【硕士论文】数学开放题及其教学

内容摘要 随着素质教育和创新教育的实施，数学7 1 ：放题的研究逐渐成为数学教育研 究的热点。数学开放题的教育价值已被越来越多的数学教师所认同，以数学开 放题为载体的教学已成为实施素质教育的一个切入点。数学开放题教学体现了 数学教育以问题解决为核心的思想，它是数学教学从传统的“传授知识”的权 威模式，向以“激励学习”为特色的学生自主学习模式转变的明智的选择。 论文分五个部分。第一部分在分析国内外数学开放题研究状况的基础上， 指出研究数学开放题如何进入日常教学将是进一步需要解决的问题。第二部分 对“数学开放题”这一概念给出了描述性定义，并分析了数学- 丌放题的特点及 类型。第三部分首先剖析了当前数学教育中存在的若干问题，然后充分肯定了 数学开放题的教育价值，认为数学教学有必要引入丌放题。第四部分通过问卷 及访谈等形式调查了数学开放题的教学情况，认为目前数学开放题教学情况不 令人乐观，并分析了其中的四点原因：中、高考的重要导向作用：数学开 放题教学没有固定的操作模式，要求教师具有较高的素质；适合数学课堂教 学的现成的丌放题较少，而教师编制丌放题的能力较差；数学开放题教学要 求教师要有丌放式的教学观念，而大多数教师仍抱守旧有的教学观念。第五部 分主要针对调查分析的原因、，提出数学开放题教学的三种策略：渗透策 略、主体策略和元认知策略，并结合这三种策略，举出了数学r 丌放题教学的案 例。最后，本文指出了数学开放题教学应注意的三个问题，即数学开放题教学 与开放式数学教学；数学开放题教学与落实“双基”；数学开放题教学与数学 封闭题教学。 关键词：数学开放题开放题教学教学策略 A b s t r a c t W i t ht h e i m p l e m e n t a t i o no fq u a l i t y o r i e n t e da n di n n o v a t i o ne d u c a t i o n ，t h e r e s e a r c ho f o p e np r o b l e m sh a sg r a d u a l l yb e c o m eh o ti nt h ep r o c e s so fm a t h e m a t i c s e d u c a t i o nr e s e a r c h T h ee d u c a t i o nv a l u eo fo p e n p r o b l e m s h a s a l r e a d y b e e n a p p r o v e db ym o r ea n dm o r em a t h e m a t i c st e a c h e r s ，a n dt h et e a c h i n gt a k i n go p e n p r o b l e m s a sc a r r i e rh a sb e c o m ea b r e a k t h r o u l 曲p o i n t i nw h i c h i m p l e m e n t s q u a l i t y o r i e n t e d e d u c a t i o n T h e o p e np r o b l e m st e a c h i n go fm a t h e m a t i c sh a s r e f l e c t e dt h a tP r o b l e m s o l v i n g i st h ec e n t r a lt h o u g h tf o rm a t h e m a t i c s e d u c a t i o n ，a n d i ti sw i s ec h o i c ew h e nm a t h e m a t i c s t e a c h i n gc h a n g e sf r o mt r a d i t i o n a la u t h o r i t a t i v e m o d et h a t t e a c hk n o w l e d g e ”t os e l 矗c o n s c i o u s n e s ss t u d ym o d et h a ti sc h a r a c t e r i z e d b y e n c o u r a g i n gs t u d y ” T h ep a p e ri sd i v i d e di n t of i v ep a r t s O nm eb a s i so f a n a l y z i n gd o m e s t i ca n d i n t e r n a t i o n a lr e s e a r c ho no p e np r o b l e m so f m a t h e m a t i c s ，t h ef i r s tp a r tp o i n t so u t t h a ts t u d y i n gh o w o p e np r o b l e m se n t e rd a i l yt e a c h i n gw i l lb ef u r t h e rp r o b l e mt ob e s o l v e d T h es e c o n dp a r td e f i n e st h ec o n c e p t “o p e np r o b l e m so f m a t h e m a t i c s ，a n d a n a l y s e si t sc h a r a c t e r i s t i c sa n dt y p e s T h et h i r dp a r ta n a l y s e ss e v e r a lq u e s t i o n st h a t e x i s ti nm a t h e m a t i c se d u c a t i o na tp r e s e n t , t h e n f u l l ya f f i r m se d u c a t i o nv a l u eo f o p e n p r o b l e m s ，a n dt h i n k sm a t h e m a t i c st e a c h i n gi sn e c e s s a r yt oi n t r o d u c eo p e np r o b l e m s T h ef o u r t hp a r ti n v e s t i g a t e st h et e a c h i n gs i t u a t i o no f o p e np r o b l e m st h r o u g ht h e f o r m ss u c ha sq u e s t i o n n a i r ea n di n t e r v i e we r e ，b e l i e v e st h e t e a c h i n gs i t u a t i o no f o p e np r o b l e m si sn o to p t i m i s t i ca tp r e s e n t ，a n d + a n a l y s e sf o u rr e a s o n s ：( i ) i m p o r t a n t g u i d ee f f e c to fh i 【g hs c h o o la n dc o l l e g ee n t r a n c ee x a m i n a t i o n ；o p e np r o b l e m s t e a c h i n gh a s n or e g u l a r o p e r a t i o nm o d e ，a n dr e q u i r e st e a c h e rh a sh i g hq u a l i t y ； r e a d y - m a d eo p e np r o b l e m st h a ts u i tm a t h e m a t i c st e a c h i n gi sl e s s ，a n dt e a c h e r s a b i l i t y t o d e s i g no p e np r o b l e m si sr e l a t i v e l yp o o r ；o p e np r o b l e m st e a c h i n g r e q u i r e st e a c h e r st oh a v eo p e nt e a c h i n gi d e a s ，a n dm o s tt e a c h e r ss t i l ls t i c kt op a s t I I t e a c h i n gi d e a s ，T o w a r dt h ei n v e s t i g a t i n ga n da n a l y z i n gr e a s o n s 、，t h ef i f t h p a r tp u t sf o r w a r dt h r e ek i n d so f t a c t i c so f o p e np r o b l e m st e a c h i n go fm a t h e m a t i c s ： p e r m e a t i n gt a c t i c s ；s u b j e c tt a c t i c s ；a n dm e t a - c o g n i t i o nt a c t i c s ，a n dc o m b i n e st h e s e t h r e ek i n d so ft a c t i c sa n d p u t o u tt h ec a s eo fo p e n p r o b l e m st e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s F i n a l l y , t h i sp a p e rp o i n t so u tt h r e eq u e s t i o n sw h i c hs h o u l db ep a i d a t t e n t i o nt oi n o p e np r o b l e m st e a c h i i a g o fm a t h e m a t i c s ，n a m e l y , o p e np r o b l e m s t e a c h i n go f m a t h e m a t i c sa n do p e n - a p p r o a c hm a t h e m a t i c st e a c h i n g ；o p e np r o b l e m s t e a c h i n go f m a t h e m a t i c sa n dp e r f o r m a n c eo f t w ob a s e s ”；o p e np r o b l e m st e a c h i n g o f m a t h e m a t i c sa n dc l o s e dp r o b l e m s t e a c h i n go f m a t h e m a t i c s K e yw o r d s ：o p e np r o b l e m so f m a t h e m a t i c so p e np r o b l e m st e a c h i n g t e a c h i n gt a c t i c s 声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实 的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机 构已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表 示了谢意。 作者签名： 日期： 引言 2 0 世纪6 0 年代以后，新技术革命的发展，特别是信息技术( I T ) 的发展 加快t 人类正面临着一个迅速变化的、开放的社会。为了适应社会发展的需要， 要求数学教育培养出有更高数学素质、更强创造能力的人。从数学教育内部来 看，2 0 世纪6 0 年代后期，盛极一时的“新数”运动已开始出现衰败的征兆， 在对“新数”运动和后来出现的“回到基础”口号的历史反思中，人们“从来 没有得到那么多的关于数学教学实际的情况”( N C T M 语，1 9 8 0 ) ，从而有可能 探索数学教育的深层结构，于是找到“问题解决”这一“衡量出个人和民族具 有数学能力的效果”的核心，而开放题则是在这一过程中被认为最富有教育 价值的数学问题的题型之一，它的出现是时代呼唤的结果。 长期以来，数学课堂和考试中基本是封闭题。学生习惯完备的条件、完整 的结论和惟一正确答案的习题。尽管有许多的解题思维过程是开放的，但终因 长期灌输形成的由因导果的思维方式，使学生在问题解决中产生思维定势；解 题方法的定势使学生的创新精神得不到培养；标准化题型和标准化答案使多角 度开展思维受到局限。同时相当多学生会认为数学无非是一套封闭的逻辑演绎 体系，数学是枯燥乏味的，很难引起他们的学习兴趣。 如何改变这一现状? 有效的探索和实践告诉我们，数学开放题的教学能弥 补这一思维训练和创新能力在培养机能上的缺陷。因为数学- 丌放题的问题结构 的不同。以数学开放题为载体的教学是数学教学的新模式。随着教育改革的深 入发展和素质教育的迸一步实施，数学开放题的教育价值已被越来越多的数学 教师所认同。 我国正在进行的新一轮基础教育课程改革，就是要“改变课程过于注重知 识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识和基本技能的 过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程”。“改变课程内容难、繁、 偏、旧和过于注重课本知识现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和 。郑齄信目题解决和数学教育f h 日南京：江苏教育H 版社，1 9 9 4 。钟启泉基础教育谭狸改革纲要解读【M 】 华东师范大学出版杜，2 0 0 1 科技发展的联系，关注学生的学习兴趣，精选终身学习必备的基础知识和基本 技能。”o 着力培养具有刀：放意识和实践能力的新型人才。由此可见，新课程改 革就是要打破传统教育封闭的藩篱，重建面向现实、面向学生、面向未来的开 放的课程。 新近颁布的国家数学课程标准中已为数学开放题在中学数学教育中争得 一席之地，这是我国数学教育改革的一大进步，它打破了传统封闭题长期一统 天下的现状，在当前以培养学生创新精神和实践能力，改变学生学习方式为核 心的新课程改革的背景下具有重大意义。 正是基于对以上背景及问题的思考，本文拟就数学开放题的涵义、擞学教 学引入开放题的必要性以及我们应如何进行数学刀：放题的教学等问题作一探 讨，希望能对数学教学的改革有所启示。 一、数学开放题研究现状 ( 一) 国外研究进展 自现代数学教育产生以来，教学中是不乏数学开放题的事例的。但是“数 学开放题”作为一个研究性的课题，还是在2 0 世纪的下半叶，当人们对数学 教育中培养学生的自主性和创造精神有更高的要求时，才引起人们的注意的。 1 9 7 1 年，日本国立研究所以岛田茂为首2 7 人的日本数学教育学者小组，在一 个项目的研究中提出了数学“开放题”( o p e n - - e n d e d ) 的概念。在当时t 对数 学开放题的研究只是为了证实其可以作为更高目标的一种评价手段。但随着研 究的深入，逐渐转为如何通过解决这类问题来作为课堂教学的新模式，开始注 意到开放式教学具有很大的教育价值，主张通过数学开放题来丰富数学课堂教 学。 日本学者的研究工作，对美国、欧洲和其他一些国家的数学教育也产生了 。钟启泉基础教育课程改革纲要解读 M 1 华东师范人学l 版社， 2 0 0 2 广泛的影响。美国的数学教育，一般说比较重视学生个性的发展，他们对数学 玎放题及其教学的研究是从“问题解决”( P r o b l e ms o l v i n g ) 介入的。19 8 0 年， 美国全国数学教师理事会( N c T M ) 就提出了“问题解决是数学教学的核心” 的口号。在这个口号下，要求教师创造一种使问题解决得以蓬勃发展的课堂环 境。在这一过程中，一些被认为是“好”的数学问题，有的就是开放题。1 9 8 6 年在匈牙利首都柿达佩斯召开的第六届国际数学教育大会( I C M E 6 ) 上，与 会代表认为应该对以下问题加以区别：1 虚设的习题( d r e s s e d - u pe x e r c i s e s ) ；2 进一步的习题( a d v a n c e m e n t e x e r c i s e s ) ；3 经典问题( c l a s s i c a l p r o b l e m s ) ：4 新 经典问题( n e o c l a s s i c a lp r o b l e m s ) ；5 开放问题( o p e np r o b l e m s ) ；6 探究题 ( i n v e s t i g a t i o n s ) 。并认为最后两类问题( 丌放题与探究题) 是培养学生的创造 精神和刨造能力最有价值的问题。 1 9 9 0 年美国全国数学教师理事会发布了著名的数学课程与评价标准， 其中指出：使学生“成为数学问题的解决者”是现代数学教育的重要理念。这 里的问题包括两类“有些问题应该是结论开放而没有惟一正确的答案的”，“另 一些问题则必须是精确地表达出来”。近十多年来，数学开放题在美国中小学 教材、数学竞赛试卷中频频出现，已不足为奇。而1 9 9 2 年新西兰教育部发布 的中学数学大纲，在闯题解决方面也大力提倡开放式问题，认为“封闭式问题 ( c l o s e dp r o b l e m s ) 其结论具有已知的模式，通过解题，学生所发展的能力是 很有限的，只能使学生熟背刻板的方法，而不是进行思考与试验”。圆 1 9 9 5 年日本筑波大学能田伸彦教授在欧洲著名的数学教育杂志数学教学 国际评论( z D M ) 上发表了关于数学开放题与数学丌放式教学的文章。从而 使数学开放题的研究走向丌放式数学教学的研究。1 9 9 8 年在韩国汉城召开的第 一届东亚国际数学教育大会( I C M I E A R C O M E l ) 的一个重要议题是数学教育 的开放化，多数报告人都提到了“数学开放题”，说明数学开放题的研究已成 为世界性的热点。o ( 二) 国内研究状况 。美国全嗣数学教师理事会( N c r M ) 美国学校数学课程与评价标准 M I 北京，人民教育出版社1 9 9 4 。引自藏再平主编。开放最一数学教学的新模式f M 】J ：海z 上海教育出版社，2 0 0 2 。张真宙教学教育的全球化、开放化、信息化f J l 数学毂学1 9 9 8 ，1 0 ( 5 ) 3 1 9 8 0 年第4 期外国教育刊登了同本学者泽田利夫从“未完结问题” 提出的算术、数学课的教学的方案一文，这是在我国首次介绍国际上研究数 学开放题的文章。但在以后长达1 2 年的时间中，只有王慧斌。、戴再平等少数 学者介绍有关数学开放题的动态。1 9 8 4 年戴再平教授以三个开放题和几个封闭 题在浙江镇海三所中学各取一个初三班级进行了一次测试；1 9 9 0 年，胡林瑞对 安徽黄山一所中学5 1 名初三和高三学生，用5 道数学开放题作一次测试。他 们共同得出：知识和技能的增加与学生创造性思维能力没有必然联系；数学开 放题对培养学生创造能力有很大的必要性。首先使数学开放题进入中学课堂的 试验，是1 9 9 3 年在浙江杭州、湖州和德清县的初中进行的，试验的结果令人 振奋，“学生的思维是相当活跃的”，在数学开放题教学中学生所得到的“结论 中有一些颇具创造性，也相当深入，甚至是教师在课前所未能想到的”。说明 “在数学教育发展过程中，出现开放题这一新题型，反映了人们在数学教学观 念上的转变。即人们认识到数学教学不应建立在概念、定理例题一练习 的知识传授型模式上，而应建立在对学生积极鼓励，引导学生进行探索的以学 生为中心的创造型模式之上，这是数学教育界普遍接受现代认知心理学对数学 学习过程的解释和指导的结果。”圆 近几年来，数学开放题作为一个具有时代特色的数学教育改革亮点，已臼 益引起我国数学教育晃的注意，逐渐形成数学教学改革的一个热点，其主要表 现是： l 、国外数学开放题的信息进一步介绍到我国； 2 、编制出一批具有中国特色的数学开放题，开放题开始进入课标教材； 3 、数学开放题的教学试验广泛进行，形成一批优秀的教学设计； 4 、数学开放题开始进入数学中、高考，但比例还较少； 5 、数学开放题的研究逐步深入。“开放题数学教学的新模式”于1 9 9 6 年立项为全国教育科学“九五”规划重点课题；有关“数学开放题及其教学” 的两次学术研讨会分别于1 9 9 8 年和2 0 0 3 年在上海召开； 6 、从数学开放题的教学走向开放式的数学教学，开放式教学成为一种教 。m 慧斌数学教学的新方法开智法简介【J 】外国教育资料1 9 8 8 I ( I ) 。蛾W 卜一纽开放型趣的实验与分析川数学教育学报1 9 9 3 ，l I ( 2 ) 4 学理念。 综观国内外对数学开放题的研究，真正具有全国性影响的开放题教学，大 概只有中国。然而，从整体上看，对数学开放题的研究谈其价值的多，而课堂 上如何实施开放题教学探讨的少，这也是我国进行开放题研究的薄弱之处。因 此，研究数学开放飚如何进入F I 常教学将是进一步需要解决的问题。 二、数学开放题的涵义 ( 一) 数学开放题概念的界定 “数学开放题”并非经“全国自然科学名词审定工作委员会”审定的规范 数学名词。什么是“数学开放题”? 目前并无定论，但这又是一个必须面对的 问题。为了使对这一问题有一个较为全面的认识，首先应考察一下国内一些学 者与此有关的论述： 凡是具有完备的条件和固定的答案的习题，我们称为封闭题；而答案不固 定或条件不完备的习题，我们称为开放题。回 具有多种不同的解法，或有多种可能的解答笼统地称之为问题的开放 性。圆 封闭题是指条件恰当( 不多不少) ，答案固定的习题。丌放题是条件多余 需选择，条件不足需补充或答案不固定的题。 上述对“开放题”一词的理解不尽相同，但比较一致的是：开放题的答案 是不惟一的。因此我们可以从开放题答案的角度给出开放题的描述性定义；数 学开放题是指那些答案不惟一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、 多层次探索的数学问题。关于对“数学开放题”的概念的界定，需要再作几点 说明： 。藏再平数学习题理论 M I 上海：上海教育出版社，1 9 9 6 o 郑疑信问题解决和数学教育f M 】南京；江苏教育J J I 版社。1 9 9 4 o 王万样中学教学习题理论研究【M 1 喻尔演- 黑龙教育I 版札- 1 9 9 2 5 l 、答案不惟一是数学开放题的基本特征。在这里必须区分“数学问题的 答案”与“数学命题的结论”这两个概念。戴再平教授认为：阀题的“结论” 是问题系统内部相对于问题的“条件”而言的，不能与问题的“答案”概念混 淆，问题的“答案( 解法) ”是相对于整个问题而言的。如开放题“一个四边 形是平行四边形的充分条件是什么? ”其结论是惟一的，但这个问题的答案却 是多样的。 2 、一道数学题是否具有开放性在很大程度上取决于这道题采用何种设问 方式。即使是一道传统的封闭性数学题，也可以通过改变其设问方式而将其改 编为具有开放性的题目。要求学生进行多方面、多角度、多层次探索是一种开 放性的解题要求，通常使用试尽可能多地一类的词语来提出，它对学生具 有鼓励参与，激励优化，追求卓越的作用。 3 、现在对一题多解的问题是否是开放题存在争议。本定义从问题的设问 方式上对此作了解释。如“解一元二次方程：x 2 3 x + 2 ：0 ”，虽然可用配方法、 因式分解法、公式法、二次函数图象法、迭代逼近法等求出方程的解，但学生 在解答这道题时，大多在找到一种解法后，解题活动就停止了，解题活动并没 有多少开放性，因此将这遒习题称为开放题仍是比较勉强的。如果把问题的设 问方式改为“解一元二次方程x 2 3 x + 2 = 0 有多少种方法? ”就成为一道开放 性的题目了。 4 、我们把“数学开放题”界定为一种特殊的数学问题，强调它并不是一 个纯数学范畴的概念，而是一个教育范畴的概念。数学开放题并不是普通的数 学问题，而是为了达到一定的教育目的丽精心编制设计的数学问题。正是因为 如此，一道数学开放题总是相对于具有特定的经验和知识水平的一类学生而言 的。如题目“试尽可能多地找出使等式x ：一缸+ 2 ：0 成立的实数工”，对于已经 学习过一元二次方程的学生而言不能说是一道开放题，但对于从未学过这一知 识的学生来说却可成为一道开放题。 ( 二) 数学开放题的特点 我们先看一个例子：给学生一张卡片，上面画一个圆( 没有标出圆心) ， 。臧再s 卜数学习题理论 M 】上海：上海教育出版礼t 1 9 9 6 6 问题是“怎么确定这个圆的圆心”。学生的解答可能有：两次对折确定圆心： 画一弦，在弦的一端画垂直弦，连相对顶点得直径，再求其中点；作两条 弦，分别作它们的垂直平分线得交点 这道题的条件是没标出圆心的圆，结论是找圆心，而没有提示或设置找圆 心的具体策略和理论依据。由于题目组成结构的不完备性，从而导致了解题方 案的多样性，这就需要解题者在没有思维定势的情况下，进行多角度、多侧面 的思考。 从上例的结构形式和解答过程及策略，我们可以概括出数学开放题有以下 特点： ( 1 ) 问题的非完备性。在丌放题中，要么条件不充足，要么结论不确定， 要么解题方法和依据不明确，因而其组成要素是不完备的。 ( 2 ) 问题的答案是不惟一的，具有层次性。答案的不惟一性是数学开放题 的基本特性，开放题解答的多样性，即使差生也能得到自己的解答，从而它能 够满足各种层次水平的学生的需求，使他们可以在自己的能力范围内解决问 题，从而体现出层次性。 ( 3 ) 问题的解决策略具有非常规性或不确定性。解答开放题时，往往没有 固定的、现成的解题模式可以套用，常常需要展开联想和想象，从多角度、多 侧面思考问题，因而思维方向和模式呈发散性。此外，很多开放题常常通过实 际问题提出，主体首先必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。从 而体现出创造性。 ( 4 ) 问题的研究具有探究性和发展性。对数学丌放题的研究与封闭题有很 大的不同，这主要是因为解开放题往往比解封闭题需要更多的探究性，有时发 现一个新的解答需要一种新的方法或丌拓个新的研究领域，而且开放题本身 可能引出新的问题或引申推广出更一般的问题。 ( 5 ) 问题的教学具有学生主动参与性。由于开放题没有固定的标准答案， 这就使教师在课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法。学生主动参与解题 活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的。 一般来说，对于一道数学开放题，如果它具备上述特点越多、特点越明显， 它的开放程度就越大。不过，有关数学开放题的开放程度的测量与评价，尚须 7 另作专门的研究。 ( 三) 数学开放题的类型 对数学开放题进行分类，这不但有助于我们对开放题有一个更深入的认 识，而且也有利于开放题的各种研究工作无论是开放题的理论研究，还是 开放题的编制和解答。 根据前苏联学者奥加涅相的要素分析法，数学题是各个系统： Y ，O ，P ，Z ) ， 其中J ，表示题目的条件，O 表示解题的依据，尸表示解题的方法，z 表示题目 的结论。上述系统的四个要素中有三个是未知的题称为问题性题；有两个是未 知的题为探索性题；有一个未知的题为训练性题；全部已知的题为标准性题。 o 依此，数学开放题应归属于问题性题或探索性题。因此，从构成数学题的四 要素出发，数学开放题可分为： 如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题。例如；( 1 9 9 8 年全 国高考第1 8 题) 在直四棱柱 B c l D 一A B C D 中，当底面四边形满足条件 I 时，有A C 上且D ( 注：添上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能 的情形) ： 如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题。例如：( 北京师范 大学出版社初二数学教材第1 0 0 页) 在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的 小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分( 不考虑道路的宽 度) ，你有几种方法7 ( 至少说出三种) ； 如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题。例如：( 2 0 0 1 年杭州中考 题) o O 与C D o , 外切于点，尸r 为其内公切线，A B 为其外公切线，且丘B 为 切点，B 与冲相交于点P 。根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个 正确结论，并加以证明； 如果题目的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设 毋B A 真加涅相中小学教学教学法f M l 北京；涮绘出版社，1 9 8 3 8 定与寻找，则称为综合丌放题。例如：试计算校园内小池塘中水的体积。 通过以上对数学开放题的分类讨论，有助于理解数学丌放题的内涵，有利 于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，同时有利于考试评分的可操作 性与公平性。 三、数学教学引入开放题的必要性 数学教学是否有必要引入开放题? 对此问题目前认识并不一致。一部分人 认为，开放题只适合于学有余力的学生课外研究，将其放到课堂上讨论势必影 响常规教学的丌展；而另一部分人则认为，数学教学引人开放题将对人才的培 养具有特殊意义。我们认为，数学教学引入开放题有很大的必要性。首先，我 国目前的数学教育状况存在弊端，如过于重视逻辑思维能力的培养；教学设计 是收敛的、封闭的等。随着新课程改革的试行，改革这种弊端势在必行。而进 行丌放题教学是对此进行改革的一个切入点。其次，数学开放题具有很高的教 育价值，开放题教学有利于创新型人才的培养和学生的全面发展。 ( 一) 当前数学教育存在的问题 张奠宙教授曾用西方笑话中的一道题在浙江一个小学四年级班上作测验： 一条船上载了7 5 头牛，3 4 只羊，问船长几岁? 测试的结果令人惊奇，4 5 名学 生中，只有5 个人说此题不能做，多数学生回答是4 l 岁，其次为1 0 9 岁，再 次是( 7 5 + 3 4 ) + 2 = 5 4 ，5 岁( 据报告，美国学生回答是4 1 岁的占1 0 ) 。为什么 没有确切答案的数学题学生偏偏作出了答案呢? 究其原因，学生总认为教师出 的题目都是可以做的，独立思考能力被压制了，思维比较僵化，缺少质疑和批 判意识。号称思维体操的数学，竟然把学生的思维锻炼得如此呆板，不能不说 是对数学教学的极大讽刺。 我国数学教育的一个显著特点，就是重视逻辑思维的训练，而且逻辑的地 。张羹宙主墒数学教育研究导引f M 】南京t 江棼教育J l ；版社。1 9 9 8 9 位出奇地高，“数学教学中，发展逻辑思维能力是培养能力的核心”( 九年义 务教育全同制初级中学数学教学大纲，1 9 8 8 年1 1 月) 。尽管现在提法有所改 变，但事实依然如此。由于强调逻辑思维的重要性，必然要追求数学推理的“严 谨性”，崇尚数学内容的“形式化”。“应试数学”的兴起，把数学能力简化成 “由已知条件达到所求结论的逻辑链条的构筑”。数学理解、数学应用、数学 思想被全盘弱化了。在“形式化”思潮影响下，严谨性被强调到不适当的程度。 活泼、创造性的数学思维，往往因为“不严谨”而被扼杀。 其次，我国数学教学有重视“双基”训练、重视解常规习题、考题的训练 的传统，所采用问题的共同特征往往是条件和结论之间存在着充分必然的联 系，条件一定，结论惟一。这对于培养学生的逻辑思维能力和严密的思考习惯 有重要意义，但不利于创新思维的培养。而且，受应试教育影响，我国数学教 学重视题型教学，把数学题分成不同的类型，每种类型都有相应的解题模式， 学生只需记住题型，解题时机械套用模式就能在考试中获得好成绩，这种教学 方式容易使学生形成思维定势，学生一旦遇到与题型稍微不符的问题，就容易 出现错误，不利于学生创造潜能的开发 再次，在我国，课堂教学的基本原则之一是“教师为主导，学生为主体”。 如果学生的思维活动是开放的数学地思考的过程是多样的，那么，教师的主 导作用是否也要适应这种“开放性”和“多样性”呢? 然而，从现实情况来看， 教师的教学设计，多半只考虑自己的思维过程，而想方设法把学生的思维活动 纳入自己的思路上去，这显然不是一种丌放性的、多样性的教学设计。 ( = ) 数学开放题的教育价值 数学开放题之所以成为数学教育研究的热点问题，一个重要的原因是数学 开放题在促进学生的发展方面具有封闭题所不可比拟的价值，这一点已得到国 内外数学教育界的一致认同。美国加利福尼亚州教育部于1 9 8 9 年就指出了开 放性问题的五个功能：( 1 ) 为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观 念是来表达的机会，这和他们的数学发展是一致的；( 2 ) 要求构建他们自己的 反映，而不是选择一个简单的答案；( 3 ) 允许学生表达他们对问题的深层次的 理解，这在多项选择中是无法做到的：( 4 ) 鼓励学生用不同的方法去解决问题， 0 反过来要求老师用不同的方法解释数学概念；( 5 ) 开放性问题的模式是数学课 堂教学的基本成份。o 综合国内外对数学丌放题的实验与研究，数学丌放题主要具有以下价值： l 、有利于培养学生发散思维和创造能力 由于数学丌放题的非完备性、答案的不确定性等特点，在开放题的解答过 程中，没有固定的、现成的模式可循，靠死记硬背、机械模仿很难得到问题的 解答，学生必须充分调动自己的知识储备，打破原有的思维模式，用多种思维 方法( 如联想、猜测、直觉、类比等) 进行思考和探索，因此，数学开放题有 利于培养学生发散思维能力，从而为创造能力的培养提供了可能。 2 、有利于学生形成正确的数学观念和数学意识 开放题的特性决定了开放题教学的开放性，因而在这种教学环境中，学生 是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现，学生不再是“装”数学， 而是“做”数学，这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的 活动过程，有利于形成正确的数学观念和数学意识( 如非形式化、最优化、整 体、建模、运动、变化等) 。此外，学生通过解答丌放题这种数学活动，可以 体会并掌握科学研究的一些思维方式和基本方法，如观察、分析、综合、抽象、 合情推理、实验、验证等等。 3 、有利于发展学生的元认知能力 学生解答开放题时不但要综合运用、重组已学的知识，而且时常需考虑问 题解决的途径，对自己的解题过程进行认识、评价和监控，使自己的探索过程 由起初的模糊。逐步转变成明确的计划、自觉的实施和必要的检验，从而逐步 完善自己的解答。这个过程有助于发展学生的元认知能力。 4 、有利于完善学生的认知结构 与封闭题的解决过程不同，数学开放题的解决往往没有现成的方法，需要 解题者灵活运用所学知识，进入问题的深层，触及问题的本质，从而使思维辐 射到与问题有关的各个角落。这个探索的思维过程，概括地说是由个体受到开 放题问题情景的刺激而引起的，目的是改变原有的知识框架( 解题方法) ，创 。敲再平主编开放艘数学教学的新模式【M 】J ：海卜L 海教育版社t 2 0 0 2 l l 造新的方法。这个过程本质上是一个顺应的过程，即学生通过顺应来主动建构 新的认知结构，因此有利于完善学生的认知结构。 5 、有利于保障学生的主体地位，促进学生主体意识 开放题独特的叙述方式、极富挑战性的解题策略，易于激发学生的好奇心 和求知欲；开放题的开放性决定了没有现成的固定的解题模式。需要学生独立 地进行探索，这就为主动学习创造了条件。从教学的角度看，没有学生的积极 参与，不可能有真正意义上的开放题教学，因而开放题教学有利于保障学生的 主体地位，使学生真正成为学习的主人。 6 、开放题的教学有利于学生体验成功，树立信心，产，土学习数学的兴趣 因为丌放题具有宽松的解题环境和答案的多样性，所以学生可以根据自己 的经验、知识水平、认知能力，按自己的意愿选择思维方式解决问题。这样， 不同水平层次的学生能给出适合自己现实水平的解答，从而使每位学生都能享 受到“做数学”成功的乐趣，培养他们对数学的积极态度，增强他们学习数学 的自信心。 因此，针对上述数学教育中存在的问题，同时为了适应新课程改革、培养 顺应时代发展的创新型人才的需要，就应充分发挥数学开放题的作用。积极进 行“丌放题”教学。教学从问题开始，如果问题本身是刃I 放的，适合各类学生 参与的，问题的答案是多样的，那么，“满堂灌”式的教学，“直线型”的思维 过程就无法适应了。 四、数学开放题教学情况调查 由前述分析可知，数学教学有必要引入开放题，但实际的数学开放题教学 情况怎样? 为此，笔者作了相关的调查。 ( 一) 调查形式及内容 1 、问卷调查。调查对象选取武汉华一寄宿学校、浃山中学等9 所中学的 数学教师。为了提高调查的效度，所选中学既有市重点中学，又有一般普通中 1 2 学。为了提高调查的可信度，调查采用了不记名，统一答卷，统一回收的方式 进行，共发放问卷1 1 0 份，收回有效问卷9 l 份。问卷调查主要包括以下内容： ( 1 ) 对数学开放题的认识；( 2 ) 对数学开放题教学意义的认可：( 3 ) 数学开 放题教学实施情况；( 4 ) 教师的教学观念。 2 、访谈。为配合问卷调查，同时进行了访谈，邀请华一寄宿学校初二、 初三各两位数学骨干教师，请他们谈对数学- 丌放题教学的看法和建议。 ( 二) 调查结果及分析 对初中教师和高中教师的调查结果表现出极大的相似，这里把它们统整到 一张表上，表内只给出各项所占百分比，具体题目见附录。 1 、对数学开放题的认识。 问题2 的调查显示，2 6 9 的教师对开放题非常了解；6 7 2 的教师基本了解。随着开放题进 入中、高考和教材，可见大部分 教师对开放题这一题型有所了 解。但仍有5 9 的教师不了解。 在对数学开放题的态度上，问题3 的数据显示，5 7 1 的教师对开放 题感兴趣，说明大部分教师对开 放题报以积极的态度。 2 、对数学开放题教学意义的 认可 问题4 的调查表明，8 9 7 的 教师对此有肯定的回答。可见绝 大部分教师已认识到数学开放题 愁 ABCDE 20 2 6 90 6 7 20 0 5 9 30 5 7 10 4 1 4O 0 1 5 40 8 9 70 0 7 40 0 2 9 50 2 9 4O 1 6 7O 1 8 6O 1 7 20 1 8 1 6O 1 5 5O 8 1 70 0 2 8 70 6 9 6 0 1 7 4O 1 3 0 8O 1 8 8 0 2 3 20 4 6 4O 1 1 6 90 3 4 10 2 7 60 2 0 60 0 6 90 1 0 8 1 00 0 7 5O 7 7 60 1 4 9 1 l0 0 1 2O 7 30 2 5 8 1 20 2 4 2O 2 1 60 2 0 6O 1 9 lO 1 4 5 1 3O 3 5 1O 2 70 3 6 5O 0 1 4 的价值，认为数学教学有必要引入( 注：f 一题号厂_ 一分布x 一选项) 开放题。问题5 的回答进一步表明了对数学开放题教学的意义的认识，选项最 多的是有利于学生发散思维和创造能力的培养，其次是有利于师生、生生之间 的合作与交流。 3 、数学开放题教学实施情况 开放题如何进入日常数学教学? 这是目l j 对数学开放题研究较薄弱的一 个方面，而且又是一个非常关键的问题，否则，对数学开放题的研究并无多大 实际意义。问题6 的调查显示，8 1 7 的教师认为，在引入新课、例题讲解是 如果有好的开放题，偶尔使用；仅有1 5 5 的教师认为能引起学生兴趣，经常 使用；仍有2 8 的教师认为开放题教学较费时间，不使用。由此可见，开放 题在数学教学中还未占据重要地位，要使教师进行开放题教学成为自觉行为， 尚需一段时间。通过对问题7 的调查，6 9 6 的教师处理教材中开放题时，能 积极引导学生探究，师生互动，但仍有3 1 4 的教师对此报以消极的态度。当 问及教师编制开放题情况时，问题8 显示，仅有1 8 8 的教师经常由教材中的 例、习题改编成开放题，绝大部分教师，要么偶尔编制、使用过。要么使用过 现成的，但自己从未编制过。可见，教师编制丌放题的状况很不理想，主要原 因可能是教师编制开放题的能力还较差，不懂开放题的编制方法。 教师在进行开放题教学时会遇到多种困难。通过问题9 的调查，3 4 1 的 教师认为开放题教学费时多，而常规教学任务重，这主要由于中、高考的影响， 教师要花很多时间来提高学生的分数；2 7 6 的教师认为开放题教学没有固定 操作模式，很难进行，因此研究开放题教学的操作模式显得重要；其他的困难 主要涉及教师自身的素质、备课难、开放题教学的评价机制不健全等。 通过问卷调查及对四位教师的访谈，大部分教师虽对开放题及开放题教学 给以较高的评价，但对目前数学开放题教学实施的现状表示不乐观主要原因 是：中、高考的重要导向作用。相当一部分教师认为，目前考试中主要是封 闭题，如果中、高考加强数学开放题的考查，就重视开放题教学：数学开放 题的教学没有固定的操作模式，要求教师具有较高的素质；适合数学课堂教 学的现成的开放题较少，而教师编制开放题的能力较差：数学开放题的教学 要求教师要有开放式的教学观念，而大多数教师仍抱守旧有的教学观念，仍去 做知识传授型的教师。但通过问题1 3 的调查。一部分教师表示在今后的教学 中会积极进行开放题的教学。 4 、教师的教学观念 1 4 是否提倡开放题教学本质上反映了教师的教学观念，因为开放题教学不仅 仅是一种题型的教学，更重要的是开放题教学是符合新课程改革的一种教学模 式。它体现了教师的教学思想。能否拥有- 丌放的、现代的教学观念是实施开放 题教学成功的关键。通过问题1 0 、l l 的调查，大部分教师对当前所倡导的自 主学习、探究学习和合作学习等学习方式