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15Introduction to Signal ftrocessing第三章离散系统本章的讨论重点是离散系统，尤其是离散线性时不变系统。线性时不变系统的输入输出（I/O）方 程可以用输入信号与系统冲激响应的离散卷积来表示。根据系统的冲激响应是否是有限延时还是无限延时可以分为有限冲激响应（FIR）和无限冲激响 应(IIR)两种。本章的主要目的是为 FIR 滤波器设计算法。FIR 滤波算法可以分为按块（Block to Block） 和样值处理（Sample to Sample）算法两种。分批处理算法中，输入信号视为一次抽样的块。将这一块信号与滤波器冲激响应卷积得到一个输 出块。如果输入序列时限非常长或者是无限延时，这种方法需要做些改进，比如说可以将输入信号分成 多个块，每一块的长度都可以分别处理，可以一次滤波一块，然后再把输出拼凑在一起。样值处理算法中，一次只处理一个抽样。滤波器可以看作是一台状态机器，也就是说，把输入抽 样与滤波器当前的状态结合起来计算当前的输出抽样，同时也更新滤波器的内部状态为下一次处理作准 备。当输入信号特别长的时候，这种方法对于实时运算特别有效。滤波器自身特性变化的自适应滤波 就适合于使用这种算法。目前的 DSP 芯片对这种算法也很有效。3.1输入输出规则离散系统所实现的就是将输入的离散抽样序列 x(n)，根据一定的输入/输出（I/O）规则转换成输 出序列的运算。I/O 规定了怎样由已知的输入计算输出。样值处理方法，我们可以认为其 I/O 规则就是一次处理一个输入抽样。x , x , x ,L, x ,L1 nH y , y , y ,L, y ,L1 n按块处理的方法，输入序列划分成块，每次处理一块。x0 y 0x = x1 H y1 = y x2 M y 2 M 因此其 I/O 规则也就是将输入向量根据某种函数映射成输出向量。 y = Hx对于线性系统，这种映射就是用矩阵 H 作线性变换。线性定常系统，其变换矩阵 H 根据系统的冲 激响应有特定的结构。例 3.1.1例 3.1.2y(n) = 2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) 。n 时刻的输出是此前连续三个输入抽样的加权和。也就是说，n 时刻，线性系统必须记住前两个时 刻的抽样 x(n-1)、x(n-2)。例 3.1.3 将长度为 L=4 的输入抽样 x0 , x1 , x2 , x3 视为一块，例 3.1.2 所示的线性系统将其转换成长 度为 6 的输出序列。 y0 y1 23 y3 y y5 4 00002340000234000x0 y = y 2 = 40 x 2x2 1 = Hx3 x 3 4输出序列的长度比输入序列长度大 2，因为系统必须保存两个抽样，最后的两个输出可以认为是 输入消失后(input-off)的过渡状态。如果输入的抽样为 L=5，那么，输出的序列为： y0 20000 y1 32000x 043200 x 104320x200432x y5 00043x4 y6 00004y = y3 = y2 y 4 = Hx3例 3.1.4、例 3.1.2 的输入输出方程也可以用下列样值处理的算法来实现：y(n)=2x(n)+3w1(n)+4w2(n) w2(n+1)=w1(n)w1(n+1)=x(n)附加的 w1(n)、w2(n)可以视为系统的内部状态。当前的输入结合当前的内部状态足以计算当前的 输出。由有下一个输入 x(n+1)所产生的输出 y(n+1)要求我们知道已经更新的内部状态。而此时的内部状 态(n+1 时刻的内部状态)已经更新。也就是说，n+1 时刻，我们有：y(n+1)= 2x(n+1)+3w1(n+1)+4w2(n+1) w2(n+2)=w1(n+1)w1(n+2)=x(n+1)这样的计算是从某个时刻开始并且不断重复，我们可以归结为以下算法：for each new input x do: y：= 2x+3w1+4w2 w2：=w1w1：=x一旦内部状态的当前值在计算输出 y 的时候使用过以后，他 们就被后两个赋值的方程更新，用来计算下一个输入的抽样。因 此w1、w2必须在一次调用到下一次调用的过程中保存。w1、 w2更新的次序非常重要，也就是首先更新 w2，接下来更新 w1， 以避免把正确的值覆盖。例 3.1.2、例 3.1.3、例 3.1.4 是同一个离散系统的等效描述方式。究竟是采用哪一种形式取决于应 用的场所，也就是要看输入序列是有限长还是无限长、输入抽样是否在接收到以后应该立刻处理还是可 以延缓处理。上面的例子实际上是用下述 I/O 方程描述的、具有更一般形式的状态空间的特例：y(n)=g(x(n)，s(n)输出方程s(n+1)=f(x(n)，s(n)状态更新方程。w1(n) 其中 s(n)是维数一定的状态方程矢量。比如说前面的例子中，s(n) = w (n) 。I/O 算法根据当前 2 已知的输入 x(n)和当前的状态 s(n)计算出当前的输出 y(n)和下一时刻的状态 s(n+1)。也可以将它表述成下面的重复演算形式：for each new input x do: y:=g(x,s)s:=f(x,s)线性时不变系统的状态空间实现是由函数 f 和 g 来表述的，而 f 和 g又是其变量的线性函数，即：f(x,s)=As+Bx g(x,s)=Cs+DxA B C D 维数各不相同。对于上例，我们有：y := 2x + 3w + 4w =123,4w 1w2 + 2x = 3,4s + 2x = g(x, s) w1 x 0s =:=w2 w110 w1 + 1 x = 00w2 0 101 s +x = f (x, s)0 0例 3.1.5y(n) = 0.5 y(n - 2) + 2x(n) + 3x(n -1)输出由常系数差分方程递归计算得到。任意时刻 n，系统必须记住前一个输入 x(n-1)和前一个时刻的输 出 y(n-1)。例 3.1.6 例 3.1.5 也可以将 I/O 方程表述为样值运算算法：for each new input x do: y:=0.5w1+2x+3v1w1:=yv1:=x它对应于所谓差分方程的直接实现形式，要求计算并且更新附加量w1,v1。 例 3.1.5 所示的 I/O 计算规则也可与下列所谓的规范形式相对应：for each new input x do: w0:=x+0.5w1 y:=2w0+3w1w1:=w0y(n) = 1 x(n + 2) + x(n +1) + x(n) + x(n -1) + x(n - 2) 为线性时不变系统5y(n) = 2x(n) + 3y(n) = x 2 (n)非线性、时不变系统y(n) = 2x(n) + 3x(n -1) + x(n)x(n -1)y(n) = medx(n +1), x(n), x(n -1) - -取中间值y(n) = nx(n)y(n) = 1 x(0) + x(1) +L x(n -1)n线性、时变系统y(n +1) =n n +1y(n) +1n +1x(n)例 3.1.16x(n 2)y(n) = 0n为偶数 n为奇数相当于一个上采样器。在抽样之间插入零，因此输出将输入抽样的数量增加。x , x , x , x ,L, x ,L01 nHx ,0, x ,0, x ,0, x ,0L, x ,0,L0123n3.2 线性与时不变性x(n) = a1x1 (n) + a2 x2 (n)一个系统是线性系统，则当输入是由两个抽样序列 x1(n)、x2(n)的线性组合时，其输出序列也是其 相应输出序列的线性组合。即：时，其输出为(3.2.1)(3.2.2)y(n) = a1 y1(n) + a2 y2 (n)为了验证一个系统是否是线性系统，必须分别验证三个输出序列，y(n)、y1(n)、y2(n)满足(3.2.2)x1(n)a1x1(n)y1(n)a1Hx(n)y(n)Ha1y1(n)+ a2y2(n)Hx2(n)a2x2(n)y2(n)a2式。时不变系统是指系统不随时间变化而改变。相同的输入序列，无论在何时施加到系统上，将产生 相同的输出。输入信号延时（右移）或提前（左移）D 单位时间，输出序列也将相应延时（右移）或提 前（左移）D 单位时间。00D时不变可以用下图来解释。DH)yD(n)Hy(n)Dx(n-DxD(n)x(n)y(n-D)x(n)输入信号经系统先延时后变换和输入信号先经过系统变换后的输出再延时得到的输出序列应该是 一样的。设 YD(n)为先延时，后变换得到的输出。Y(n-D)为先变换，后延时得到的输出。 若 yD(n)=y(n-D)，那么，该系统是时不变系统。例 3.2.1若则 而y(n)=2x(n)+3x(n) = a1x1 (n) + a2 x2 (n) 。y(n) = 2a1x1(n) + a2 x2 (n) + 3a1 y1(n) + a2 y2 (n) = a12x1(n) + 3 + a22x2 (n) + 3显然输入为两个信号的线性叠加时，输出并不是两个信号单独作用时输出的线性叠加，既：a1 y1(n) + a2 y2 (n) ya1x1(n) + a2 x2 (n)。所以为非线性系统。y(n)=x2(n)x(n) = a1x1 (n) + a2 x2 (n) 时，则y(n) = a x (n) + a x (n)2 = a 2 x2 (n) + 2a a x (n)x (n) + a 2 x2 (n)1 12 2221 11 2 122 2非线性系统。 a1x1 (n) + a2 x2 (n) = a1 y1(n) + a2 y2 (n)而为时变系统。 同理，若:y(n)=nx(n) yD(n)=nxD(n)=nx(n-D)y(n-D)=(n-D)x(n-D)yD(n)y(n-D)y(n)=x(2n) yD(n)=xD(2n)=x(2n-D)y(n-D)=x(2(n-D)=x(2n-2D)y(n-D) yD(n)所以是时变系统。这是一个下采样器。我们可以从原信号的输出和延时信号的输出更直观的看出：x , x , x , x , x , x , x L01 456HHx , x , x , x ,L02460, x , x , x , x , x , x , x L01 4560, x , x , x ,L135第一种情况下，输入经系统变换后每两个输入丢掉丢掉一个。下面一种情况下，输入延时一个单位，输 出同样每两个输入被丢掉一个，得到的输出并不是上面的输出延时一个单位。所以为时变系统。3.3 冲激响应。（离散）线性时不变系统可以用其冲激响应序列 h(n)来唯一表征。而冲激响应 h(n)就是系统对于 单位冲激输入 （n）的响应。1当d (n) = 0当n = 0h(n)n 0（n）H（n）h(n)0nn因此，我们有：d (n) h(n)或者说：1，0，0，0，L h0 , h1, h2 ,L若系统是时不变系统，就意味单位冲激输入延时一段时间，（比如说，D 单位时间），其冲激响应 输出将会是大小一样，但延时为 D 的输出 h(n-D)。d (n - D) h(n - D)其中 D 可以正，也可以负。 线性性就意味任意输入的线性组合将会产生同样的线性组合输出。d (n) + d (n -1) + d (n - 2) h(n) + h(n -1) + h(n - 2)更一般性，三个输入的加权线性组合： x(0)d (n) + x(1)d (n - 1) + x(2)d (n - 2)将会产生同样三个输出的加权线性组合： x(0)h(n) + x(1)h(n -1) + x(2)h(n - 2)任意输入序列，x(0)，x(1)，x(2)，可以看作是延时并且权重为单位冲激函数的线性组合。 x(n) = x(0)d (n) + x(1)d (n -1) + x(2)d (n - 2) +L上式中，n=0 则只有第一项不为零，其余各项为零。n=1 则只有第二项不为零，其余各项为零等等。 因而得到。 y(n) = x(0)h(n) + x(1)h(n -1) + x(2)h(n - 2) +L或写作：y(n) = x(m)h(n - m)m(LTI Form)(3.3.2)上式又称为输出函数的 LTI 形式。其实就是输入序列 x(n)与滤波器冲激响应序列 h(n)的离散时间卷积。 也可以说，LTI（线性时不变系统）就是一个卷积器。y(n) = h(m)x(n - m)m(Direct Form)(3.3.3)一般说来，上式中的求和 m 值可以扩展到负数，主要取决于输入信号。改变求和式当中求和项的 次序，也可以写成另一种形式：图 3.3.3 线性组合的响应3.4FIR 和 IIR 滤波器离散时不变系统根据其冲激响应是否是有限延时还是无限延时可以分成 FIR(有限冲激响应)和 IIR（无限冲激响应）两类。FIR 冲激响应IIR 冲激响应FIR 滤波器的冲激响应仅仅延续有限长时间，也就是说，0nM，其余均为零。h0 , h1, h2 ,L, hM ,0,0,0,LM 称为滤波器的阶数。FIR 滤波器冲激响应矢量 h 的长度为：L h=M+1冲激响应的系数 h0 , h1, h2 ,L, hM 在不同的教科书上有不同的名称，比方说，滤波器系数、滤波器的权、filters taps(滤波器的节拍)。式 3.3.3 又成为卷积的直接形式。当 mM 和 m0 时，h(m)都不存在，只有0mM 的项不为零。所以 3.3.3 式又可以写成为：My(n) = h(m)x(n - m)m=0FIR 卷积方程3.4.1或者写成显式表达式： y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n - 1) + h(2)x(n - 2) + L+ h(M )x(n - M )3.4.2因此，I/O 方程可以由当前的输入抽样 x(n)与过去的 M 个抽样 x(n-1),x(n-2),x(n-M)的加权和得到。例 3.4.1y(n)=2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) 可以视为二阶滤波器，滤波器的系数 h=h0，h1，h2=2，3，4 y(n)=h0x(n)-h1x(n-1)+h3x(n-2)例 3.4.3 求下列 FIR 滤波器的冲激响应系数 h。y(n)=2x(n)+3x(n-1)+5x(n-2)+2x(n-3)滤波器系数：h=h0,h1,h2,h3=2,3,5,2为一个三阶滤波器y(n)=x(n)-x(n-4)滤波器系数：h=1,0,0,0,-1为一个四阶滤波器当输入为冲激序列时 x(n)=(n)，输出也是冲激响应序列： h(n)=2(n)+3(n-1)+5(n-2)+2(n-3)和h(n)=(n)(n-4)另一方面，IIR 滤波器冲激响应 h(n)时限无限延长，0n0 时，冲激函数(n)=0，因此差分方程为：h(n)=h(n-1)，也就是说：h(0)=h(1)=h(2)=1。所有系数都是一样的。 因此我们有：1h(n) = u(n) = 0n 0n -1其中，u(n)为离散时间单位阶跃序列。将上式代入卷积方程(3.4.3)，我们得到：y(n) = h(m)x(n - m) = x(n - m)m=0m=0或者写成： y(n) = x(n) + x(n -1) + x(n - 2) + x(n - 3) +L将 n 换成 n-1，前一时刻的输出为： y(n -1) = x(n -1) + x(n - 2) + x(n - 3) +L由此得到： y(n) - y(n -1) = x(n)因此，I/O 卷积方程等效于下列递归差分方程： y(n) = y(n -1) + x(n)这是一个累加器，或者叫做离散时间积分器。注意到 I/O 卷积方程(递归差分方程)与 h(n)的差 分方程具有相同的形式。实际上，冲激响应差分方程中，只要将 y(n)=h(n)、x(n)=(n)代入滤波器系数 所满足的差分方程，就可以得到递归差分方程。例 3.4.5 设滤波器系数满足下列差分方程： h(n) = ah(n -1) + d (n) a 为常数。求输出 y(n)与输入 x(n)之间的差分方程。 解：h(0) = ah(-1) + d (0)h(1) = ah(0) + d (1) = a 1+ 0 = a h(2) = ah(1) + d (2) = a a + 0 = a 2 h(3) = ah(2) + d (3) = a a 2 + 0 = a3以此类推，我们得到：代入卷积方程，得到：h(n) = anu(n) = an0n 0n -1y(n) = x(n) + ax(n -1) + a2 x(n - 2) + a3x(n - 3) +L= x(n) + ax(n -1) + ax(n - 2) + a2 x(n - 3) +Ly(n) = ay(n -1) + x(n)可以看出，它所满足的方程正好是滤波器系数所满足的差分方程。例 3.4.6 求满足下列 I/O 差分方程的 IIR 滤波器的卷积方程和冲激响应：y(n) = -0.8 y(n - 1) + x(n)分方程：解：上述方程恰好是上例中 a=0.8。令 x(n)=(n)、y(n)=h(n)，我么就得到 h(n)所满足的差h(n) = -0.8h(n -1) + d (n)设初始条件 h(-1)=0，对 n 作几次迭代，我们得到：(-0.8)nh(n) = (-0.8)nu(n) = 0n 0n 1将 h(n)代入卷积方程(3.4.3)我们得到：y(n) = x(n) + (-0.8)x(n - 1) + (-0.8)2 x(n - 2) + (-0.8)3 x(n - 3) +L上式包括无限多项。例 3.4.7 设滤波器的冲激响应为：2n = 0h(n) = 4(0.5)n-1n 1求 y(n)和 h(n)所满足的差分方程。解：h(0)和 h(1)为任意给定的。n2 后，各系数可以递归计算。比如说：h(1)=4h(2)=0.5h(1)h(3)=0.5h(2)h(4)=0.5h(3) 把以上系数代入卷积方程(3.4.3)，我们得到：yn = h0 xn + h1 xn-1 + h2 xn-2 + h3 xn-3 +L= 2xn + 4xn-1 + 2xn-2 + 0.5xn-3 + 0.52 xn-4 +L此前一个时刻的输出：2yn-1 = 2xn-1 + 4xn-2 + 2xn-3 + 0.5xn-4 + 0.5 xn-5 +L方程两边同乘以 0.5 得到：230.5 yn-1 = xn-1 + 2xn-2 + 0.5xn-3 + 0.5 xn-4 + 0.5 xn-5 +L用 y(n)减去 0.5y(n-1)得到：y(n) - 0.5 y(n -1) = 2x(n) + 3x(n -1)或者：y(n) = 0.5 y(n -1) + 2x(n) + 3x(n -1)既为输入和输出所满足的差分方程。用 h(n)替换 y(n)，(n)替换 x(n)，得到冲激响应所满足的差分方程：h(n) = 0.5h(n -1) + 2d (n) + 3d (n -1)例 3.4.8 求满足下列差分方程的 IIR 滤波器的卷积和冲激响应。y(n) = 0.25 y(n - 2) + x(n)解：冲激响应满足下列差分方程：h(n) = 0.25h(n - 2) + d (n)设初始条件为零：h(-1)=h(-2)=0。滤波器前几项系数的迭代为：h(0)=0.25h(-2)+(0)=0.250+1=1 h(1)=0.25h(-1)+(1)=0h(2)=0.25h( 0)+(2)=0.25=(0.5)2 h(3)=0.25h(1)+(3)=0 h(4)=0.25h(2)+(4)=0.250.25=(0.25)4因此，对任何 n0，我们有：我们也可以写成为：h(n) = (0.5)n0n为偶数 n为奇数卷积方程为：h=1， 0， (0.5)2， 0，(0.5)4， yn = xn + 0.52 x(n - 2) + 0.54 x(n - 4) +L例 3.4.9 求满足下列周期性因果冲激响应的 IIR 滤波器 I/O 差分方程：h(n) = 2,3,4,5,2,3,4,5,2,3,4,5,L解：如果将冲激响应延时四个时间单位，我们得到：h(n - 4) = 0,0,0,0,2,3,4,5,2,3,4,5,L两式相减得到：h(n) - h(n - 4) = 2,3,4,5,0,0,0,0,0,0,0,0,L也就是说，n4 的项相互抵消。Page 114 图解释。 我们可以将上式写作：h(n) - h(n - 4) = 2d (n) + 3d (n -1) + 4d (n - 2) + 5d (n - 3)得到：h(n) = h(n - 4) + 2d (n) + 3d (n -1) + 4d (n - 2) + 5d (n - 3)用前面例子中所介绍的方法，我们可以得到 y(n)所满足的方程：y(n) = y(n - 4) + 2x(n) + 3x(n -1) + 4x(n - 2) + 5x(n - 3)这以例子解释了怎样构造数字周期波形发生器。将要产生的波形假设为 LTI 系统的冲激响应， 在确定好系统的差分方程后，输入端施加冲激脉冲，输出端就是想要的波形。(8.1.2)更一般性，我们所关心的 IIR 滤波器的冲激响应 h(n)满足下述差分方程：MLh(n) = aih(n - i) + bid (n - i)i=1i=0或这写成显式表达式：hn = a1hn-1 + a2h(n - 2) +L+ aM hn-M+ b0d n + b1d n-1 + L+ bLd n- L利用例 3.4.7 的方法，我们可以把上述两式写成：MLy(n) = ai y(n - i) + bix(n - i)i=1i=0或yn = a1 yn-1 + a2 y(n - 2) +L+ aM yn-M + b0 xn + b1xn-1 +L+ bLxn- L我们将在讨论 z 变换后再探讨 IIR 滤波器的特性。需要提醒的一点是 FIR 滤波器可以认为是 IIR 滤波其递归项不存在时的特殊情形。也就是说当递归项系数 a1=a2=aM=0 时，IIR 滤波器就是 FIR 滤 波器。I/O 差分方卷积方程冲激响应 h(n)传递函数 H(z)频域响应 H()零点/极点图框图和抽样处理算法最后，FIR 和 IIR 滤波器数学上有几种等效的表达方式： 程前面的这些例子总是在前三种方法之间来回倒换，从差分方程到冲激响应再到滤波的卷积形式。 后面我们将看到，这些例子中时域的繁琐的运算用 z 变换就可以避免了。但是每一种表述方式都有不同的目的，并使我们对滤波器特性可以做不同的解释。比方说，我们 可以给滤波器提供我们期望的频域规范，也就是提出期望的 H()。用滤波器设计方法，我们可以设计 一个滤波器的频域响应逼近这一函数。对 IIR 滤波器一般的设计手段是传递函数 H(z)，而 FIR 滤波器设 计的手段多为冲激响应 h(n)。由传递函数 H(z)或冲激响应 h(n)，我们可以得到实时实现该滤波器的框图。3.5 因果性和稳定性离散信号同模拟信号一样，可以划分为因果信号、反因果信号、混合信号。 因果信号或右边信号：当且仅当 n0 时 x(n)存在，n1 时，x(n)不存在。这种信号是最常见的信号。信号反因果信号或叫左边信号只有当 n1 时，x(n)存在，而当 n0，x(n)不存在。混合信号或双边 既包含左边信号又包含右边信号。时间起点，n=0 的设置完全是一种人为约定。一般说来，我们将时间起点设置为信号发生器合上 开关或我们开始处理的某个时间。因此，相对于某个给定的时间起点而言的双边信号，无非是我们开始 处理之前已经存在的信号。LTI 系统也可以根据其冲激响应 h(n)是否是因果、反因果或双边二可以划分为因果系统、反因果 系统或混合系统。双边的（混合的）的 LTI 系统的冲激响应 h(n)，n 的取值范围为n,其 I/O 方 程为：y(n）= h(m)x(n - m)m=-这种系统不可能实时实现，因为上式可以展开为：y(n) = L+ h-2 x(n + 2) + h-1x(n + 1) + h0 x(n) + h1x(n - 1) + h2 x(n - 2) +L换句话说，为了计算当前的输出 y(n),我们必须知道未来的输入，,x(n+2)，x(n+1)，而这些未来 的输入是无法得到的。反因果系统和双边系统与直觉相反的，是违反因果规律的。比方说，双边系统或反因果系统对于 n=0 时刻的单位冲激信号(n)的响应 h(n)，如果 h(-1)0，这就意味着，系统已经在 n=-1 时刻产生一 个输出，或者说在 n=0 时刻施加单位冲激信号之前就已经有了输出。但是 DSP 中又经常遇到或要用到这样一种双边系统或反因果系统。比方说 FIR smoothing(平滑) 滤波器、过抽样和逆滤波设计中用到的 FIR 插值滤波器。h(n)hD=h(n-D)平滑滤波和插值滤波属于一种仅包含有限时间长度反因果的双边系统，或者说其反因果部分的延 时时间长度有限，-Dn-1。这种滤波器如下图所示。-D0n0n 有限反因果系统调整后的因果系统这种有限时长的反因果滤波器的 I/O 方程可以表达为：y(n）= h(m)x(n - m)m=- D(3.5.2)如果将这种系统的延时 D，就成为一种因果系统。此时其冲激响应为：hD=h(n-D)用 hD 代替 h(n)，I/O 方程可以表达为：yD (n）= hD (m)x(n - m)m=0(3.5.3)这种滤波器是可以实时实现的。很容易看出，输出被往右延时时间 D 而变为：yD(n)=y(n-D)例 3.5.1 设有一个五拍(5-tap)的平滑滤波器，滤波器的系数为 h(n)=1/5(-2n2)。I/O 卷积方程为：y(n）=21 h(m)x(n - m) =2 x(n - m)m=-25 m=-2= 1 x(n + 2) + x(n +1) + x(n) + x(n -1) + x(n - 2) 5因为是用当前抽样值前后的几个抽样的平均值代替当前时刻的抽样，所以称之为平滑器或平均器， 从一个抽样到下一个抽样之间的波动变得平缓些。其反因果部分为 2，通过延时两个时间单位可以变为因果系统：y (n）= 1 x(n) + x(n -1) + x(n - 2) + x(n - 3) + x(n - 4)25当实时处理问题得到解决后（如分批处理方法-第四章），要处理的输入数据早已收集并分批 存储在存储器或磁带这类介质上，我们就可以直接引用 3.5.2 式，这也是 DSP 比模拟信号处理优越的 一点。这种处理方法的一个例子是静态图像的处理，图像的像素信息早已汇聚在样本当中。LTI 系统除了依据其因果属性来划分以外，还可以根据其稳定性来划分。一个 LTI 系统，当 n时，h(n)趋近于零的速度足够快，系统的输出 y(n)不发散，我们就说该系统是稳定的。或者说对于有 界输入， x(n) A ，系统的输出为有界， y(n) B 。简而言之，如果有界输入产生有界输出，则系 统是稳定的。可以证明，LTI 系统有界输入产生有界输出的充分必要条件是其冲激响应可以绝对求和： h(n) n=-例 3.5.2 下列四个冲激响应所表示的分别是：稳定性条件(1)h(n) = (0.5) n u(n) 稳定、因果系统(2)h(n) = -(0.5)nu(-n -1) 非稳定、反因果系统(3)h(n) = -2nu(n) 非稳定、因果系统(4)h(n) = -2nu(-n -1) 稳定、反因果系统(1)、（3）情况,单位阶跃序列 u(n)使得 h(n)只有 n0 时取非零值，(2)、(4) 情况，单位阶跃序列 的翻褶 u(-n-1)(注释：(音 zhe)衣服摺叠而形成的印痕：百裙。泛指摺皱重复的部分：子。皱) 使得 h(n)只有在 n-1 时不为零，其余各点全部为零。所以(1)、(3)为因果系统，(2)、(4)为反因果系统。n时，(1)趋近于零而收敛，是稳定系统。 (2)发散，这是因为 n 只能取负值，所以零 n = - n ，则：h(n) = -(0.5)nu(-n -1) = -(0.5)- n u(-n -1) = -2 n u(-n -1)随 n 的增加指数增加。(3)也是随 n 增加指数增加，所以也是不稳定系统。(4)当 n-时有：h(n) = -2nu(-n -1) = -2- n u(-n -1) = -(0.5) n u(-n -1)收敛，故此为稳定系统。也可以用(3.5.4)来判断是否收敛。利用几何级数公式： xmm=0= 1 1- x和 xm m= x1- xx 1我们有：1（1） h(n) = (0.5) n = n=-n=0-1- 0.5（2） h(n) = (0.5)n = 2m = n=-n=-1m=1（3） h(n) = 2n = n=-n=0-0.5（4） h(n) = 2n = (0.5)m = n=-n=-1m=11- 0.5第五章中我们将看到，(1)、(2) 的传递函数相同， H (z) =11- 0.5z -1。(2)、(4) 有相同的传递函数 H (z) =11- 2z -1。仅凭传递函数无法判断是哪一个系统。在硬件实现和软件实现一个 LTI 系统时，稳定性时绝对必要的。因为稳定性可以保证计算 I/O 方 程的卷积求和运算，或者是计算等效差分方程不会越过某个限定的界限。硬件实现上，不稳定则会很快 使得寄存器饱和溢出。软件实现上，不稳定性会超越大多数计算机的数值范围，使得计算得到的数据毫 无意义。逻辑上说，稳定性于因果性是相互独立的，但并非总是相互兼容的。也就是说，不可能同时满足 稳定性和因果性，但是在大多数情况下，我们宁可舍弃因果性而保证稳定性。如果一个稳定系统的反因果部分只有有限时间长度，如上所述，我们可以通过延时使其成为因果 系统。若反因果系统的反因果部分时无限延时的，那么，h(n)只能采用下述方法来近似。因为 h(n)是稳 定的，对于很大的负数 n，h(n)趋近与零。因此，我们可以选择一个足够大的负数，n=-D，对 n-D 剪去 h(n)的尾部。也就是说：用剪去尾部的 h (n) 来近似代替 h(n)。h(n)n -Dh (n) = 0n -D剪去尾部以后的冲激响应其反因果部分是有限时间长度的，延时 D 后使其变成为因果系统。此时 系统的冲激响应为：hhD (n) = (n - D)y (n)选择适当的 D 可以时近似误差足够小。为了证明这一点，设为近似系统(剪尾后的系统)(n)h对于有界输入 x(n) A 的输出。而 y(n)为真实系统对于相同有界输入的输出，可以证明，对任意n，二者的误差：- D-1y(n) - y (n) A h(m)m=-由于上式的求和仅仅为 3.5.4 的一部分，肯定是有限的，且随 D 的增加而趋于零。例 3.5.2 中，- D-1m=-h(m) =m= D+1(0.5)D = (0.5)D+1 1= (0.5)D1- 0.5当 D 足够大时，可以使其足够小。这种稳定但又是反因果的系统在滤波器的设计中常常遇到。传输函数为 H(z)的滤波器，其逆滤波 器的传输函数为：Hinv=1H (z)这种逆滤波应用于许多不同的场所，如数字数据传输重的通道均衡，其传输函数可能是某个通道 的传输函数或均衡滤波器的传输函数。逆滤波器相应的冲激响应应该选择使其稳定。但稳定不一定保证其因果特性，因此我们可以采取 近似的渐近/延时方法：hinv,D(n) =hinv(n - D)23Introduction to Signal ftrocessing第四章FIR 滤波与卷积实际的 DSP 方法可以分为两类： 分批处理方法样值处理方法。在分批处理方法当中，数据是分批收集并处理的。分批处理的典型应用包括：有限延时的信号 FIR卷积滤波、长延时信号分段快速卷积、DFT/FFT 频谱计算、语音分析与合成、图像处理。样值处理方法中，每一次只处理一个抽样。每一个输入的样本，依据 DSP 算法将输入抽样信号转 换为输出信号。抽样处理算法主要应用于实时处理中，如长信号实时滤波、数字化音效、数字控制系 统、自适应信号处理。样值处理算法本质上说就是 LTI 系统的状态空间实现。本章中，我们将探讨 FIR 滤波的分批处理算法和样值处理算法。我们将讨论卷积方程 (3.3.2) 式 和(3.3.3)式应用于 FIR 滤波和有限延时算法方面的问题，同时给出卷积的不同形式等效描述，包括：Direct Form Convolution Table LTI FormMatrix FormFlip-and-Slip FormOverlap-and Block Convolution Form每一种方法都有其各自的优点。比方说，LTI form 是最基本的一种算法，因为它结合了系统的线 性性质和时不变性质；Direct form 直接导出滤波器的分批框图实现方法以及相应的样值抽样处理算 法；卷积表适合于快速的手工计算；Flip-and-slide form 可以清楚的表明滤波器输入通、断过渡和稳 态行为；Matrix form 给出了滤波运算方程式的紧凑形式矢量表示形式，并广泛应用于象图像处理这 类应用当中；Overlap-add form 适用于输入信号时延非常长或无限的这类应用当中。然后，我们将讨论 FIR 滤波的样值处理方法及其框图实现，这种框图提供了样值处理算法机器化 方法。我们将讨论 FIR 滤波器的 direct form 实现方法和 DSP 芯片硬件方面的问题，以及循环寻址的 概念，这种寻址方法使实现延时、FIR 滤波、IIR 滤波的硬、软件方面都时最新流行的。4.1 分批处理算法4.1.1 卷积许多实际的应用中，我们将模拟信号（根据抽样定理）抽样并且把有限个抽样（L 个样本）收集 来表示输入信号在该一段时限内的记录。抽样记录的时间用秒表示就是：TL = LT(4.1.1)其中，T 为抽样周期，抽样率与处样周期的关系是：fs=1/T。反过来，我们可以根据抽样的时间间隔 来计算抽样数。L = TL f s(4.1.2)x(n)0123L-1nTLL 个信号样本 x(n)，n=0，1，2，L-1 可以看作是一个块：x = x0，x1，x2，L，xL-1(4.1.3)可以进一步由滤波器来处理。直接形式和 LTI 形式由下式给出：y(n) = h(m)x(n - m) = x(m)h(n - m)mmy(n) = h(i)x( j)i, ji+ j =n卷积表达式中 x(m)和 h(n-m)的系数是 m+(n-m)=n，因此上述方程可以写成：(4.1.5)(4.1.4)也就是说，将满足 i+j=n 的所有项 h(i)与 x(j)相乘，然后再求和。和的大小取决于 4.1.4 式中的 m， 或者说与 4.1.5 式中 i、j 有关。4.1.2Direct F