2017届全国统一考试考前预测卷(一)(理数).doc

2017届全国统一考试考前预测卷（一）数学（理科）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1设集合，则（ ）A B C D2已知是虚数单位，复数的共轭复数为（ ）A B C D3已知等比数列的公比，则其前2017项和（ ）A B C D4下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输出的，则输入的可能是（ ）A.15,18 B.14,18 C.12,18 D.9,185.若实数满足不等式组，则的最小值为（ ）A2 B5 C26 D376.在中,分别为所对的边,若函数有极值点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. -17某学校需要把6名实习老师安排到，三个班级去听课，每个班级安排名老师，已知甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ）A B C D8如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A BC D9函数的图象的大致形状是（ ）10在三棱锥中，ABC与BCD都是正三角形，平面ABC平面BCD，若该三棱锥的外接球的体积为，则ABC边长为（ ）A. B. C. D.611如图所示，是半径为2 的圆上不同的三点，线段的延长线与线段交于圆外的一点，若（，），则的取值范围是（ ）A B C D12. 已知实数满足,则的最小值为（ ）A B C D第卷（13-21为必做题，22-23为选做题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13. 已知的展开式中，的系数为，则=_.14.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是_.15如图，在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，则的最短边的边长为_.16. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，过点B作轴的垂线，点是直线的一点，连接交椭圆于点，坐标原点是，则与所成角为_.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分）已知数列满足.（1）求；（2）是否存在实数，使数列为等差数列，若存在，求出请求出的值，若不存在，说明理由.18. （本小题满分12分）2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：流失的教师数以这100所乡村中学流失教师数的频率代替1所乡村中学流失教师数发生的概率，记表示两所乡村中学在过去三年共流失的教师数，表示今年为两所乡村中学招聘的教师数.为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘.（）求的分布列；（）若要求，确定的最小值；（）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？19. （本小题满分12分）如图，已知与分别是棱长为1与2的正三角形，/，四边形为直角梯形，/，点为的重心，为中点，平面，为线段上靠近点的三等分点.（）求证：/平面；（）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知点是抛物线:的准线与对称轴的交点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点满足，当取最小值时，点横坐标为1.（I）求抛物线的方程；（II）直线交轴于点，交抛物线于不同的两点，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求证：三点共线.21.（本小题满分12分）已知函数且（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，设，若有两个相异零点，求证：选做题：请考生在2223两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分.22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2） 已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，若的中点为，求的长23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数. （1）求不等式的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题.1.【答案】A【解析】因为 ，所以，故选A.考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的交集.2【答案】A【解析】因为，所以共轭复数为，选A.考点：共轭复数概念，的周期性，复数运算.3【答案】A【解析】根据题意可得，.考点：等比数列通项及求和.4【答案】B【解析】执行程序，可知a=14，b=18时，b=18-14=4，由ab，则a变为14-4=10，由ab，则a变为10-4=6，由ab，则a变为6-4=2，由ab，则b变为4-2=2，由a=b=2，则输出的a=2考点：程序框图5.【答案】B【解析】作出可行域，如图所示，设变形成可知过点时纵截距最小，此时，.考点：简单的线性规划.6.【答案】D【解析】由已知可得有两个不等实根.考点：函数的极值, 余弦定理,三角函数最值.7【答案】C【解析】先考虑甲不能到班的方案：,减去其中乙和丙安排到同一班级的方案，即种，选C.考点：排列组合8.【答案】C【解析】由已知，又为等边三角形，所以 ，所以.在中，由余弦定理得，解得 ，所以 ，双曲线的方程为，故选C.考点：双曲线的定义和标准方程.9【答案】B【解析】由已知可得是奇函数排除A、C；又排除D,故选B.考点：函数的图象.10.【答案】D【解析】取BC的中点为M，E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，O是该三棱锥外接球的球心，连接AM、DM、OF、OE、OM、OB，则E、F分别在AM、DM上，OF平面BCD，OE平面ABC，OMBC，AMBC，DMBC，所以AMD为二面角ABCD的平面角，因为平面ABC平面BCD，所以AMDM，又AM=DM=，所以=，所以四边形OEMF为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB中，球半径OB=，所以外接球的体积为，故选D.考点：三棱锥的外接球问题.11【答案】D【解析】因为,所以，展开得，所以,当时，即,所以.当趋近于射线时，由平行四边形法则可知,此时且，所以，因此的取值范围是，故选D. 考点：平面向量的数量积.12.【答案】C【解析】用代换，用代换，则满足,以代换，可得点，满足，所以求的最小值即为求圆上的点到曲线上的点的距离的最小值.由圆的对称性知,只需考虑圆心到曲线上的点距离的最小值.设曲线上任一点,即经过的切线斜率为,由切线垂直于直线,所以即：.不妨设，则为增函数,又,即当时线段长度最小,为,故选C.考点：1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式.二、填空题.13.【答案】.【解析】由二项式的展开式为，令，可得，令，解得则考点：二项式定理的应用,定积分计算.14.【答案】8.【解析】由题设三视图中所提供的信息可知该几何体的直观图如图所示：,.故最长的棱长为8.考点：三视图.15【答案】.【解析】，即.由得，则，得，则，且，.解得，.的最短边的边长.考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.16.【答案】.【解析】设，则直线的方程为，由，整理得，解得，则点的坐标是，故直线的斜率，由于直线的斜率，故，.考点：直线与椭圆的位置关系.三、解答题.17. 【答案】（1）；（2）存在实数，使数列为等差数列.【解析】（1）从而 ，即：可得 ，.（2）若为等差数列，则，.当时，.即：,数列为等差数列.存在实数，使数列为等差数列.考点：递推公式的应用, 等差数列的定义，数列探索性问题.18. 【答案】（）见解析；（）19；（）.【解析】（）由柱状图并以频率代替概率可得，一所高校在三年内流失的人才数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而；.所以的分布列为16171819202122（）由（）知，故的最小值为19.（）记表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）.当时，.当时，.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.【考点】概率与统计、随机变量的分布列19. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（）连延长交于，因为点为的重心，所以又，所以，所以/；因为/，/，所以平面/平面，又与分别是棱长为1与2的正三角形，为中点，为中点, /,又/，所以/，得四点共面/平面（）由题意，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，设，则，设平面的法向量，则，取，平面的法向量，所以二面角的余弦值，又，,直线与所成角为. 考点：空间线面的平行的判定及向量的数量积公式等有关知识的综合运用.20.【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】（I）设，则当且仅当时，取得最小值.所以抛物线方程为：.（II）由条件可知，则. 联立，消去得，. 设，则 因为 所以三点共线. 考点：抛物线定义,直线与抛物线的位置关系.21.【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）见解析. 【解析】（1）由知 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是， 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.（2）,设的两个相异零点为，设，要证，即证，即，即，设上式转化为（），设，在上单调递增，考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数与方程、不等式.22.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意知，曲线的直