2011年考研数学二真题.pdf

第 1 页 共 9 页 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案详解 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案详解 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1） 已知当0x 时，函数( )3sinsin3f xxx=与 k cx是等价无穷小，则（ ） （A）1,4kc= （B）1,4kc= （C）3,4kc= （D）3,4kc= 【答案】应选（C） 【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。 【详解一】 33 33 27 sin(),sin33() 3!3! xx xxo xxxo x=+=+ 33 3 3 000 9 () 3sinsin34 22 limlimlim1 kkk xxx xx o x xxx cxcxcx + = 所以4,3ck= 【详解二】 11 000 3sinsin33cos3cos332sin2 sin() limlimlim kkk xxx xxxxxx cxckxckx = 2 1 0 12 lim1 k x x ckx = 所以12,12kck =，即3,4kc= （2） 已知( )f x在0x =处可导，且(0)0f=，则 23 3 0 ( )2 () lim x x f xf x x 等于（ ） （A）2(0) f （B）(0) f （C）(0) f （D）0 【答案】应选（B） 【分析】根据导数在某点的定义求解。 【详解】 23223 333 00 ( )2 ()( )(0)2 ()2 (0) limlim xx x f xf xx f xx ff xf xxx = 因为( )f x在0x =处可导，所以 考研数学助手 您考研的忠实伴侣 第 2 页 共 9 页 23223 333 000 ( )2 ()( )(0)2 ()2 (0) limlimlim xxx x f xf xx f xx ff xf xxx = (0)2(0)(0)fff= （3） 函数( )ln (1)(2)(3)f xxxx=的驻点个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】应选（C） 【详解】令( )0fx=，解得驻点 1 2 3 x = （4） 微分方程 2 (0) xx yyee =+的特解形式为（ ） （A）() xx a ee + （B）() xx ax ee + （C）() xx x aebe + （D） 2( ) xx xaebe + 【答案】应选（C） 【详解】特征值为，非齐次项中分别与特征根相等，则特解可设为 () xx x aebe + （5） 设 函 数( ), ( )f x g x均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足(0)0, (0)0fg （D）(0)0,(0)0fg 则( )xf x dx + = 【答案】 1 【详解】 0 1 ( ) x xf x dxx edx + = 或者指数函数的数学期望。 （13）设平面区域D由直线yx=圆 22 2xyy+=及y轴所组成，则二重积分 D xyd= 【答案】 7 12 【详解】 2sin 3 2 0 4 7 sin 12 D xyddrcox dr = （14）二次型 222 123123121 323 ( ,)3222f x x xxxxx xx xx x=+，则f的正惯性指数为 _. 【答案】应填 2. 【详解 1】二次型 222 123123121 323 ( ,)3222f x x xxxxx xx xx x=+易经过配方法化为 22 12 4yy+， 从而正惯性指数为 2. 【详解 2】本题亦可通过求二次型矩阵的特征值进一步得到正惯性指数为 2. 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 第 5 页 共 9 页 明、证明过程或演算步骤. 明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 10 分）已知函数 2 0 3 ln(1) ( ) x a tdt F x x + = ，设 0 lim( )lim( )0 x x F xF x + + =，试求a的取值范围。 解：由lim( )0 x F x + =，所以至少0a 由 0 lim( )0 x F x + =， 所以 2 22 0 33131 0000 ln(1) ln(1) lim( )limlimlim0 33 x aaa xxxx tdt xx F x xaxax + + + = 故231a，所以1a 所以数列 n a收敛 （20） （本题满分 11 分）一容器内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲线是由 22 1 2 () 2 xyy y+= 与 22 1 1() 2 xyy+=连接而成的。 （）容器的容积； （）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m， 重力加速度为 2 /gm s，水的密度为 3 10/kg m。 【详解】 （）容积 1 2 2 121 1 9 22(1) 4 VVVVydy =+= （） 22 33 11 927 1010 44 WF Smgdygdyg = （21） （本题满分 11 分）已知函数( , )f x y具有二阶连续偏导数，且(1, )0,( ,1)0,fyf x= ( , ), D f x y dxdya= 其中( , ) 01,01Dx yxy=， 计算二重积分( , ) xy D xyfx y dxdy 【详解】根据二重积分的计算 () 11 00 ( , )( , ) xyxy D xyfx y dxdyxyfx y dy dx= () 111 1 0 000 ( , )( , )( , )( , ) y xyxxx y yfx y dyydfx yyfx yfx y dy = = = 11 00 ( ,1)( , )( , ) xxx fxfx y dyfx y dy= 则 原式= ()() 1111 0000 ( , )( , ) xx xfx y dy dxxfx y dx dy= 第 8 页 共 9 页 ()() () () 111111 1 0 000000 ( , )( , )( , )( , ) x x x xfx y dx dyxdf x ydyxf x yf x y dx dy = = = = = () 11 00 (1, )( , )( , ) D fyf x y dx dyf x y dxdya= = (22)（本小题满分 11 分）设向量组 123 (1,0,1)(0,1,1)(1,3,5) TTT ，=，不能由向 量组 123 (1,1,1)(1,2,3)(3,4, ) TTT a，=线性表出. (1)求a的值. (2)将 123 ，由 123 ，线性表出. 【详解】 (1)易知 123 ，线性无关， 由其不能被 123 ，线性表出， 得到 123 ， 线性相关，从而 123 ()3r，. 由 1 1 31 1 31 1 1 1 2 40 1 10 1 1 1 3 a0 2 a-30 0 a-5 得5a =. (2)由 1 0 1 1 1 31 0 1 1 1 3 0 1 3 1 2 40 1 3 1 2 4 1 1 5 1 3 50 1 4 0 2 2 1 0 1 1 1 31 0 0 2 1 0 1 3 1 2 4 0 0 1 -1 0 -2 5 0 1 0 4 2 10 0 0 1 -1 0 -2 得 ()() 123123 215 4210 102 = (23)（本小题满分 11 分）A 为三阶实对称矩阵，( )2r A =且 1 11 1 0 0 0 0 -1 1 1 1 A = . (1)求 A 的特征值与特征向量. (2)求矩阵 A. 第 9 页 共 9 页 【详解】(1)