教学课件PPT线性规划.ppt

,运筹学 operations research,chapter 1 线性规划 linear programming,1.1 lp的数学模型 mathematical model of lp 1.2 图解法 graphical method 1.3 标准型 standard form of lp 1.4 基本概念 basic concepts 1.5 单纯形法 simplex method,1.1 数学模型 mathematical model,2019年11月1日星期五,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。,线性规划（linear programming,缩写为lp）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。,2019年11月1日星期五,【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备a、b上加工，需要消耗材料c、d，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,1.1.1 应用模型举例,2019年11月1日星期五,表1.1 产品资源消耗,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,最优解x=(50,30,10);z=3400,2019年11月1日星期五,线性规划的数学模型由,决策变量 decision variables 目标函数objective function 及约束条件constraints 构成。称为三个要素。,其特征是： 1解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。,表1.2 营业员需要量统计表,商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,【解】 设xj(j=1，2，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,最优解：,z617（人）,2019年11月1日星期五,【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？,表13 下料方案,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,解设xj(j=1,2,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,z812.5,2019年11月1日星期五,【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。,表1.4 矿石的金属含量,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,解: 设xj（j=1,2，5）是第j 种矿石数量,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,2019年11月1日星期五,【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。,第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5,第一年：x1+x2=200(万元),第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2,第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1,第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3,到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,【解】设 x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金,2019年11月1日星期五,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,最优解：,z 416.26万元,x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金 x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金 x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金 x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金 x9：第五年的保留资金,2019年11月1日星期五,【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备a、b上加工，每件甲零件在a、b上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在a、b上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备a和3台设备b，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。 【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是,设备a、b每天加工工时的约束为,要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,目标函数线性化。产品的产量y等价于,整理得到线性规划模型,约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,1.1.2 线性规划的一般模型 假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj, j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,在实际中一般xj0,但有时xj0或xj无符号限制。,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,2019年11月1日星期五,1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子 2.线性规划数学模型的组成及其特征 3.线性规划数学模型的一般表达式。,1.1 线性规划的数学模型 mathematical model of lp,下一节：图解法,1.2 图解法 graphical method,2019年11月1日星期五,图解法的步骤：,1.求可行解集合。满足所有约束条件的解的集合，称为可行解集，或称为可行域。；,2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；,3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域边界相交的点对应的坐标就是最优解。,一般地，将目标函数直线放在可行域中 求最大值时直线沿着矢量方向移动 求最小值时沿着矢量的反方向移动,1.2 图解法 the graphical method,2019年11月1日星期五,x1,x2,o,10,20,30,40,10,20,30,40,(3,4),(15,10),最优解x=(15,10),最优值z=85,例1.7,1.2 图解法 the graphical method,2019年11月1日星期五,2,4,6,x1,x2,2,4,6,最优解x=(3,1) 最优值z=5,(3,1),min z=x1+2x2,例1.8,(1,2),1.2 图解法 the graphical method,2019年11月1日星期五,2,4,6,x1,x2,2,4,6,x（2）（3,1）,x（1）（1,3）,(5,5),min z=5x1+5x2,例1.9,有无穷多个最优解 即具有多重解,通解为,01,当=0.5时 =(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2),1.2 图解法 the graphical method,2019年11月1日星期五,2,4,6,x1,x2,2,4,6,(1,2),无界解(无最优解),max z=x1+2x2,例1.10,2019年11月1日星期五,x1,x2,o,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解 即无最优解,max z=10x1+4x2,例1.11,1.2 图解法 the graphical method,2019年11月1日星期五,由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：,1.有唯一最优解(例1.7例1.8),2.有多重解(例1.9),3.有无界解(例1.10),4.无可行解(例1.11),1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解,1.2 图解法 the graphical method,2019年11月1日星期五,1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动,1.2 图解法 the graphical method,下一节：线性规划的标准型,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,线性规划问题的标准型为: 1目标函数求最大值（或求最小值） 2约束条件都为等式方程 3变量xj非负 4常数bi非负,2019年11月1日星期五,max(或min)z=c1x1+c2x2+cnxn,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,或写成下列形式：,或用矩阵形式,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,一般情况mn，且r()m。,其中:,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,【例1.12】将下列线性规划化为标准型,【解】（）令,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,(3)第二个约束条件是号，在号 左端减去剩余变量(surplus variable)x5，x50。也称松驰变量,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,(2) 第一个约束条件是号，在左端加入松驰变量 (slack variable) x4，x40,化为等式；,(4)第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在左边加入松驰变量x6，x60，同时两边乘以1。,（5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=z,得到max z=z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然。,2019年11月1日星期五,综合起来得到下列标准型,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,当某个变量xj0时,令x/j=xj 。 当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束,将其化为两个不等式,再加入松驰变量化为等式。,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,【例1.13】将下例线性规划化为标准型,【解】 此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。 令,则有,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,得到线性规划的标准形式,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,2019年11月1日星期五,1.如何化标准形式？,可以对照四条标准逐一判断！,标准形式是人为定义的，目标函数可以是求最小值。,2.用winqsb软件求解时，不必化成标准型。,图解法时不必化为标准型。,3.单纯形法求解时一定要化为标准型。,1.3 线性规划的标准型 standard form of lp,下一节：基本概念,1.4 线性规划的有关概念 basic concepts of lp,2019年11月1日星期五,设线性规划的标准型 max z=cx （1.1） ax=b （1.2） x 0 （1.3） 式中a 是mn矩阵，mn并且r（a）=m，显然a中至少有一个mm子矩阵b，使得r（b）=m。,1.4 基本概念 basic concepts,基 (basis)a中mm子矩阵b并且有r（b）=m，则称b是线性规划的一个基（或基矩阵basis matrix ）。当m=n时，基矩阵唯一，当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过,2019年11月1日星期五,【例1.14】线性规划,求所有基矩阵。,【解】约束方程的系数矩阵为25矩阵,容易看出r(a)=2，2阶子矩阵有c52=10个，其中第1列与第3列构成的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,由线性代数知，基矩阵b必为非奇异矩阵（|b|0）。,当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基向量(basis vector)，其余列向量称为非基向量,基向量对应的变量称为基变量(basis variable)，非基向量对应的变量称为非基变量,在上例中b2的基向量是a中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基变量。,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,可行解(feasible solution) 满足约束条件的解x=（x1,x2，xn)t 称为可行解 。,基本可行解(basis feasible solution) 若基本解是可行解则称为是基本可行解（也称基可行解）。,例如， 与x=（0，0，0，3，2，）都是例1 的可行解。,基本解(basis solution) 对某一确定的基b，令非基变量等于零，所得的唯一解，称为基的基本解。,最优解(optimal solution) 使得目标函数达到最大的可行解称为最优解，例如可行解 是例2的最优解。,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,在例1.13中，对来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变量，令x3=x4=x5=0，则式（1.）为,对b2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式 （1.2）得到 ，x4=4，,因|b1|，x1、x2有唯一解x12/5,x2=1则 基本解为,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,由于 是基本解，从而它是基本可行解，在 中x10,因此不是可行解，也就不是基本可行解。,反之，可行解不一定是基本可行解 例如 满足式（1.2）（1.3），但不是 任何基矩阵的基本解。,基本解为,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,可行基 基可行解对应的基称为可行基； 最优基基本最优解对应的基称为最优基； 如上述b3就是最优基，最优基也是可行基。,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,凸集(convex set)设k是n维空间的一个点集，对任意两点 时，则称k为凸集。,就是以x（1）、x（2）为端点的线段方程，点x的位置由的值确定，当=0时，x=x（2），当=1时x=x（1）,凸组合(convex combination) 设 是rn 中的点若存在 使得 成立， 则称x为 的凸组合。,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,极点(extreme point) 设k是凸集， ，若x不能用k中两个不同的 点 的凸组合表示为,则称x是k的一个极点或顶点。,x是凸集k的极点即x不可能是k中某一线段的内点，只能是k中某一线段的端点。,o,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,【定理1.1】 若线性规划可行解k非空,则k是凸集。,【定理1.2】线性规划的可行解集合k的点x是极点的充要条件为x是基本可行解。,【定理1.3】若线性规划有最优解,则最优值一定可以在可行解集合的某个极点上到达。,线性规划的基本定理,1.4 基本概念 basic concepts,2019年11月1日星期五,1. 线性规划常用的概念：可行解、基本解、最优解、基本最优解、基、可行基、最优基、凸集、极点（凸点）、凸组合,2.线性规划的三个基本定理。,1.4 基本概念 basic concepts,下一节：单纯形法,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,单纯形计算方法(simplex method)是先求出一个初始基可行解并判断它是否最优，若不是最优，再换一个基可行解并判断，直到得出最优解或无最优解。,【例1.15】用单纯形法求下列线性规划的最优解,1.5 单纯形法 simplex method,1.5.1 普通单纯形法,2019年11月1日星期五,【解】化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为,系数矩阵a及可行基b1,r(b1)=2，b1是一个初始基,x3、x4为基变量，x1、x2为非基变量，令x1=0、x2=0由约束方程知x3=40、x4=30得到初始基本可行解,x(1)=(0,0,40,30)t,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,以上得到的一组基可行解是不是最优解，可以从目标函数中的系数看出。目标函数 z=3x1+4x2中x1的系数大于零，如果x1为一正数，则z的值就会增大，同样若x2不为零为一正数，也能使z的值增大；因此只要目标函数中非基变量的系数大于零，那么目标函数就没有达到最大值，即没有找到最优解，判别线性规划问题是否达到最优解的数称为检验数，记作j , j=1,2,n。,本例中 1=3, 2=4, 3=0, 4=0。参看表1.4（a）。,最优解判断标准 当所有检验数 j0（j=1，n）时，基本可行解为最优解。,当目标函数中有基变量xi时，利用约束条件将目标函数中的xi消去即可求出检验数。,1.5 单纯形法 simplex method,检验数 目标函数用非基变量表达时的变量系数,2019年11月1日星期五,进基列,出基行,bi /ai2，ai20,i,表1-4,基变量,1,10,0,0,1/3,0,1/3,10,5/3,1,-1/3,40,5/3,0,-4/3,30,1,0,3/5,-1/5,18,0,1,-1/5,2/5,4,0,0,-1,-1,将3化为1,乘以1/3后得到,1.5 单纯形法 simplex method,30,18,2019年11月1日星期五,最优解x=(18，4，0，0)t，最优值z=70,o,20,30,10,40,(3,4),x(3)=(18,4),最优解x=(18,4),最优值z=70,x(1)=(0,0),20,10,x2,x1,30,1.5 单纯形法 simplex method,x(2)=(0,10),2019年11月1日星期五,单纯形法全过程的计算，可以用列表的方法计算更为简洁，这种表格称为单纯形表（表1.4）。,计算步骤：,1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零；,2.判断： （a）若j（j，n）得到最解； （b）某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解(见例1.18)。 （c）若存在k0且aik (i=1,m)不全非正，则进行换基；,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,第个比值最小 ，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。alk为主元素；,(c）求新的基可行解：用初等行变换方法将alk 化为,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。,（b）选出基变量 ，求最小比值：,1.5 单纯形法 simplex method,3.换基： （a）选进基变量 设 k=max j | j 0,xk为进基变量,2019年11月1日星期五,【例1.16】 用单纯形法求解,【解】将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表 1.所示 。,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,表15,1/3,1,5,0,1,20,3,0,17,1,3,75,1/3,0,9,0,2,m,20,25,60,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,1/9,2/3,35/3,0,0,98/9,1/9,7/3,最优解x=(25，35/3，0，0，0)t，最优值z=145/3,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,【例1.17】用单纯形法求解,【解】 这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题求解,也可以直接求解,这时判断标准是：j0(j=1，n)时得到最优解。 容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入目标函数消去x4得,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,表中 j0,j=1,2,5所以最优解为x=(0,5,0,1,11,)最优值 z=2x12x2x4=251=11 极小值问题,注意判断标准,选进基变量时,应选 j0的变量xj进基。,1.5 单纯形法 simplex method,表1.6,2019年11月1日星期五,【例1.18】求解线性规划,【解】化为标准型,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,初始单纯形表为, 2=10, x2进基，而a120，a220，没有比值，从而线性规划的最优解无界。由模型可以看出，当固定x1使x2+且满足约束条件，还可以用图解法看出具有无界解。,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,【例1.19】求解线性规划,【解】:化为标准型后用单纯形法计算如下表所示,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,表 (3)中 j全部非正,则最优解为:,表 (3)表明,非基变量x3的检验数 3=0, x3若增加,目标函数值不变, 即当x3进基时z仍 等于20。使x3进基 x5出基继续迭代 ,得到表(4)的另一 基本最优解,x(1),x(2)是线性规划的两个最优解，它的凸组合,仍是最优解，从而原线性规划有多重最优解。,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数 非零,则线规划具有唯一最优解 。 多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解。 无界解的判断: 某个 k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解 退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,【例1.20】用大m法解 下列线性规划,1. 大m 单纯形法,1.5.2大m和两阶段单纯形法,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,【解】首先将数学模型化为标准形式,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,最优解x（31/3，13，19/3，0，0)t；最优值z152/3,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,【例1.21】求解线性规划,【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型,在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上m x5一项，得到,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,用单纯形法计算如下表所示。,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,表中 j0，j=1，2，5，从而得到最优解x=（2，0，0，0，2）， z=10+2m。但最优解中含有人工变量x50说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原问题无可行解。,将问题分成两个阶段求解，第一阶段的目标函数是,约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可行解，第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解。当第一阶段的最优解w0时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原问题无可行解。,1.5 单纯形法 simplex method,2. 两阶段单纯形法,2019年11月1日星期五,【例1.22】用两阶段单纯形法求解例19的线性规划。 【解】标准型为,在第一、三约束方程中加入人工变量x6、x7后，第一阶段问题为,用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下：,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,最优解为 最优值w=0。第一阶段最后一张最优表说明找到了原问题的一组基可行解，将它作为初始基可行解，求原问题的最优解，即第二阶段问题为,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,用单纯形法计算得到下表,最优解x（31/3，13，19/3，0，0)t；最优值z152/3,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,【例1.23】用两阶段法求解例1.21的线性规划。 【解】例1.21的第一阶段问题为,用单纯形法计算如下表：,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五, j0,得到第一阶段的最优解x=(2,0,0,0,2)t,最优目标值w=20,x5仍在基变量中,从而原问题无可行解。,1.5 单纯形法 simplex method,2019年11月1日星期五,解的判断,唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数小于0,则线 规划具有唯一最优解,多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线性规划具有多重最优解。,无界解的判断: 某个k0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解,退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。,无可行解的判断：(1)当用大m单纯形法计算得到最优解并且存在ri0时，则表明原线性规划无可行解。 (2) 当第一阶段的最优值w0时，则原问题无可行解。,1.5 单纯形法 sim