上海交通大学数学物理方程讲义.pdf

2015-2016学年第一学期 第一章绪论第一章绪论 数学物理方程数学物理方程是指是指在物理学在物理学、力学力学、工、工程技术程技术数学物理方程数学物理方程是指是指在物理学在物理学力学力学程技术程技术 以及其他自然科学、技术科学、管理科学、经以及其他自然科学、技术科学、管理科学、经 济学济学社会科学等的研究中归纳出来的社会科学等的研究中归纳出来的些常些常济学济学、社会科学等的研究中归纳出来的社会科学等的研究中归纳出来的一一些常些常 微分方程微分方程、偏微分方程偏微分方程、积分方程积分方程、积分微分积分微分微分方程微分方程、偏微分方程偏微分方程、积分方程积分方程、积分微分积分微分 方程等，有时特指方程等，有时特指偏微分方程偏微分方程（即含有未知函数及其（即含有未知函数及其 偏导数的方程）偏导数的方程）（Partial Differential Equations） 悠久的历史广泛的应用数学的发展悠久的历史广泛的应用数学的发展 悠久的历史：悠久的历史： 特殊的偏微分方程最早出现在1734年特殊的偏微分方程最早出现在1734年EulerEuler的著作中，并的著作中，并 于于17431743年出现在年出现在d dAlembertAlembert的的论动力学论动力学中中。 著名的弦振动方程著名的弦振动方程 2 0ua u 于于年出现在年出现在的的论动力学论动力学中中。 著名的弦振动方程著名的弦振动方程0 ttxx ua u 17271727J hBlliJ hBlli 离散质量情形离散质量情形17271727: : J Jo oh hn n B Bernouernoullilli, ,离散质量情形离散质量情形 2 2 (2) k d una uuu d dAlembertAlembert(研究弦振动方程的先驱)(研究弦振动方程的先驱) 11 2 (2) kkk uuu dtl 1746：张紧的弦振动时形成的曲线的研究1746：张紧的弦振动时形成的曲线的研究 广泛的应用：广泛的应用： 传统学科传统学科传统学科传统学科 流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体)流体力学：Navier-Stokes方程组(粘性流体) Euler方程组(无粘流体)Euler方程组(无粘流体) 弹性力学弹性力学SaintSaint VenantVenant方程组方程组弹性力学弹性力学：SaintSaint- -VenantVenant方程组方程组 电动力学：Maxwell方程组(电磁场)电动力学：Maxwell方程组(电磁场) 量子力学：Schrdinger方程Dirac方程(微观粒子)量子力学：Schrdinger方程Dirac方程(微观粒子) 广义相对论广义相对论：EinsteinEinstein方程方程( (引力场引力场) )广义相对论广义相对论：EinsteinEinstein方程方程( (引力场引力场) ) 规范场：Yang-Mills方程规范场：Yang-Mills方程 磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学 交叉学科交叉学科交叉学科交叉学科 生物数学：生物种群动力学生物数学：生物种群动力学 传染病动力学传染病动力学 DNADNA分子动力学分子动力学DNADNA分子动力学分子动力学 金融数学：随机微分方程金融数学：随机微分方程 经济学经济学 社会科学社会科学社会科学社会科学 数学的发展：数学的发展： 偏微分方程推动数学其他分支的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展： 数论数论函函数论数论 变分法变分法变分法变分法 级数展开级数展开 常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程 代数代数 微分几何微分几何 1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容 2典型方程的数学模型典型方程的数学模型2 典型方程的数学模型典型方程的数学模型 阶线性偏微分方程简介阶线性偏微分方程简介3 二二阶线性偏微分方程简介阶线性偏微分方程简介 1 偏微分方程的基本概念与研究内容1 偏微分方程的基本概念与研究内容 1. 什么是偏微分方程？1. 什么是偏微分方程？ 物理量物理量( (如位移如位移温度等温度等) )时间时间空间位置空间位置物理量物理量( (如位移如位移、温度等温度等) )-时间时间、空间位置空间位置 u),(, 321 xxxxt- ),(),( 321 xxxtuxtuu 物理量的变化规律物理量的变化规律 )(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu)(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu (偏微分方程)(偏微分方程) 一一般形般形式：式： 0()(*) N F x xx u DuD u 一一般形般形式：式： 0()(*) N F x xx u DuD u () 12 0(, ,)( ) n F x xx u DuD u 自变量自变量 12 0(, ,)( ) n F x xx u DuD u 12 12 (,) (,) n n x xx uu x xx ： ： 自变量自变量 未知未知函函数数 12 () , n uu Du 未知数未知数 1 , n k k xx u 1 1 1 , n k nkk n u D ukkk xx 2(,)kN 例子：例子： 0)() 1 (0: ),() 1 ( y uyxuu )()(为任意函数fxfu 0: ),()2( xy uyxuu )()(为任意函数fxfu )()( xy y ),)()(为任意连续可微函数gfygxfu )(),(: ),()3(为已知函数wyxwuyxuu xy xy )()(),( 00 ygxfdsdttswu x x y y ),(为任意连续可微函数gf yxtyxs作变量代换 yx uuyxuu: ),()4( , uutusuu yxtyxs tsxtxsx 作变量代换 uutusuu tsytysy )()( 0 fsfu ut 为任意函数 )(),( )()( yxfyxu fsfu 为任意函数 ),(0 f babuau yx 为常数一般地， )(aybxfu )(0 )(0 热传导方程 弦振动方程 xxtt uu uu: ),()5(xtuu )(0 热传导方程 xxt uu 可验证: 可验证: () ,() , sin()cos() nn xtxtxtxt() ,() ,()() 均满足弦振动方程均满足弦振动方程 23 26xtxxt，满足热传导方程满足热传导方程 : ),()6(yxuu )(0 调和方程 yyxx uu)( yyxx 可验证: 可验证: 3232 330, sinsinh()yx y xxynxnyn 均为解均为解 0: ),()7( xxyy uyxuu )()()()(ff)()()()( 11 xygygyxfxfu 0: ),()8( z uzyxuu )(为任意函数fyxfu 0 vu )(,(为任意函数fyxfu 方程组)( 0 0 )9( R i e m a n n - C a u c h y xy yx vu vu 010uuyxuu xx : ),()(y xx ),()( ( )cos( )sinuf yxg yx 2. 相关基本概念2. 相关基本概念 阶数(Order)：阶数(Order)：未知函数偏导数的最高阶数；未知函数偏导数的最高阶数； 维数(Dimension)：维数(Dimension)：空间变量的个数；空间变量的个数； （对发展型方程对发展型方程：维数维数= =自变量个数自变量个数1 1；（对发展型方程对发展型方程：维数维数 自变量个数自变量个数1 1； 对非发展型方程：维数=自变量个数）对非发展型方程：维数=自变量个数） 解解(Solution)：(Solution)： 1 (,) n xx （求解区域）（求解区域） 1 (,) n uu xx 1 (,) n 称为偏微分方程（*）的称为偏微分方程（*）的经典解经典解： 在内足够光滑，且处处满足偏微分方程（*）在内足够光滑，且处处满足偏微分方程（*） 自由项：自由项：方程中与未知函数无关的项方程中与未知函数无关的项 项即为自由项也称右端)( ),(),( n N n xxg xxguDDuuxxG 11 齐次方程(Homogeneous)：齐次方程(Homogeneous)：不含非零自由项不含非零自由项 项即为自由项，也称右端),( n xxg 1 非齐次方程(Nonhomogeneous)：非齐次方程(Nonhomogeneous)：含有非零自由项含有非零自由项 线性 (Linear)方程：线性 (Linear)方程： xxguG n ),( 1 方程改写为 vGbuGabvauG )( 否则称为否则称为非线性(Nonlinear)非线性(Nonlinear)方程方程 )(多指标多指标.),( nn 11 多多重重指标指标（Multi-indexMulti-index）： 12n u D uu 12 1212 12 n nn xxx n D uu xxx N xguDxA ),()( 线性(Linear)：线性(Linear)： 半线性(Semi-Linear)：半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性主部(含最高阶导数的部分)线性 N xguDDuuxAuDxA ),(),()( 1 0 N xguDDuuxAuDxA ),(),()( 0 拟线性拟线性( (QuasiQuasi- -LinearLinear) )：最高阶导数本身是线性的最高阶导数本身是线性的拟线性拟线性( (QuasiQuasi- -LinearLinear) )：最高阶导数本身是线性的最高阶导数本身是线性的 ),(),(),(xguDDuuxAuDuDDuuxA N NN 1 0 1 N 完全非线性(Fully Nonlinear)：完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的最高阶导数是非线性的 例子例子： 例子例子： )()(波动方程0 2 zzyyxxtt uuuau )()(热传导方程 2 二阶线性齐次二阶线性齐次 )()(热传导方程0 2 zzyyxxt uuuau )(调和方程0 zzyyxx uuu 二阶线性齐次二阶线性齐次 2323 xuxu xt 一一阶线性非齐次阶线性非齐次 )Mechamics Quantum(0 xxt iuu二阶线性齐次二阶线性齐次 2 23 uuxu xt 一一阶半线性非齐次阶半线性非齐次 Bar)(Vibrating 0 xxxxtt uu四四阶线性齐次阶线性齐次 2uuxu xt 阶半线性非齐次阶半线性非齐次 n)interactio with(Wave xxtt uuu 3 二阶半线性齐次二阶半线性齐次 )(KdVuuuu xxxxt 0三阶半线性齐次三阶半线性齐次 )(sBurgeruuu xt 0一阶拟线性齐次一阶拟线性齐次 )(KdVuuuu xxxxt 0三阶半线性齐次三阶半线性齐次 uu)(二阶拟线性齐次二阶拟线性齐次 ),()(xtgufu xt 一阶完全非线性非齐次一阶完全非线性非齐次 xxtt uu)(二阶拟线性齐次二阶拟线性齐次 3. 研究内容：3. 研究内容： 一般规律一般规律+ 附加条件+ 附加条件 + 定解条件(初始条件、边界条件) 方程+ 定解条件(初始条件、边界条件) 方程 定解问题定解问题 定解问题的适定性：定解问题的适定性：存在性（Existence）存在性（Existence） 唯唯一一性性（UniquenessUniqueness）唯性唯性（UniquenessUniqueness） 稳定性（Stability）稳定性（Stability） 2 典型方程的数学模型典型方程的数学模型 2.1 波动方程的定解问题2.1 波动方程的定解问题 2.2 热传导方程的定解问题2.2 热传导方程的定解问题 2.3 调和方程的定解问题2.3 调和方程的定解问题 2.4 一阶方程（组）的例子2.4 一阶方程（组）的例子 2.1 波动方程的定解问题2.1 波动方程的定解问题 波动方波动方动波传种动波传种发方发方波动方程波动方程是是描描述述振动振动与与波的传播波的传播现现象的象的一一种种发展方程发展方程 弦的横振动（弦振动方程） 杆的纵振动杆的纵振动 一维非线性弹性振动 报方程电报方程 膜的横振动膜的横振动 声波方程 电磁波方程电磁波方程 1. 弦1. 弦振动振动方方程的导程的导出出 考虑考虑一一根张紧的根张紧的均匀柔软均匀柔软的细弦的细弦受垂直于弦的受垂直于弦的考虑根张紧的考虑根张紧的均匀柔软均匀柔软的细弦的细弦，受垂直于弦的受垂直于弦的 外力外力作用，在作用，在平衡位置平衡位置附近作附近作微小微小的的横振动横振动 平衡位置：平衡位置：弦静止时的位置，通常设为弦静止时的位置，通常设为X X 轴；轴； 均匀均匀：弦的线密度弦的线密度( (单位长度的质量单位长度的质量) ) 为常数为常数；均匀均匀：弦的线密度弦的线密度( (单位长度的质量单位长度的质量) ) 为常数为常数； 柔软：柔软：张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯 曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长 与张力满足与张力满足HookeHooke定理定理与张力满足与张力满足HookeHooke定理定理 横振动：横振动：振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置 垂直垂直；垂直垂直； 外力：外力：外力密度(单位长度受到的外力)为外力密度(单位长度受到的外力)为F F； 轴的位移时刻的垂直于点在：弦上Xtxtxu),(轴的位移时刻的垂直于点在：弦上Xtxtxu),( 微小微小：振幅相对于弦长很小振幅相对于弦长很小1u倾角很小微小微小：振幅相对于弦长很小振幅相对于弦长很小1 x u倾角很小 一段弧的一段弦，振动后变为原长为dx, 不计故弦的长度变化可忽略 弧长为dxdxuds x 2 1 长保持不变即振动过程中任一段弦 不计，故弦的长度变化可忽略 微元分析法：微元分析法： 在物体中任取在物体中任取一一个微小的立方体个微小的立方体( (微元微元) )，在其上建立相应在其上建立相应在物体中任取个微小的立方体在物体中任取个微小的立方体( (微元微元) )，在其上建立相应在其上建立相应 的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零 uFu 2 F )(xxT 1 g )(xT x xx )( x 上力的平衡：考虑微元,xxx 受力情况受力情况：受力情况受力情况： 张力 ) ()( );(),( tFdtF xxTxT xx 外力 张力： ;),(),( xg xtxFdxtxF x 重力： 外力： ;) ()(xtxudxtxu xg tt xx tt 惯性力： 重力： ;),(),(xtxudxtxu tt x tt 惯性力： 水平方向：水平方向： 21 11 0xxTxTcos)(cos)( 2 1 2 1 1 1 1 1 1 txu )(tan cos 1 1 11 11txux cos ),(tan 2 2 2 2 1 11txxux ),(tan cos 0 TTT xxTxT )()( )()( 0 TxxTxT)()( 垂直方向：垂直方向： ), (), (sinsinxtxuxtxFxgTT tt 1020 )(ti ),(tansin t txux tt 11 1020 )()() ( ),(tansin txutxxuTxgxtxu txxux 22 ), ( ),(),(),( xtxF txutxxuTxgxtxu xxtt 0 ), ( ),(),( ), ( )( txF txutxxu Tgtxu xx tt 0 x tt 0 )()( ), , ().(), ( txftxFaT xxxxggtxutt 2 0 记 此时令可忽略 有外力作用时有外力作用时 ),(),(,txftxFaT 0 记 )()()(txftxuatxu 2 有外力作用时有外力作用时： ),(),(),(txftxuatxu xxtt （强迫弦振动方程强迫弦振动方程）（强迫弦振动方程强迫弦振动方程） 没有外力作用时没有外力作用时：没有外力作用时没有外力作用时： 0 2 ),(),(txuatxu xxtt ),(),( xxtt （自由弦振动方程）（自由弦振动方程） A A初始条件初始条件 2. 定解条件的导出2. 定解条件的导出 A A. . 初始条件初始条件 B. 边界条件B. 边界条件 )()(:初始位移xut0 A. 初始条件A. 初始条件 )()( )()(: 初始速度 初始位移 xu xut t 0 或记为 )()( t )(),(),(),(xxuxxu t 00 或记为 或记为 );(),(xuxu t t t 00 例1例1在在d d 处将弦拉升至处将弦拉升至h h后静止,然后放手让其自由振动后静止,然后放手让其自由振动 h h 0 0 ld 0 ,dxx d h 0 )(, )( )(x lxdxl h d x ),(lxdxl dl 例2例2弦静止于平衡位置，经敲击后开始振动弦静止于平衡位置，经敲击后开始振动 ,)(x0 始速度为由初始冲量决定的初)( ,)( x x 0 例例1 1的弦两端固定长为l B. 边界条件B. 边界条件 例例1 1 0 0 uu l ， 的弦两端固定长为l 00 0 ),(),(tlutu lxx 或记为 ， 例2例2弦的端点自由滑动：即弦的端点不受垂直方向力的弦的端点自由滑动：即弦的端点不受垂直方向力的 作用作用也即张力在垂直方向的分量为零也即张力在垂直方向的分量为零作用作用，也即张力在垂直方向的分量为零也即张力在垂直方向的分量为零 0 0x uT 0 0 ,uu lx x x x 00),(),(tlutu xx 或记为 例例3 3弦的端点固定在弹性支承上弦的端点固定在弹性支承上例例3 3弦的端点固定在弹性支承上弦的端点固定在弹性支承上 ),( 21 kk弹性系数分别为 00 110 uuukuTx xx : 0 220 uuukuTlx xx : 00 022011 TkTk, 00 2 0 1 lx x x x uuuu, 条般条般边边界条件界条件一一般可般可分为三分为三类类： 第第一一类边界条件类边界条件(Dirichlet)(Dirichlet)： )(:);(:tgulxtgux 21 0 第类边界条件第类边界条件(Dirichlet)(Dirichlet)： )(:);(:tgulxtgux0 第二类边界条件(Neumann)：第二类边界条件(Neumann)： )(:);(:tgulxtgux xx21 0 第三类边界条件第三类边界条件(Robin)(Robin)： 0 11 );(:tguux x 第三类边界条件第三类边界条件(Robin)(Robin)： 0 22 )(:tguulx x 0 21 , 注：注：两端点可以取不同类型的边界条件两端点可以取不同类型的边界条件 3. 其他模型的例子3. 其他模型的例子 均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动 xxx 均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动 ( , )u x t ：杆杆上上点在点在时刻的纵向位移时刻的纵向位移x t ( , )杆杆点在点在时刻的纵向位移时刻的纵向位移 t ttxxxxx SuxSEuSEu 0:x 0 ttxx uEu 0:x ttxx 2 /:aE 2 0 tt ua u /:aE 0 ttxx ua u 一一维非线性弹性振动维非线性弹性振动维非线性弹性振动维非线性弹性振动 对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动，若作用力若作用力对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动，若作用力若作用力 与形变不满足Hooke定律时，即有与形变不满足Hooke定律时，即有 0 ttx uu0 ttx x uu ( ):非线性函数非线性函数 电报方程电报方程 0() ttxxt LCjjLGRC jRGj , , , , :R G C L j电阻，线间电漏，电容，电感，电流密度电阻，线间电漏，电容，电感，电流密度 1,:R G 2 0 ttxxt ja jbj 2 0 ttxx ja j 2 1/aLC bG CR L 1/,/aLC bG CR L 膜的横振动膜的横振动 张紧的柔软均匀膜在垂直于平衡位置平面方向的微小横振动张紧的柔软均匀膜在垂直于平衡位置平面方向的微小横振动xy () t 膜在膜在点点时刻离开平衡位的横向位移时刻离开平衡位的横向位移 t( , , )u x y t ：膜在膜在点点时刻离开平衡位时刻离开平衡位置置的横向位移的横向位移 , x y t 0() tt uT uu 0() ttxxyy uT uu : 面密度面密度:T张力张力 2 /:aT 2 0() ttxxyy ua uu() ttxxyy 22 （LaplaceLaplace算子算子） 2 0uau 22 xy （LaplaceLaplace算子算子）0 tt uau 声波方声波方声波方程声波方程 理想气体动力学方程组理想气体动力学方程组 气体的振动是微小的：略去高阶无穷小量气体的振动是微小的：略去高阶无穷小量 设空气处于平衡状态时的密度和压强为设空气处于平衡状态时的密度和压强为p 理想气体动力学方程组理想气体动力学方程组 设空气处于平衡状态时的密度和压强为设空气处于平衡状态时的密度和压强为 00 , p 0 00 () ppp 声学方程组声学方程组 2 3 0 tt a 0 () :ap 声学方程组声学方程组 声速声速 3tt 0 设空气是无旋的：即设空气是无旋的：即, 存在标量函数使存在标量函数使0rot ,v ,u,vu 2 0 2 3 0 tt uau速度速度, 速度势速度势:u:v 电磁波方程电磁波方程电磁波方程电磁波方程 真空中电磁场的真空中电磁场的Maxwell方程组方程组 22 30 1 tt cc t j EE 0 22 30 rot tt t cc BBj 30tt j 电场强度电场强度, 磁感应强度磁感应强度, 介电常数介电常数, 磁导率磁导率EB 0 0 自由电磁波自由电磁波： 电荷密度电荷密度, 电流密度电流密度, 光速光速 j 00 1/c 00,j自由电磁波自由电磁波：00,j 2 3 0 tt cEE 2 3 0 tt cBB 4. 波动方程的一般形式及其定解问题4. 波动方程的一般形式及其定解问题 模型:模型: ) 1(V V中的惯性力 + 通过作用在上的力 = 0中的惯性力 + 通过作用在上的力 = 0VV (Contact Force)(Contact Force) V ttdx u (Contact(Contact Force)Force) dxFdSFdiv VV dxFdSFdiv Futtdiv 弹性体:弹性体: uauFF 2 )( 0 2 uau Futtdiv 小形变( )小形变( )1u 0uautt ),(txxfuaun ntt 1 2 维： uu u ntt 22 1 )(tf xx u n 2 22 1 1维 )( ),( tyxfuuau txfuau xxtt 2 2 2 1 维： 维： )( ),( tzyxfuuuau tyxfuuau tt yyxxtt 2 3 2 维： 维： ),(tzyxfuuuau zzyyxxtt 3维： DAlembert DAlembert 算子算子 2 tt a 算子算子 tt a 定解问题定解问题定解问题定解问题： 1 1 初值问题初值问题( (CauchyCauchy问题问题) )1 1. .初值问题初值问题( (CauchyCauchy问题问题) ) ,),(),(txxxtxfuau n ntt 0 1 2 R )(),(: ,),(),( xuxut t ntt 0 1 长弦的振动注：一维时，即为无限 2.混合初边值问题2.混合初边值问题 )()(txxxtxfuau n 0 2 R )(),(: ,),(),( xuxut txxxtxfuau t ntt 0 0 1 R 的边界为上的边界条件 边界条件分三类：边界条件分三类： gu：第一类边界条件;)Dirichlet( g n u ：第二类边界条件)Neumann( n n 的单位外法线方向为 0 gu u ：第三类边界条件)Robin( g n 第类边界条件)( 2.2 热传导方程的定解问题2.2 热传导方程的定解问题 热传导方程 热传导方程热传导方程描述物体内的热传导现象描述物体内的热传导现象即由于温度分布即由于温度分布热传导方程热传导方程描述物体内的热传导现象描述物体内的热传导现象，即由于温度分布即由于温度分布 不均匀而引起的热量从温度高的地方向温度低的地方流不均匀而引起的热量从温度高的地方向温度低的地方流 动的现象.动的现象. 扩散方程扩散方程 扩散方程扩散方程描述物体内的扩散现象，即由于浓度分布不均描述物体内的扩散现象，即由于浓度分布不均 匀而引起的物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的匀而引起的物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的匀而引起的物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的匀而引起的物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的 现象.现象. 1 1热传导方程的导出热传导方程的导出1 1. . 热传导方程的导出热传导方程的导出 n S Fourier实验定律Fourier实验定律 2 u u S nS uuuu 2121 板的厚度；板的面积； ；薄板两侧的温度分别为 : , 1 u 热流方向热流方向n tQ nS 时间内流过板的热量； 板的厚度；板的面积； : : 热流方向热流方向n tS n uu kQtS n uu Q 2112 或则 nn )()(记温度分布函数为 ),( ),(),( 的薄片，的一个无穷小面积取过点 记温度分布函数为 dSzyx zyxtzyxu 流过的热量为 的外法线方向内沿薄片无穷小时段dSdtn ),( 流过的热量为 dSdt u zyxkdQ .) ,(:),( )( 的热传导系数物体在点zyxzyxk n y 0 qk u dQ q dSdt n 为密度为比热，,),(),(zyxzyxc00 dSdt 密度；为单位时间内热源的体 为密度为比热， ),( ,),(),( tzyxF zyxzyxc00 , 考虑任意时段 ；，任取对物体 tt SGG )(),(),( , 需要吸收的热量温度升高 考虑任意时段 12 21 tzyxutzyxu tt )()(内部热源释放的热量外部流入的热量 12 G dxdydztzyxutzyxuzyxzyxc),(),(),(),( 2 1 t tG dtdxdydz t u zyxzyxc),(),( t 2 t dtdxdydztzyxF),( 1 tG yy),( 22 11 ( , , ) tt tStS u k x y zdSdtk udSdt n n 11 2 div tStS t tG n k u dxdydzdt 1 tG 22 div tt t cu dxdydzdtk uF dxdydzdt 11 div t tGtG cu dxdydzdtk uF dxdydzdt div t cuk uF 为常数对均匀各向同性物体：kc, 2 kfF 2 ,ak cfF c f 2 当物体内部有热源时，当物体内部有热源时， fuaut 2 当物体内部热当物体内部热当物体内部当物体内部无无热热源时源时， 0 2 uau0uaut 考虑均匀薄板(上下底绝热)：考虑均匀薄板(上下底绝热)：二维二维热传导方程； 均匀细杆(侧面绝热，同一截面上温度相同)： 热传导方程； 均匀细杆(侧面绝热，同一截面上温度相同)：一维一维热传导方程热传导方程 般地般地一一般地般地, , )(tfa 2 )(),(txfuaut 2 ),( n xxxx 21 扩散方程的导出扩散方程的导出扩散方程的导出扩散方程的导出 FickFick实验定律实验定律qD u 实验定律实验定律q 扩散流强度，即单位时间内通过单位面积的粒子数（或质量）扩散流强度，即单位时间内通过单位面积的粒子数（或质量） ():uu x y z t 浓度浓度，即单位体积中的粒子数即单位体积中的粒子数（或质量或质量） :q ( , , , ):uu x y z t 浓度浓度，即单位体积中的粒子数即单位体积中的粒子数（或质量或质量） 扩散系数扩散系数 :D 粒子数粒子数（或质量或质量）守恒守恒 diDF 粒子数粒子数（或质量或质量）守恒守恒： div t uD uF 均匀均匀 2 F 扩散源强度扩散源强度 F 均匀均匀： 2 t uauF 扩散源强度扩散源强度 :F 特例：扩散源强度与浓度成正比，特例：扩散源强度与浓度成正比， 22 0 t uaub u 2ln 特例：放射性衰变现象：特例：放射性衰变现象： 2 2 0 ln , t uauu 半衰期半衰期 : A A初始条件初始条件 2. 定解条件的导出2. 定解条件的导出 A A. . 初始条件初始条件 B. 边界条件B. 边界条件 A A. . 初始条件初始条件 )(),(:已知物体的初始温度zyxut 0 . . 初始条件初始条件 B B边界条件边界条件 ；已知物体表面温度第一类边界条件gu : )Dirichlet()(1 B B. . 边界条件边界条件 第二类边界条件2 g n u : )Neumann()( 单位时间内沿法线方向已知物体表面热流量： udQ n 的热量流过物体表面单位面积 n u k dSdt dQ 绝热特别地，0 n u 03gu n u 第三类边界条件: )Robin()( n ：物体表面的热交换情况已知物体与周围介质在 11 11 0uk dSdtuukdQ 为介质的温度为热交换系数 实验定律Newton 11 0 dSdt u kdQ uk 实验定律 为介质的温度为热交换系数， Fourier 11 uuk u k n 11 uuk n k 3. 定解问题3. 定解问题 A A 初值问题初值问题( (Cauchy Problem) )A A. .初值问题初值问题( (Cauchy Problem) ) )()(txxxtxfuau n 0 2 R ),(: ,),(),( xut txxxtxfuau nt 0 0 1 R B.混合初边值问题B.混合初边值问题( (Mixed Initial-Boundary Value Problem) ) )( ,),(),( t txxxtxfuau n nt 0 0 1 2 R . ),(: 的边界为上的边界条件 xut0 的边界为上的边界条件 2.3 调和方程的定解问题2.3 调和方程的定解问题 1. 方程的导出1. 方程的导出 复分析：解析函数 平衡态问题膜浓度温度等平衡态问题：膜、浓度、温度等 位势理论：引力场，静电场位力， 流体力学：无旋定常流 随机场布朗运动随机场：布朗运动 解析数解析数解析解析函函数数)(),(),()(iyxzyxivyxuzf 则vu,满足 Cauchy-Riemann 条件: yxyx uvvu, 00,uv 2 00,uv 平衡态问题平衡态问题 )(tf 2 2 ( , ), tt uauf x t),(txfuaut 2 弹性膜平衡态弹性膜平衡态：外力不随时间变化外力不随时间变化弹性膜平衡态弹性膜平衡态：外力不随时间变化外力不随时间变化 稳定浓度分布：扩散源不随时间变化 稳定温度分布：热源不随时间变化 稳定浓度分布：扩散源不随时间变化 稳定温度分布：热源不随时间变化 1( ) uf x（Poisson方程）（Poisson方程） 无源：无源：0u（Laplace方程/调和方程）（Laplace方程/调和方程） 位势理论位势理论（引力场引力场静电场静电场）位势理论位势理论（引力场引力场、静电场静电场） 引力场引力场万有引力定律：万有引力定律： 3 ( , , ) M x y z Fr 3 ( , , )x y z r Fr 000 (,),xx yy zzrrr 000 ()yy 引力位势引力位势( , , ): M x y z F引力位势引力位势( , , )y r 上连续分布（密度）的质量产生的引力场的位势上连续分布（密度）的质量产生的引力场的位势 () ( )d P P PV r P P r 在外：在外：0 在内：（满足一定的正则性条件）在内：（满足一定的正则性条件）4 静电场静电场静电场静电场 Coulomb定律：Coulomb定律： 0 3 1 4 ( , , ), qq x y zkkFr 3 0 4 ()y r 000 (,),xx yy zzrrr Gauss定理：Gauss定理： 1 ddSV E n 0 div/ E ( , , ):,:x y z E 0 div/, E 无旋：无旋：电势电势 ()y 0 / 无源：无源：0 不可压缩流体的无旋定常运动不可压缩流体的无旋定常运动不可压缩流体的无旋定常运动不可压缩流体的无旋定常运动 质量守恒方程质量守恒方程div()vF x y z t 质量守恒方程质量守恒方程div( , , , )vF x y z t t :v密度密度速度速度 不可压缩：不可压缩：const 密度密度速度速度 ( , , , ) div( , , , ) F x y z t vf x y z t 无旋流体：无旋流体：, s.t., ,v 速度势速度势: 定定ft定常定常：均与均与时时间间无关无关, ,f vt ()f x y z ( , , )f x y z 无源：无源：0 布朗运动布朗运动 2 C C 假设：质点运动到边界上即终止假设：质点运动到边界上即终止 1 C ( , , ):u x y z( , , ):u x y z 以为起点运动,终止在上的概率以为起点运动,终止在上的概率( , , )x y z 1 C 0u 12 10, CC uu 2.定解问题：边值问题2.定解问题：边值问题( (Boundary Value Problem) ) A. 内问题A. 内问题( (Interior Pblm) ) n R,有界,有界, if B. 外问题B. 外问题( (Exterior Pblm) ) in . .on uf BC A. 内问题A. 内问题 边界条件：边界条件： . . on BC |第一类(Dirichlet):第一类(Dirichlet):|ug u 第二类(Neumann):第二类(Neumann): | u g n :n的单位外法线方向.的单位外法线方向. 第三类(Robin):第三类(Robin): )(|0 gu n u in R on n uf BC B. 外问题B. 外问题 但解在无穷远处是否可以不加限制?要加何种限制? . . on BC 1 0l 22 2 01()urxy 1 0,lnuu r 2 1 01 0 () |r urxy u 1 222 01()urxyz 1 1,uu r 3 1 01 1 ()urxyz u r 1 1 r u 因此 解在无穷远点定要加限制 以确定解的唯性因此,解在无穷远点一定要加限制,以确定解的唯一性. 通常, 通常, :2n解在无穷远处有界:解在无穷远处有界:),(limyxu r 有界 有界 r :3n解在无穷远处趋于 0:解在无穷远处趋于 0:0 ),(limzyxu r 与外问题类似与外问题类似C. 无界区域的边值问题C. 无界区域的边值问题 gu fu 1 D. D. 等值等值面边面边值值问问题题 h n u g 2 1 021 )(|Cu n 0 2 待定 )(已知AdS n u 0 2.4 一阶方程（组）的例子2.4 一阶方程（组）的例子 人口模型 追赶问题 交通流模型 流体力学方程组与声学方程组 电动力学Maxwell方程组 1.人口模型1.人口模型 : )( xtp人口在时刻人口在时刻按年龄按年龄的分布密度的分布密度 即即tx: ),( xtp人口在时刻人口在时刻按年龄按年龄的分布密度的分布密度, 即即tx 时刻年龄在的人口数时刻年龄在的人口数=t,dxxxdxxtp),( 时刻的人口总数时刻的人口总数=t 0 dxxtp),( 不考虑死亡因素不考虑死亡因素:不考虑死亡因素不考虑死亡因素: dxdtxtpdxxdttp),(),( (, )( , )( ,)( , )p tdt xp t xp t xdtp t x dt