2000年考研数学一真题解析.pdf

2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题理工数学一试题 一、 填空题一、 填空题 (1) 1 2 0 2xx dx= . （2）曲面 222 2321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . （3）微分方程 30xyy+=的通解为 . （4）已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax += 无解，则a = . (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 , 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则P A= . 二、选择题二、选择题 （1） 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数， 且( ) ( )( )( ) 0fx g xf x gx （C）( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b （D）( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 （2）设() 2222 1 :0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 SS xdSxdS= （B） 1 4 SS ydSxdS= （C） 1 4 SS zdSxdS= （D） 1 4 SS xyzdSxyzdS= 【 】 （3）设级数 1 n n u = 收敛，则必收敛的级数为 （A）() 1 1. n n n u n = （B） 2 1 n n u = （C）() 212 1 . nn n uu = (D) () 1 1 . nn n uu + = + 【 】 考研数学助手 您考研的忠实伴侣 （4）设n维列向量组() 1, , m mn， 取逆时针方向. 六、六、设对于半空间0x 内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( ) 2 0, x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy= ? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且( ) 0 lim1, x f x + =求( )f x. 七、七、求幂级数 ()1 1 32 n n n n x n =+ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 八、八、 设有一半径为R的球体， 0 P是此球的表面上的一个定点， 球体上任一点的密度与该点到 0 P 距离的平方成正比（比例常数0k ） ，求球体的重心位置. 九、九、设函数( )f x在0,上连续，且( )( ) 00 0,cos0,f x dxf xxdx = 试证：在()0,内 至少存在两个不同的点 12 , ，使( )() 12 0ff=. 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设矩阵A的伴随矩阵 * 1000 0100 , 1010 0308 A = 且 11 3 ,ABABAE =+其中E为 4 阶单位矩阵， 求矩阵.B 十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将 1 6 熟练工支援 其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年 终考核有 2 5 成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x和 n y， 记为向量 n n x y . （1） 求 1 1 n n x y + + 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式： 11 11 ; nn nn xx A yy + + = （2） 验证 12 41 , 11 = 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3） 当 1 1 1 2 1 2 x y = 时，求 1 1 n n x y + + . 十二、十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为()01pp为未知参数，又设 12 , n x xx?是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计 值. 2000 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 (1) 1 2 0 2xx dx= . 【答】 . 4 【详解】 () 11 2 22 2 000 2111sincos 4 xx dxxdxxttdt = = （2）曲面 222 2321xyz+=在点()1, 2,2的法线方程为 . 【答】 122 146 xyz+ = . 【详解】 令 () 222 , ,2321F x y zxyz=+， 则有 () () () () () () 1, 2,2 1, 2,2 1, 2,2 1, 2,222, 1, 2,248, 1, 2,2612. | | | x y z Fx Fy Fz = = = 因此所求法线方程为： 122 146 xyz+ = （3）微分方程 30xyy+=的通解为 . 【答】 2 1 2 C yC x =+. 【详解】 令 py=，则原方程化为 3 0,pp x += 其通解为 3. pCx= 因此， 32 2 112 2 , 22 CCC yCx dxCxCC x =+= （4）已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax += 无解，则a = . 【答】 -1. 【详解】 化增广矩阵为阶梯形，有 ()() 121112111211 2323011011 120023100313 aaa aaaaa + + ? ? ? 可见。当1a = 时，系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的秩为 3，因此方程组无解. 注意，当3a =时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2，方程组有无穷多解. (5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为 1 , 9 A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则( )P A= . 【答】 2 . 3 【详解】 由题设。有 ()()() 1 , 9 P ABP ABP AB= 因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立。于是由 ()() P ABP AB=， 有 ( ) ( )( )( ) P A P BP A P B= 即有 ( )( )( )( )11,P AP BP AP B= 可得 ( )P A=( )P B 从而 ()( ) ( )( ) 21 1, 9 P ABP A P BP A= 解得 ( )P A= 2 . 3 二、选择题二、选择题 （1） 设( )( ),f xg x是恒大于零得可导函数， 且( ) ( )( )( ) 0fx g xf x gx （C）( ) ( )( ) ( )f x g xf b g b （D）( ) ( )( ) ( )f x g xf a g a 【 】 【答】 应选（A）. 【详解】 由题设知 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 2 0, f xfx g xf x gx g xgx = 因此当axb， 可见（A）为正确选项. （2）设() 2222 1 :0 ,S xyzazS+=为S在第一卦限中的部分，则有 （A） 1 4 SS xdSxdS= （B） 1 4 SS ydSxdS= （C） 1 4 SS zdSxdS= （D） 1 4 SS xyzdSxyzdS= 【 】 【答】 应选（C）. 【详解】 显然， 待选答案的四个右端均大于零， 而S关于平面0x =和0y=对称， 因此 （A） 、 （B） 、 （D）三项中的左端项均能为零，可见（C）一定为正确选项.事实上,有 11 44 SSS zdSzdSxdS= （3）设级数 1 n n u = 收敛，则必收敛的级数为 （A）() 1 1. n n n u n = （B） 2 1 n n u = （C）() 212 1 . nn n uu = (D) () 1 1 . nn n uu + = + 【 】 【答】 应选（D）. 【详解】 利用级数的性质即知， （D）为正确选项，事实上， （A） 、 （B） 、 （C）三个选项可举 反例说明是不正确的.例如： () 2 1 1 ln n n n = 收敛，但() 22 1 1 ln n n nn u nnn = = 发散，可排除（A） ； () 1 1 1 n nn = 收敛，但 2 11 1 n nn u n = = 发散，可排除（B） ； () 1 1 1 1 n n n = 收敛，但() 212 111 111 212 nn nnn uu nnn = =+ 发散，可排除（c）. （4）设n维列向量组() 1, , m mn内任意的光滑有向封闭曲面,S都有 ( )( ) 2 0, x S xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy= ? 其中函数( )f x在()0,+内具有连续的一阶导数，且( ) 0 lim1, x f x + =求( )f x. 【详解】 由题设和高斯公式得 ( )( ) ( )( )( ) 2 2 0 , x S x xf x dydzxyf x dzdxe zdxdy xfxf xxf xedV = = + ? 其中为S围成的有界闭区域，号对应曲面取外侧或内侧，由S的任意性，知 ( )( )( )() 2 0,0 x xfxf xxf xex+= 即 ( )( )() 2 11 1,0 x fxf xex xx += 这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为 ( )() x x e f xeC x =+ 由于( ) 2 00 limlim1, xx xx eCe f x x + + = 故必有 () 2 0 lim0, xx x eCe + += 即 10C + =，从而1C = 因此 ( ) () 1 . x x e f xe x = 七、七、求幂级数 ()1 1 32 n n n n x n =+ 的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性. 【详解】 因为 () ()() () 1 11 1 2 1 32 3 1 limlimlim 3 3212 3 11 3 n n n n nn nnnn n n n a a n n + + + + + = + + + + 所以收敛半径为3R =，相应的收敛区间为()3,3 当3x =时，因为 ( ) () 311 2 32 n n n nn + ，且 1 1 n n = 发散，所以原级数在点3x =处发散； 当3x = 时 ， 由 于 () () () ( ) () 32111 1 3232 nn n nn nn nnn = + + ， 且 () 1 1 n n n = 与 ( ) ()1 21 32 n n n n n = + 都收敛. 所以原级数在点3x = 处收敛 . 八、八、 设有一半径为R的球体， 0 P是此球的表面上的一个定点， 球体上任一点的密度与该点到 0 P 距离的平方成正比（比例常数0k ） ，求球体的重心位置. 【分析】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键 是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点 0 P作为坐标原点，相应的有两种 求解方法. 【详解 1】 用表示球体，以的球心为原点,O射线 0 OP为正x轴建立直角坐标系，则点 0 P的坐标为 (),0,0R球面的方程为 2222 xyzR+= 设的重心位置为( ) , ,x y z，由对称性，得 0,0,yz= () () 2 22 2 22 x kxRyzdV x kxRyzdV + = + 而 () () 2 22 2232225 22 000 5 4 8sin 3 32 15 R xRyzdV xyzdVR dVddrrdrR R + =+=+ = () () 2 222 2236 2 28 315 xxRyzdVRx dV R xyzdVR += = += 故 4 R x = . 因此， 球体的重心位置为,0,0 . 4 R 【详解 2】 用表示所考虑的球体， O表示球心， 以点 0 P选为原点， 射线 0 P O为正z轴建立直角坐标系， 则球面的方程为 222 2xyzRz+= 设的重心位置为( ) , ,x y z，由对称性，得 0,0,xy= () () 223 223 kz xyzdV z k xyzdV + = + 因为 () 2cos 2224 22 000 5 4sin 32 15 R xyzdVddrdr R += = () 2cos 2225 22 000 67 2 0 6 4sincos 64 cossin 3 8 3 R z xyzdVddrdr Rd R += = = 故 5 . 4 zR= 因此，球体的重心位置为 5 0,0, 4 R . 九、九、设函数( )f x在0,上连续，且( )( ) 00 0,cos0,f x dxf xxdx = 试证：在()0,内 至少存在两个不同的点 12 , ，使( )() 12 0ff=. 【详解】 令( )( ) 0 ,F xf t dt =则有( )( )00,FF=又因为 ( )( ) ( )( ) ( ) 00 00 0 0coscos cossin sin | f xxdxxdF x F xxF xxdx F xxdx = =+ = 令( )( ) 0 sinG xF xtdt =，则( )( )00,GG= 于是存在()0,，使( )sin0,F=因为当()0,，这样就证明了. ( )( )( )00FFF= 再对( )F x在区间0,，, 上分别用罗尔定理知，至少存在() 1 0,，() 2 , 使 ( )() 12 0FF= 即 ( )() 12 0ff= 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设矩阵A的伴随矩阵 * 1000 0100 , 1010 0308 A = 且 11 3 ,ABABAE =+其中E为 4 阶单位矩阵， 求矩阵.B 【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据 题设等式，可先右乘A，再左乘 * A，尽量不去计算 1. A 【详解 1】 由 * ,AAA AA E=知 1 * n AA =，因此有 3 * 8AA=， 于是 2A = 在等式 11 3 ,ABABAE =+两边先右乘A，再左乘 * A，得 * 23,BA BA AA B=+= () * 26 ,EABE= 于是 () 1 1 * 10006000 01000600 6 26 10106060 03060301 BEA = 【详解 2】 2A =（同解 1） ，由 * ,AAA AA E=，得 ()() 11 * 1000 0100 22 1010 31 00 88 2000 0200 , 2020 31 00 44 AA AA = = 可见AE为逆矩阵. 于是由() 1 3 ,AE BAE =有() 1 3BAEA =，而 () 1 1 10001000 01000100 , 20102010 433 01000 344 AE = 因此 10002000 6000 01000200 0600 3 20102020 6060 431 030101000 344 B = 十一、十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将 1 6 熟练工支援 其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年 终考核有 2 5 成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 n x和 n y， 记为向量 n n x y . （1） 求 1 1 n n x y + + 与 n n x y 的关系式并写成矩阵形式： 11 11 ; nn nn xx A yy + + = （2） 验证 12 41 , 11 = 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值； （3） 当 1 1 1 2 1 2 x y = 时，求 1 1 n n x y + + . 【详解】 （1）由题意，得 1 1 52 1 65 6 3 1 5 6 nnnn nnn xxxy yxy + + =+ =+ 化简 1 1 92 105 13 105 nnn nnn xxy yxy + + =+ =+ 即 1 1 92 105 13 105 nn nn xx y