函数与极限习题及解析（同济大学第六版高等数学）.pdf

函数与极限函数与极限习题与解析习题与解析 （同济大学第六版高等数学）（同济大学第六版高等数学） 一、填空题一、填空题 1、设xxxflglg2)(，其定义域为。 2、设) 1ln()(xxf，其定义域为。 3、设)3arcsin()(xxf，其定义域为。 4、设)(xf的定义域是0，1，则)(sin xf的定义域为。 5、设)(xfy 的定义域是0，2 ，则)( 2 xfy 的定义域为。 6、4 3 2 lim 2 3 x kxx x ，则 k=。 7、函数 x x y sin 有间断点，其中为其可去间断点。 8、若当0x时 ， x x xf 2sin )(，且0)(xxf在处连续 ，则)0(f。 9、 ) 21 (lim 222 nn n n n n n n 。 10、函数)(xf在 0 x处连续是)(xf在 0 x连续的条件。 11、 35 23 52 )23)(1( lim xx xxx x 。 12、 3 ) 2 1 (lim e n kn n ，则 k=。 13、函数 23 1 2 2 xx x y的间断点是。 14、当x时， x 1 是比13xx的无穷小。 15、当0x时，无穷小x 11与 x 相比较是无穷小。 16、函数 x ey 1 在 x=0 处是第类间断点。 17、设 1 1 3 x x y，则 x=1 为 y 的间断点。 18、已知3 3 f，则当 a 为时，函数xxaxf3sin 3 1 sin)(在 3 x处连续。 19、设 0)1 ( 0 2 sin )( 1 xax x x x xf x 若)(lim 0 xf x 存在 ，则 a=。 20、曲线2 sin 2 x xx y水平渐近线方程是。 21、 1 1 4)( 2 2 x xxf的连续区间为。 22、设 0,cos 0, )( xx xax xf在0x连续 ，则常数 a=。 二、计算题二、计算题 1、求下列函数定义域 （1） 2 1 1 x y ；（2）xysin； （3） x ey 1 ； 2、函数)(xf和)(xg是否相同？为什么？ （1）xxgxxfln2)(,ln)( 2 ； （2） 2 )(,)(xxgxxf； （3）xxxgxf 22 tansec)(,1)(； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1 ( 22 xxy；（2） 32 3xxy； （3）) 1)(1(xxxy； 4、求由所给函数构成的复合函数 （1） 22 ,sin,xvvuuy； （2） 2 1,xuuy； （3）xveuuy v sin, 2 ； 5、计算下列极限 （1）) 2 1 4 1 2 1 1 (lim n n ；（2） 2 ) 1(321 lim n n n ； （3） 3 5 lim 2 2 x x x ；（4） 1 12 lim 2 2 1 x xx x ； （5）) 1 2)( 1 1 (lim 2 xx x ；（6） 2 23 2 )2( 2 lim x xx x ； （7） x x x 1 sinlim 2 0 ；（8） xx x x 13 1 lim 2 1 ； （9）)1(lim 2 xxx x ； 6、计算下列极限 （1） x wx x sin lim 0 ；（2） x x x 5sin 2sin lim 0 ； （3）xx x cotlim 0 ；（4） x x x x ) 1 (lim ； （5） 1 ) 1 1 (lim x x x x ；（6） x x x 1 0 )1 (lim ； 7、比较无穷小的阶 （1） 322 20xxxxx与，时； （2）)1 ( 2 1 11 2 xxx与，时； 8、利用等价无穷小性质求极限 （1） 3 0 sin sintan lim x xx x ；（2）),( )(sin )sin( lim 0 是正整数mn x x m n x ； 9、讨论函数的连续性 。在 1 1,3 1,1 )(x xx xx xf 10、利用函数的连续性求极限 （1）)2cos2ln(lim 6 x x ；（2）)(lim 22 xxxx x ； （3） x x x sin lnlim 0 ；（4） x x x 2 ) 1 1 (lim ； （5）) 1 1 (lim,)1 (lim)( 1 t f n x xf t n n 求设； （6）) 1 1 ln(lim x x x x ； 11、设函数 0, 0, )( xxa xe xf x 应当怎样选择 a ，使得)()(，成为在xf内的连续函数。 12、证明方程13 5 xx至少有一个根介于 1 和 2 之间。 （B） 1、设)(xf的定义域是0 ，1 ，求下列函数定义域 （1）)( x efy （2）)(ln xfy 2、设 0, 0,0 )( 0, ,0 )( 2 xx x xg xx ox xf 求)(,)(,)(,)(xfgxgfxggxff 3、利用极限准则证明： （1）1 1 1lim n n （2）1 1 lim 0 x x x ； （3）数列,222,22,2的极限存在 ； 4、试比较当0x时 ，无穷小232 xx 与x的阶。 5、求极限 （1）)1(lim 2 xxx x ；（2） 1 ) 12 32 (lim x x x x ； （3） 3 0 sintan lim x xx x ； （4）)0,0,0() 3 (lim 1 0 cba cba x xxx x ； 6、设 0, 0, 1 sin )( 2 xxa x x x xf要使),()(在xf内连续， 应当怎样选择数 a ？ 7、设 01,)1ln( 0, )( 1 1 xx xe xf x 求)(xf的间断点，并说明间断点类型。 （C） 1、已知xxfexf x 1)(,)( 2 ，且0)(x，求)(x并写出它的定义域。 2、求下列极限： （1） 、lncos)1ln(coslimxx x ； （2） 、 x xxx x cossin1 lim 0 ； （3） 、求 xx x x 2 sin 35 53 lim 2 ； （4） 、已知9)(lim x x ax ax ，求常数a。 （5） 、设)(xf在闭区间,ba上连续 ，且bbfaaf)(,)(， 证明：在开区间),(ba内至少存在一点，使)(f。 第一章 函数与极限 习 题 解 析 （A） 一、填空题一、填空题 （1）2,1 (（2）),1(（3）2 ，4 （4）zkkxkx,) 12(2（5）2,2 （6）-3（7）0;,xzkkx（8）2（9）1 （10）充分（11） 2 1 （12） 2 3 （13）x=1 , x=2（14）高阶 （15）同阶（16）二（17）可去（18）2（19）-ln2 （20）y=-2（21）2,1 ( 1,2（22）1 二、计算题二、计算题 1、 （1）),1 () 1,1() 1,( （2）),0（3）),0()0,( 2、 （1）不同，定义域不同（2）不同，定义域、函数关系不同 （3）不同，定义域、函数关系不同 3、 （1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）奇函数 4、 （1） 22) (sin xy （2）1 2 xy（3） sin2x ey 5、 （1） 2 （2） 2 1 （3）-9（4）0（5）2（6） （7）0（8）22（9） 2 1 6、 （1）w（2） 5 2 （3）1（4） 1 e（5） 2 e（6） 1 e 7、 （1）的低阶无穷小是 322 2xxxx（2）是同阶无穷小 8、 （1） 2 1 （2） nm nm nm , ,1 ,0 9、不连续 10、 （1）0（2）1（3）0（4） 2 e（5）0（6）-2 11、a=1 （B） 1、 （1）提示：由10 x e解得：0,(x （2）提示：由1ln0x解得：,1ex 2、提示：分成ox 和0x两段求。)()(xfxff，0)(xgg， 0)(xgf,)()(xgxfg 4、 （1）提示： nn 1 1 1 11（2）提示： x x x x x x 1 1 )1 1 ( （3）提示：用数学归纳法证明：222 n a 5、提示： xxx xxxx 1312232 令t x 12（同阶） 6、 （1）提示：乘以xx1 2 ； 2 1 （2）提示：除以x2；e （3）提示：用等阶无穷小代换 ； 2 1 （4）提示： x xxx cba 1 ) 3 ( x cba cba xxx xxx xxx cba 3 111 111 3 1 3 111 （ 3 abc） 7、提示：)0()(lim)(lim 00 fxfxf xx （0a） 8、1x是第二类间断点 ，0x 是第一类间断点 （C） 1、解：因为 xexf x 1 )( 2 ，故)1ln()(xx，再由0)1ln( x， 得：11 x，即0x。所以：)1ln()(xx，0x。 2、解：原式= )cossin1( cossin1 lim 2 0 xxxx xxx x = x xxx x 2 0 sinsin 2 1 lim =)sin( sin lim 2 1 0 xx x x x =0 3、解：因为当x时 ， xx 2 2 sin， 则 xx x x 2 sin 35 53 lim 2 = xx x x 2 35 53 lim 2 = xx x x