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PKU 高等数学公式手册 概念定理公式 WSM 2007.12 适用于北京大学高等数学 B 和 C 及全国硕士研究生入学统一考试数学一和数学二的复习备考 高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM I 目录目录 （一）三角函数公式 . 1 1同角三角函数间的基本关系式 1 2诱导公式 1 3加法公式 1 4和差化积公式 1 5积化和差公式 1 6倍角公式 2 7半角公式 2 8降幂公式 2 9万能公式 2 10辅助角公式 2 11反三角函数性质 2 12正弦定理 2 13余弦定理 3 （二）常用不等式 . 3 1涉及绝对值的不等式 3 2伯努利（Bernoulli）不等式 . 3 3均值不等式（HM-GM-AM-QM 不等式） 3 4涉及三角函数的不等式 3 （三）二项式定理（牛顿公式） . 3 （一）极限 . 4 1基本概念 4 2基本性质与存在条件 4 3几个重要极限 5 4极限的四则运算 5 5无穷小和无穷大 5 （二）连续 . 6 1函数的连续性 6 2函数的间断点 6 3闭区间上连续函数的性质 7 （一）导数（或微商） . 8 1基本概念 8 2基本初等函数导数公式 8 3导数运算法则 8 （二）微分 . 9 1基本概念 9 2基本初等函数微分公式 9 3微分运算法则 10 （三）微分中值定理及其应用 . 10 1微分中值定理 10 2泰勒（Taylor）定理 10 高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM II 3洛必达（LHpital）法则 . 11 （四）导数及微分的应用 11 1微分在近似计算中的应用 11 2利用导数研究函数及平面曲线的性态 11 3平面曲线的曲率 12 （一）不定积分 . 14 1基本概念与性质 14 2基本积分公式 14 3基本积分法 14 4扩展积分公式 15 5几种特殊类型函数的积分 15 （二）定积分 . 16 1基本概念与性质 16 2微积分基本公式 17 3定积分的计算 17 4定积分的应用 18 （三）广义积分 . 20 1无穷积分 20 2瑕积分 21 （一）向量代数 . 23 1向量的线形运算 23 2向量的坐标 23 3向量的数量积、向量积与混合积 24 4向量的关系 24 （二）空间平面与直线 . 25 1平面方程 25 2直线方程 25 3直线、平面间的关系 26 （三）空间曲面与直线 . 27 1空间曲面方程 27 2空间曲线方程 27 3常见曲面与曲线 27 （一）多元函数的基本概念 . 29 1区域 29 2二元函数的极限 29 3二元函数的连续性 30 （二）偏导数与全微分 . 30 1偏导数（或偏微商） 30 2全微分 31 （三）方向导数与梯度 . 31 1方向导数（或方向微商） 31 2梯度 32 （四）复合函数及隐函数的微分法 . 32 1复合函数的微分法 32 高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM III 2隐函数的微分法 33 3二元函数的泰勒公式 33 （五）空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线 34 1空间曲线的切线与法平面 34 2曲面的切平面与法线 35 （六）多元函数微分学在极值问题中的应用 . 35 1二元函数的极值 35 2条件极值问题 35 3用最小二乘法求经验公式 36 （一）二重积分 . 37 1基本概念与性质 37 2二重积分的计算 37 3二重积分的应用 39 （二）三重积分 . 39 1基本概念与性质 39 2三重积分的计算 40 3三重积分的应用 41 （三）第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 42 1基本概念与性质 42 2第一型曲线积分的计算 43 3第一型曲线积分的应用 43 （四）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 43 1基本概念与性质 43 2第二型曲线积分的计算 44 3两类曲线积分之间的关系 45 4格林（Green）公式及其应用 45 （五）第一型曲面积分（对面积的曲面积分） 46 1基本概念与性质 46 2第一型曲面积分的计算 46 3第一型曲面积分的应用 46 （六）第二型曲面积分（对坐标的曲面积分） 47 1基本概念与性质 47 2第二型曲面积分的计算 47 3两类曲面积分之间的关系 48 4高斯（Gauss）公式通量与散度. 48 5斯托克斯（Stokes）公式环量与旋度 49 （一）数项级数 . 51 1数项级数的概念和性质 51 2正项级数 51 3交错级数 52 4任意项级数 53 （二）幂级数 . 53 1函数项级数的有关概念 53 2幂级数的有关概念 53 高等数学公式手册高等数学公式手册 by WSM IV 3幂级数的性质 54 4函数的幂级数展开 55 （三）傅里叶级数（傅氏级数） . 56 1三角函数系的正交性 56 2周期为 2 的函数的傅里叶级数 56 3周期为 2l 的函数的傅里叶级数 . 57 4定义在-l,l或0,l上的函数的傅里叶级数 58 5傅里叶级数的复数形式与频谱分析 59 （一）一阶微分方程的解法 . 61 1基本类型的微分方程 61 2可化为基本类型的微分方程 62 （二）线形微分方程的概念和解的性质 . 63 1线性微分方程的概念 63 2线性微分方程解的叠加原理 63 3线性微分方程解的结构 63 （三）二阶线性常系数微分方程 . 64 1二阶线性常系数齐次微分方程的解法 64 2二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 64 3欧拉（Euler）方程及其解法 65 4微分方程的幂级数解法 65 一、基础准备一、基础准备 - 1 - 一、基础准备一、基础准备 （一）三角函数公式（一）三角函数公式 1同角三角函数间的基本关系式同角三角函数间的基本关系式 （1）平方关系 22 sincos1 22 tan1sec 22 cot1csc （2）积的关系 sintancos coscotsin tansinsec cotcoscsc sectancsc csccotsec （3）倒数关系 tancot1 sincsc1 cossec1 2诱导公式诱导公式 函数 角 A sin cos tan cot - -sin cos -tan -cot /2- cos sin cot tan /2+ cos -sin -cot -tan - sin -cos -tan -cot + -sin -cos tan cot 3/2- -cos -sin cot tan 3/2+ -cos sin -cot -tan 2- -sin cos -tan -cot 2+ sin cos tan cot 口诀： “奇变偶不变，符号看象限” 3加法公式加法公式 sin()sincoscossin cos()coscossinsin tantan tan() 1tantan cotcot1 cot() cotcot 4和差化积公式和差化积公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 5积化和差公式积化和差公式 1 sincossin()sin() 2 1 cossinsin()sin() 2 1 coscoscos()cos() 2 1 sinsincos()cos() 2 一、基础准备一、基础准备 - 2 - 6倍角公式倍角公式 （1）二倍角 2 2tan sin22sincos 1tan 2222 cos2cossin2cos1 12sin 2 2tan tan2 1tan 2 cot1 cot2 2cot 2 2 seccottan sec2 1tancottan 11 csc2seccsc(tancot) 22 （2）三倍角 3 sin34sin3sin 3 cos34cos3cos 3 2 3tantan tan3 13tan 3 2 cot3cot cot3 3cot1 7半角公式半角公式 1cos sin 22 1cos cos 22 1cos1cossin tan 21cossin1cos 1cos1cossin cot 21cossin1cos 8降幂公式降幂公式 2 1 sin(1 cos2 ) 2 2 1 cos(1cos2 ) 2 3 1 sin(3sinsin3 ) 4 3 1 cos(3coscos3 ) 4 4 1 sin(34cos2cos4 ) 8 4 1 cos(34cos2cos4 ) 8 9万能公式万能公式 2 2tan 2 sin 1tan 2 2 2 1tan 2 cos 1tan 2 2 2tan 2 tan 1tan 2 10辅助角公式辅助角公式 22 sincossin() (tan) B ABAB A 11反三角函数性质反三角函数性质 arcsinarccos 2 arctanarccot 2 12正弦定理正弦定理 2 () sinsinsin abc R R ABC 为三角形外接圆半径 一、基础准备一、基础准备 - 3 - 13余弦定理余弦定理 222 2coscababC （二）常用不等式（二）常用不等式 1涉及绝对值的不等式涉及绝对值的不等式 abab abab 1212nn aaaaaa 2伯努利伯努利（Bernoulli）不等式）不等式 (1)1,1 n xnxx 3均值不等式（均值不等式（HM-GM-AM-QM 不等式）不等式） 对 于 多 个 非 负 实 数 ， 其 最 小 值 调 和 均 值 几 何 均 值 算 术 均 值 加 权 均 值 最 大 值 （ 或 MinHMGMAMQMMax） ，即： 对于n个非负实数 i a，有： 2 min( )max( ) () 1 ii n iiii i aa n aaaa nn a 当且仅当所有 相等时等号成立 特别地，对于两个非负实数a和b，有： 22 2 min( , )max( , ) () 22 ababab a baba bab ab 当且仅当时等号成立 4涉及三角函数的不等式涉及三角函数的不等式 sintan ,0, 2xxxx sin,Rxxx （三）二项式定理（牛顿公式）（三）二项式定理（牛顿公式） 122 0 (1)(1)(1) () () 2! n nkn kknnnn kkn n k n nn nnk abC abanabababbn k 为正整数 二、函数二、函数 极限极限 连续连续 - 4 - 二、函数二、函数 极限极限 连续连续 （一）极限（一）极限 1基本概念基本概念 （1）极限的定义 设( )f x在 0 x的某个去心邻域内有定义， 若存在常数A，对于0 ，0 ，使得当 0 0xx时， ( )f xA恒成立，则称A为当 0 xx的函数( )f x的极限，记作 0 lim( ) xx f xA 或 0 ( ) ()f xA xx。 设( )f x在(, )a及( ,)b 上有定义，若存在常数A，对于0 ，0X，使得当x X时， ( )f xA恒成立，则称A为当x时函数( )f x的极限，记作lim ( ) x f xA 或( ) ()f xA x。 （2）单侧极限 设( )f x在 0 ( ,)a x上有定义，若存在常数A，对于0 ，0 ，使得当 0 0xx时，( )f xA 恒成立，则称A为函数( )f x在 0 xx处的左极限，记作 0 0 lim( ) xx f xA 或 0 (0) f xA。 设( )f x在 0 (, )x b上有定义，若存在常数A，对于0 ，0 ，使得当 0 0xx时，( )f xA 恒成立，则称A为函数( )f x在处的右极限，记作 0 0 lim( ) xx f xA 或 0 (0) f xA。 设( )f x在上有定义，若存在常数A，对于0 ，0X，使得当xX时，( )f xA恒 成立，则称A为当x时函数( )f x的极限，记作lim( ) x f xA 或( ) ()f xA x。 设( )f x在上有定义，若存在常数A，对于0 ，0X，使得当xX时，( )f xA恒成 立，则称A为当x时函数( )f x的极限，记作lim( ) x f xA 或( ) ()f xA x。 2基本基本性质性质与存在条件与存在条件 （1）基本性质 唯一性：在自变量的一个变化过程中（ 0 xx或x） ，若函数的极限存在，则此极限唯一。 有界性：若 0 lim( ) xx f xA 或（lim ( ) x f xA ） ，则0 （或0X）及0M，使得( )f x在 00 () Uxx （或xX）上恒有( )f xM。 保序性：设 0 () lim( ) xx x f xA ， 0 () lim( ) xx x g xB ，若AB，则0 （或0X） ，使得( )f x在 （或xX）上恒有( )( )f xg x；若0 （或0X） ，使得( )f x在 00 () Uxx （或xX）上恒有 0 xx ),(a ),( b )( 00 xxU 二、函数二、函数 极限极限 连续连续 - 5 - ( )( )f xg x，则AB。 （2）极限的存在条件 极限存在的充分必要条件： i 000 00 lim( )lim( )lim( ) xxxxxx f xf xAf xA iilim( )lim( )lim ( ) xxx f xf xAf xA 极限存在的准则 i夹逼定理夹逼定理：若在 00 () Uxx （或0xX）上，恒有( )( )( )g xf xh x，且 00 ()() lim( )lim( ) xxxx xx g xh xA ， 则 0 () lim( ) xx x f xA 。 ii单调有界准则单调有界准则：单调上升（下降）且有上界（下界）的序列必有极限。 3几个重要极限几个重要极限 0 sin lim1 x x x 1 0 1 lim 1lim 1e2.718 x y xy y x 0 ln(1) lim1 x x x 0 log (1)1 lim ln a x x xa 0 e1 lim1 x x x 0 1 limln x x a a x 0 (1)1 lim x x x 4极限的四则运算极限的四则运算 设在自变量的同一个变化过程中（ 0 xx或x） ，l i m () fxA ，lim ( )g xB，则有： 和差：lim ( )( )lim ( )lim ( )f xg xf xg xAB 积 ：l i m ()() l i m() l i m() fxgxfxgxAB， 特 别 地l i m()l i m() ()c fxcfxc Ac为常数， lim ( )lim( ) () nnn f xf xAn为正整数 商：若lim ( )0g xB，则 ( )lim( ) lim ( )lim ( ) f xf xA g xg xB 5无穷小和无穷大无穷小和无穷大 （1）无穷小 定义：极限为0的变量即无穷小（即lim ( )xA常数0也是无穷小） lim ( )( )( )f xAf xAx 无穷小的运算： i有限多个无穷小的和仍为无穷小 ii有限多个无穷小的积仍为无穷小 iii有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小 无穷小的比较： 二、函数二、函数 极限极限 连续连续 - 6 - 高阶无穷小： ( ) lim0( )( ( ) ( ) x xox x 低阶无穷小： ( ) lim( )( ( ) ( ) x xox x 同阶无穷小： ( ) lim0 () ( ) x cc x 为常数 等价无穷小等价无穷小： ( ) lim1( ) ( ) ( ) x xx x 若( ) ( )xx，则有：lim ( ) ( )lim ( ) ( )x f xx f x； ( ) ( )( ) ( ) limlim ( )( ) x f xx f x g xg x ； ( )( ) limlim ( ) ( )( ) ( ) f xf x x g xx g x 常用等价无穷小 sin tanxxx ln(1) xx e 1 x x (1) 1xx 2 1 1cos 2 xx 3 1 sin 6 xxx （2）无穷大 定义：绝对值无限增大的变量即为无穷大（即lim ( )x） 。 无穷小和无穷大的关系： 1 lim ( )lim0 ( ) x x ； 1 lim ( )0( )0lim ( ) xx x 且 （二）连续（二）连续 1函数的连续性函数的连续性 （1）定义 0 00 lim( )()( ) xx f xf xf xx 在 处连续 0 00 -0 lim( )()( ) xx f xf xf xx 在 处左连续， 0 00 0 lim( )()( ) xx f xf xf xx 在 处右连续。 （2）函数连续的条件 00 ( )( )f xxf xx在 处连续在 处既左连续又右连续 （3）运算 有限多个在同一点连续的函数之和，仍在该点处连续 有限多个在同一点连续的函数之积，仍在该点处连续 若( )f x与( )g x均在 0 x处连续，且( )0g x ，则( )/( )f xg x也在处连续 （4）复合函数与初等函数的连续性 设( )ux在点 0 xx处连续，且 00 ()xu，若( )yf u在点 0 uu处连续，则 ( )yfx在点 0 xx处连 续。 一切初等函数在其定义域上都连续。 2函数的间断点函数的间断点 （1）定义：若( )f x在处不连续，则称 0 x为( )f x的间断点，包括下列三种情况： （i）( )f x在 0 x处无定义； （ii）( )f x在 0 x处有定义， 但 0 lim( ) xx f x 不存在；（iii）( )f x在 0 x处有定义， 且 0 lim( ) xx f x 存在， 但 0 0 lim( )() xx f xf x 。 （2）间断点的类型 0 x 0 x 二、函数二、函数 极限极限 连续连续 - 7 - 第一类间断点第一类间断点：( )f x在 0 x处的左、 右极限 0 0 lim( ) xx f x 和 0 0 lim( ) xx f x 都存在。 左、 右极限相等但不等于 0 ()f x （或( )f x在 0 x处无定义）的称为可去间断点可去间断点，不相等的称为跳跃间断点。 第二类间断点第二类间断点：( )f x在 0 x处的左、 右极限 0 0 lim( ) xx f x 和 0 0 lim( ) xx f x 至少有一个不存在。 无穷间断点与振荡 间断点都属于第二类间断点。 3闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 最大值和最小值定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。 有界性定理：闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界。 介值定理：设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，且( )( )f af b，则对于( )f a和( )f b之间的任一实数c，至 少存在一点( , )a b，使( )fc。 i推论 1：设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，且( )( )0f af b，则至少存在一点( , )a b，使( )0f。 ii推论 2：设函数( )f x在闭区间 , a b上连续，则对介于其最小值m和最大值M之间的任一实数d，至少存 在一点( , )a b，使( )fd。即在闭区间上连续的函数闭区的介于最大值和最小值之间的任何值。 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 8 - 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 （一）（一）导数导数（或微商）（或微商） 1基本概念基本概念 （1）导数的定义 设( )yf x在 0 x的某邻域内有定义，若 00 00 ( )() limlim xx f xxf xy xx 存在，则称( )f x在 0 xx处可导， 该极限值称为( )f x在 0 xx处的导数，记作 0 ()fx或 0 x x y ， 0 d d x x y x 等。若 00 0 0 ( )() lim x f xxf x x 存在， 该极限值称为( )f x在 0 xx处的左导数，记作 0 ()fx ；若 00 0 0 ( )() lim x f xxf x x 存在，该极限值称为( )f x 在 0 xx处的右导数，记作 0 ()fx 。 （2）函数可导的条件 ( )f x在 0 xx处可导的必要（非充分）条件： 00 ( )( )f xxxf xxx在处可导在处连续 ( )f x在 0 xx处 可 导 的 充 分 必 要 条 件 ： 000 ( )()()fxxxfxfx 在处可导和存在且相等， 此 时 有 000 ()()()fxfxfx 2基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式 ( )0 ()cc 是常数 1 ()xx (sin )cosxx (cos )sinxx 2 2 1 (tan )sec cos xx x 2 2 1 (cot )csc sin xx x (sec )sectanxxx (csc )csccotxxx 1 (ln)x x 1 (log) (0,1) ln a xaa xa (e )e xx ()ln (0) xx aaa a 2 1 (arcsin ) 1 x x 2 1 (arccos ) 1 x x 2 1 (arctan ) 1 x x 2 1 (arccot ) 1 x x 3导数运算法则导数运算法则 （1）导数的四则运算法则 ()uvuv () ()cucuc是常数 ()u vuvuv 2 (0) uu vuv v vv （2）复合函数求导法： xux yyu即 ddd ddd yyu xux （3）反函数的导数 ( )xy在某区间内单调、可导，则其反函数( )yf x在对应区间内也可导，且 1 ( ) ( ) fx y 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 9 - （4）隐函数的导数： d d x y Fy xF ，其中( )y x由方程( , )0F x y 确定 （5）高阶导数 设( )u x，( )v x具有n阶导数，则有： ( )( )( ) () ( ,) nnn aubvaubva b为常数 莱布尼兹（Leibniz）公式： ( )()( )( )(1)(2)()( )( ) 0 (1)(1)(1) () 2! n nkn kknnnn kkn n k n nn nnk uvC uvuvnuvuvuvuv k （6）由参数方程所确定的函数的导数 设( )yy x由参数方程 ( ) () ( ) xt t yt 确定，则： 若( ) t和( ) t可导，且( )0t，则 d( ) d( ) yt xt 若( ) t和( ) t二阶可导，且( )0t，则 2 23 d( )1( )( )( )( ) d( )( )( ) t yttttt xttt （二）微分（二）微分 1基本概念基本概念 （1）定义 设函数( )yf x在 0 x的某邻域内有定义，若对于x在 0 x处的每个充分小的增量x，相应的y的增量 y可 表为( )yAxox，其中A与x无关，则称( )f x在 0 x处可微，Ax即为( )f x在 0 xx处的微分，记 作 0 d x x y 或 0 d()f x，即 0 0 dd () x x yf xA x 。 （2）函数可微的条件 ( )f x在 0 xx处可微的充分必要条件： 00 ( )( )f xxxf xxx在处可微在处可导（见 “函数可导的条件” ） 0 0 d() x x yf xx （( )f x在 0 xx处可导） ；d( )( ),( , )f xfxxx xxa b ，（( )f x在区间( , )a b上可导） 2基本初等函数微分公式基本初等函数微分公式 d0 ()cc是常数 1 ddxxx dsincos dxx x dcossin dxx x 2 2 d dtansecd cos x xx x x 2 2 d dcotcscd sin x xx x x dsecsectan dxxx x dcsccsccot dxxx x d d ln x xx x d dlog (0,1) ln a x xaa xa dee d xx x dlnd (0) xx aaax a 2 d darcsin 1 x x x 2 d darccos 1 x x x 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 10 - 2 d darctan 1 x x x 2 d darccot 1 x x x 3微分运算法则微分运算法则 微分的四则运算法则 d()dduvuv d()d ()cuc u c是常数 d()ddu vv uu v 2 dd d (0) uv uu v v vv 一阶微分形式的不变性：d( )dyf uu （三）微分中值定理及其应用（三）微分中值定理及其应用 1微分中值定理微分中值定理 （1）罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 若函数( )yf x满足条件： （i）在闭区间 , a b上连续； （ii）在开区间( , )a b内可导； （iii）( )( )f af b，则在 开区间( , )a b内至少存在一点c，使得 ( )0fc。 （2）拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理 若函数( )yf x满足条件： （i）在闭区间 , a b上连续； （ii）在开区间( , )a b内可导，则在开区间( , )a b内至少存 在一点，使得 ( )( ) ( ) f bf a f c ba 。 上 式 可 写 成 ：( )( )( )() ()f bf af c baacb，( )( )( ) ( )f xxf xf cx xcxx或 ( )( )( ) (01)f xxf xfxxx i推论 1：若( )f x在( , )a b内每一点的导数都是0，即( )0 ( , )fxxa b，则( )f x在( , )a b内为一常数。 ii推论 2：若在( , )a b内，恒有( )( )fxg x，则在( , )a b内 0 ( )( )f xg xC，其中 0 C为某确定常数。 （3）柯西（柯西（Cauchy）中值定理）中值定理 若函数( )f x和( )g x满足条件： （i）在闭区间 , a b上连续； （ii）在开区间( , )a b内可导，且( )0g x，则在开区 间( , )a b内至少存在一点，使得 ( )( )( ) ( )( )( ) f bf af c g bg ag c 。 当( )g xx时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 2泰勒（泰勒（Taylor）定理）定理 （1）带有皮亚诺（Peano）余型的泰勒公式 设函数( )f x在含有 0 x的开区间( , )a b具有n阶导数，则对( , )a b内任意一点x，有 2( ) 000000000 11 ( )()()()()()()()() , 2! nnn f xf xfxxxfxxxfxxxo xxxx n （2）带有拉格朗日余型的泰勒公式 设函数( )f x在含有 0 x的开区间具有(1)n阶导数，则对内任意一点x，有 2( ) 0000000 11 ( )()()()()()()()( ) 2! nn n f xf xfxxxfxxxfxxxR x n c c ),(ba),(ba 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 11 - 其中 (1)1 0 1 ( )( )() (1)! nn n R xfxx n ，是介于x与 0 x之间的某一点。 （3）麦克劳林（麦克劳林（Maclaurin）公式）公式 定义：当 0 0x 时，以上两个公式称为麦克劳林公式，即 2( ) 11 ( )(0)(0)(0)(0)() 2! nnn f xffxfxfxo x n ，0x 2( )(1)1 111 ( )(0)(0)(0)(0)() (01) 2!(1)! nnnn f xffxfxfxfx x nn ，0x 常用的麦克劳林公式： 2 11 e1() 2! xnn xxxo x n ，0x 352122 11( 1) sin() 3!5!(21)! k kk xxxxxo x k ，0x 24221 11( 1) cos1() 2!4!(2 )! k kk xxxxo x k ， 0x 2 (1)(1)(1) (1)1() 2! nn n xxxxo x n ，0x 1 23 11( 1) ln(1)() 2!3! n nn xxxxxo x n ，0x 3洛必达（洛必达（LH pital）法则）法则 （1） 0 0 型：设( )f x，( )g x在 0 x的某去心邻域内可导，( )0g x，若 00 lim( )lim ( )0 xxxx f xg x ，且 0 ( ) lim ( ) xx fx g x 存在或为，则有： 00 ( )( ) limlim ( )( ) xxxx f xfx g xg x （2） 型： 设( )f x，( )g x在 0 x的某去心邻域内可导，( )0g x， 若 0 l i m ( ) xx f x ， 0 lim ( ) xx g x ， 且 0 ( ) lim ( ) xx fx g x 存在或为，则有： 00 ( )( ) limlim ( )( ) xxxx f xfx g xg x 注注：以上 0 xx的极限过程改为 0 0xx， 0 0xx，x，x时，公式仍然成立。 （四）导数及微分的应用（四）导数及微分的应用 1微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 函数值近似值的估算： 0 x附近的点x处的函数值 000 ( )( )()()()f xL xf xfxxx 一般地，当x较小时，有e1 x x ，ln(1)xx，1+1 () n x xn n 是正整数 误差的估计： 绝对误差 00 ()() ()yfxxfxx 其中， 相对误差 0 0 () () () fxy x yf x 其中 2利用导数研究函数及平面曲线的性态利用导数研究函数及平面曲线的性态 （1）函数单调性的判断 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 12 - 设( )f x在 , a b上连续，在( , )a b内可导，且( )0fx（0） ，则( )f x在 , a b上严格递增（递减） 。 注：若将( )0fx（0）改为( )0fx（0） ，且使( )0fx的点（驻点）只有有限个，则结论变为( )f x 在 , a b上单调递增（递减） 。 （2）函数极值的判断 判断极值的第一充分条件 设( )f x在 0 x的某邻域 00 (,)xx内连续， 0 x是( )f x的驻点或不可导点，在 00 (,)xx和 00 (,)xx内 ( )f x均可导，则： （i）若在 00 (,)xx内( )0fx（0） ，而在 00 (,)xx内( )0fx（0） ，则( )f x在 0 x处取得极小值（极 大值） ； （ii）若在 00 (,)xx和 00 (,)xx内( )fx不改变符号，则( )f x在 0 x处不取得极值。 判断极值的第二充分条件 设( )f x在 0 x处一阶导数( )0fx，二阶导数( )fx存在且不为零，则( )0fx（0）时，( )f x在 0 x处取得 极小值（极大值） 。 （3）曲线凹凸性的判断 ( )f x在区间I上可导，则曲线( )yf x在I上是凹（凸）弧的充分必要条件是( )fx在I上严格单调递增 （减） 。 若( )f x在区间I上( )0fx（0）时，则曲线( )yf x在I上是凹（凸）弧。 在连续曲线上，凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。在拐点处，( )fx为零或不存在。 （4）曲线的渐近线 若lim ( ) xa f x ， 0 lim( ) xa f x 或 0 lim( ) xa f x ，则x a是曲线( )yf x的垂直渐近线。 若lim( ) x f xA 或lim( ) x f xB ，则yA或yB是曲线( )yf x的水平渐近线。 若 ( ) lim x f x a x ， 且l i m () x f xa xb ， 则y a x b是曲线( )yf x的斜渐近线 （极限过程也可以是x 或x） 。 3平面曲线的曲率平面曲线的曲率 （1）弧微分 设( )yf x是平面内的光滑曲线，则弧微分 2 d1dsyx 若曲线方程为 ( ) ( ) xt yt ，则弧微分 22 d ( )( ) dsttt （2）曲率 定义：M和N是曲线上不同的两电，弧MN长s，当M沿曲线到达N时，M处的切线所转过的角为 ，则极限 0 lim s K s 为该曲线在点M处的曲率。 三、一元函数微分学三、一元函数微分学 - 13 - 曲率计算公式 i若曲线方程为( )yf x，则 23 2 (1) y K y ii若曲线方程为 ( ) ( ) xt yt ，则 223 2 ( )( )( )( ) ( )( ) tttt K tt iii平均曲率：K s iv曲率半径： 1 (0)RK K 直线：0K ；半径为a的圆： 1 K a 四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 14 - 四、一元函数积分学四、一元函数积分学 （一）不定积分（一）不定积分 1基本概念与性质基本概念与性质 （1）原函数 设函数( )f x在区间I上有定义，若存在函数( )F x，使得在I上处处有( )( )F xf x或d( )( )dF xf xx，则称 ( )F x为( )f x在区间I上的一个原函数。 若( )F x是( )f x在区间I上的一个原函数， 则( )F xC也是( )f x在区间I上的原函数 （其中C为任意常数） ， 且( )f x的任何原函数都可以表成( )F xC的形式（即( )f x的任意两个原函数只相差一个常数） 。 （2）不定积分 函数( )f x在区间I上的原函数的全体称为( )f x在区间I上的不定积分，记作( )df xx 。 若( )F x是( )f x在区间I上的一个原函数，则在区间I上有( )d( )f xxF xC 。注意：在求不定积分时， 求出一个原函数( )F x后，一定要加上一个任意常数C。 （3）基本性质 d( )d( )df xxf xx d( )( )F xF xC 1 1221122 ( )( )d( )d( )dk f xk fxxkf xxkfxx 2基本积分公式基本积分公式 0dxC 1 dlnxxC x 1 1 d (1) 1 xxxC e de xx xC 1 d (0,1) ln xx axaC aa a sin dcosx xxC cos dsinx xxC 2 2 1 dcscdcot sin xxxC x 2 2 1 dsecdtan cos xxxC x 1 2 1 darctanarccot 1 xxCxC x 1 2 1 darcsinarccos 1 xxCxC x 3基本积分法基本积分法 第一换元积分法（凑微分法） 四、一元函数积分学四、一元函数积分学 - 15 - 设( )f u具有原函数( )F u，( )ux可导，则有 ( )( ) ( ) ( )d ( )d ( )( )d( ) ( ) xuux fxxxfxxf uuF uCFxC 第二换元积分法（一般换元法） 设( )xt具有连续导数，且( )0t，又设 ( )( )ftt具有原函数( )G t，则有 1 1 ( )( ) ( )d ( ) ( )d( )( ) xttx f xxftttG tCGxC 分部积分法 设( )uu x，( )vv x具有连续导数，则有 ddu vuvv u 4扩展积分公式扩展积分公式 tan dln cosx xxC cot dln sinx xxC 1 sec ddln sectan cos x xxxxC x 1 csc ddln csccot sin x xxxxC x sec tan dsecxx xxC csc cot dcscxx xxC 22 d1 arctan (0) xx C a axaa 22 d1 ln (0) 2 xax C a axaax 1 22 d arcsinarccos xxx CC aa ax 22 22 d ln (0) x xxaC a xa 2 222222 dln (0) 22 xa xaxxaxxaC a 2 2222 darcsi