的。 （3）混沌具有分形的性质，各种奇怪吸引子都具有分形结构，由分形维数来描述其特征。维是 对吸引子几何结构复杂度的一种定量描述，在欧式空间中，空间被看成三维，平面或球面看成二维， 而直线或曲线看成一维。平衡点，极限环，以及二维环面等吸引子具有非整数维数，即分数维。 考虑 N 维相空间中的一个点集， 设覆盖该点集所需边长为二的 N 维立方体的最小数目为)(n定 义该点集的维数为: 1 log log lim 2 )( 2 0 n D （3.4） 在分形维数的估计中，Pent land 通过对自然景物图像的研究，证明了自然界中大多数表面映射 成的灰度图像是具有相同分形特征的分形表面，且大多数自然景物的灰度图像满足各向同性分数布 朗随机(Fractal Brown Random，简写为 FBR)场。自然表面的粗糙度可用其表面的分形维数 D 来表 示， 较小的 D 值表示平滑表面， 较大的 D 值表示粗糙表面。 对于二维图像映射而成的灰度表面来说， 有意义的 D 值应局限在 2 和 3 之间，否则认为不符合分形模型。 （4）混沌具有标度不变性，它是一种无周期的有序，在由分岔导致混沌的过程中，遵循费根包 姆常系数，这一常数是倍周期分岔走向混沌的普适性数值特征。 3.2.3 3.2.3 混沌系统的判别和描述混沌系统的判别和描述 在判别一个系统是否发生混沌时，一般有以下儿种常用的方法： （1）通过数值计算，观察系统的相图结构 相轨迹是系统的解曲线在状态向量张成的相空间中的几何表示。 （2）通过计算 Lyapunov 指数 Lyapunov 指数是反映相空间轨线在不同方向上收缩和扩散的平均量， Lyapunov 指数的正负是判 河南农业大学理学院本科毕业论文 16 断系统是否处于混沌、超混沌状态的重要方法之一。 设离散动力学系统),(fX，初值为 0 x ，生成轨道为 znxn,。考虑沿 0 x 的某个切线方向 上的无穷小扰动 0 y ，则随时间的演化 0 y 服从于 nnn yxDfy 1 （3.5） 显然， 00/ y y 表示在 0 x 处扰动的方向，而 00/ y y 表示扰动是放大还是缩小。由式(3.5)可 得 00 yxDfy nn （3.6） 式中， 0210 .xDfxDfxDfxDf nnn 。 这样就可定义在初值 0 x 下，沿着方向 00/ y y 的 Lyapunov 指数为 00000 ln 1 lim/ln 1 lim,uxDf n yy n uxLE n n n n （3.7） 式中 n n yy yy u / / 0 0 0 。 Lyapunov 指数定量地描述了相空间中相邻轨道呈指数发散的性质。若 LE0，则表示相邻轨道 发散， 说明系统中存在混沌行为； 若 LE0， 则表示系统处于稳定状态， 收敛于不动点或出现周期解； 若 LE=0，则分支点相应于稳定轨迹的边缘，系统处于临界状态。 （3）分析功率谱 系统响应 tx的功率谱密度函数 wSx为 tx的自相关函数 x R的傅立叶变换，即 21 limjwX T deRwS T T jw xk （3.8） 如果计