复变函数第2讲.ppt

3 复数的乘幂与方根运算,1乘积与商： 设有两个复数,则,结论： 两个复数乘积的模等于各自模的乘积，乘积的幅角等于各自幅角之和； 两个复数商的模等于各自模的商，商的幅角等于被除数与除数的幅角之差。,Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)= Argz1-Argz2，,若记,则有,集合等式,判断下列说法是否正确？,乘法的几何解释,(T),(F),2.幂与根,定义z的n次幂：,定义z的负整数次幂,则有, 棣美弗公式：,定义z的n次根： 若有 w n=z,则称w为z的n次根，记为,如何求出z的n次根？,比较，得,由此得到方根公式,令,则,注：1任一非零复数开 n次方，有且仅有n个不同的根； 2它们均匀分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆周上。,例题：,2.,1.,4 复平面上的点集,本节内容：介绍复平面上的几个常见概念与术语,1.邻域：平面上以z0为中心，半径为的圆内所有点的 集合称为z0的一个邻域,记为,2.内点：设G为一平面点集，z0为G中一点，若存在z0 的某个 邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称z0为G的一个 内点。,去心邻域：由不等式 0|z-z0|所确定的点集。,注：离散的点集没有内点,4. 连通集:如果点集D中任何两点都可以用完全属于D的一 条折线连接起来。,3. 开集：如果G内的每个点都是它的内点，那么称G为开集。,5. 区域: 连通的开集称为区域。,6. 边界点与边界：设D为复平面内的一个区域，如果点p 不属于D，但p的任意小的邻域内总包含有D中的点， 这样的点p称为D的边界点。 D的所有边界点组成D的边界。区域的边界可能是 有几条曲线和一些孤立的点组成。,7. 闭区域: 区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，记 作 。,8. 有界域：如果区域D可以包含在一个以原点为中心的圆 里面，则称D为有界的。否则称为无界的。,有界性的数学描述: 若存在正数M,使区域D的每个点z都 满足|z|M,则称D为有界的。,9. 连续曲线: 如果实函数x=x(t).y=y(t), (at b)连续， 则称曲线c: z(t)=x(t)+iy(t)为复平面上的一条 连续曲线。 z(a)与z(b)分别称为c的起点和终 点。,11. 简单曲线与简单闭曲线：连续但自身不相交的曲线称 为简单曲线或若当（Jardan)曲线。如果简单曲线的 起点与终点重合，即z(a)z(b)，则称此曲线为简单 闭曲线。,12. 简单闭曲线的内部与外部：复平面中的任一条简单闭 曲线c把整个平面唯一地分成三个部分，一个是有界区 域，称为c的内部，另一个是无界区域，称为c的外部， c为它们的公共边界。,10. 光滑曲线：若x(t)和y(t)的导数也是连续的，且满足 ，称此曲线为是光滑的。,13. 单连通、多连通区域：复平面上的一个区域D,如果在其 中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部仍属于D，则称D 为单连通域，不是单连通域的都叫多连通域。,注：1. 多连通区域的一个显著特点：内部含有洞或裂缝。 2. 任一简单闭曲线将复平面分为内、外两部分，内部