2003-2013数二考研线性代数真题及答案合集.pdf

考研数学二(2003-2013) 线性代数历年真题及答案汇总 2013 7设，均为设，均为n阶矩阵，若，且可逆，则阶矩阵，若，且可逆，则 ( ) （A）矩阵）矩阵 C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价的行向量组等价 （B）矩阵）矩阵 C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价的列向量组等价 （C）矩阵）矩阵 C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价的行向量组等价 （D）矩阵）矩阵 C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价的列向量组等价 8矩阵矩阵 11 11 a aba a 与矩阵与矩阵 000 00 002 b相似的充分必要条件是相似的充分必要条件是 ( ) （A）2, 0=ba （B）0=a，b为任意常数为任意常数 （C）0, 2=ba （D）2=a，b为任意常数为任意常数 14设设( ) ij aA =是三阶非零矩阵，是三阶非零矩阵，A为其行列式，为其行列式， ij A为元素为元素 ij a的代数余子式，且满足的代数余子式，且满足 )3 , 2 , 1,(0=+jiaA ijij ，则，则A= 22本题满分本题满分 11 分）分） 设设 = = b B a A 1 10 , 01 1 ，问当，问当ba,为何值时，存在矩阵为何值时，存在矩阵 C，使得，使得BCAAC=，并求出，并求出 所有矩阵所有矩阵 C 22本题满分本题满分 11 分）分） 设设 = = b B a A 1 10 , 01 1 ，问当，问当ba,为何值时，存在矩阵为何值时，存在矩阵 C，使得，使得BCAAC=，并求出，并求出 所有矩阵所有矩阵 C 23（本题满分（本题满分 11 分）分） 设二次型设二次型 2 332211 2 332211321 )()(2),(xbxbxbxaxaxaxxxf+=记记 = = 3 2 1 3 2 1 , b b b a a a （1）证明二次型）证明二次型f对应的矩阵为对应的矩阵为 TT +2； （2）若）若,正交且为单位向量，证明正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为 2 2 2 1 2yy + 2012 (7) 设 1 1 0 0 c = , 2 2 0 1 c = , 3 3 1 1 c = , 4 4 1 1 c = ,其中 1234 ,c c c c为任意常数，则下列 向量组线性相关的为 ( ) (A) 123 , (B) 124 , (C) 134 , (D) 234 , (8) 设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且 1 100 010 002 P AP = .若() 123 ,P = ， () 1223 ,Q =+ 则 1 Q AQ = ( ) (A) 100 020 001 (B) 100 010 002 (C) 200 010 002 (D) 200 020 001 (14) 设A为3阶矩阵，=3A ， * A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则 * BA = . (22)(本题满分 11 分) 设 100 010 001 001 a a A a a = ， 1 1 0 0 = (I) 计算行列式A； (II) 当实数a为何值时，方程组Ax=有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分 11 分) 已知 101 011 10 01 A a a = ，二次型() () 123 , TT f x xxxA A x=的秩为 2， (I) 求实数a的值； (II) 求正交变换xQy= 将f化为标准形. 2011 （7）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3 行 得单位矩阵。记 = 100 011 001 1 P， = 010 100 001 2 P，则A=（ ） （A） 21P P （B） 2 1 1 PP （C） 12P P （D） 1 12 PP （8） 设),( 4321 =A是 4 阶矩阵， * A为A的伴随矩阵。 若 T )0 , 1 , 0 , 1 ( 是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0 * =xA的基础解系可为（ ） （A） 31, （B） 21, （C） 321 , （D） 432 , （14）二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 2223),(xxxxxxxxxxxxf+=，则f的正惯性指数 为 。 （22） （本题满分 11 分） 设向量组 T ) 1 , 0 , 1 ( 1 =， T ) 1 , 1 , 0( 2 =， T )5 , 3 , 1 ( 3 =不能由向量组 T ) 1 , 1 , 1 ( 1 =， T )3 , 2 , 1 ( 2 =， T a), 4 , 3( 3= 线性表示。 （I）求a的值； （II）将 321 ,用 321 ,线性表示。 （23） （本题满分 11 分） 设A为 3 阶实对称矩阵，A的秩为 2，且A = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 。 （I）求A的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵A。 2010 7.设向量组线性表示，：， 可由向量组s I 21r21 II,:，下列命题正确的是： A 若向量组 I 线性无关，则sr B 若向量组 I 线性相关，则 rs C 若向量组 II 线性无关，则sr D 若向量组 II 线性相关，则 rs 8 设为 4 阶对称矩阵,且若的秩为 3,则相似于 A B C D A 2 0,+=AAAA 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 14 设 A，B 为 3 阶矩阵，且_, 2, 2, 3 11 =+=+= BABABA则 15 的通解。求方程组 、）求（ 个不同的解。存在已知线性方程组设 bAx a bAx a bA = = = = )2( .1 2. 1 1, 11 010 11 23.设 = 04 31 410 a aA，正交矩阵 Q 使得AQQT为对角矩阵，若 Q 的第一列为 T ) 1 , 2 , 1 ( 6 1 ，求 a、Q. 2009 （7）设A、B均为 2 阶矩阵， * AB，分别为A、B的伴随矩阵。若A =2 B =3，则分 块矩阵 0 0 A B 的伴随矩阵为（ ） ( )A. * * 03 20 B A ( )B. * * 02B 3A0 ( )C. * * 03A 2B0 ( )D. * * 02A 3B0 （8）设AP，均为 3 阶矩阵， T P为P的转置矩阵，且 T 100 P AP= 010 002 ，若 P=Q=+ 1231223 （，），（，），则Q AQ T 为（ ） ( )A. 210 110 002 ( )B. 110 120 002 ( )C. 200 010 002 ( )D. 100 020 002 (14)设，为 3 维列向量， T 为的转置，若矩阵 T 相似于 200 000 000 ，则 T = （22） （本题满分 11 分）设 111 111 042 A = ， 1 1 1 2 = （）求满足 2 2131 ,AA=的所有向量 23 , （）对（）中的任一向量 23 , ，证明： 123 , 线性无关。 （23） （本题满分 11 分）设二次型()() 222 1231231323 ,122f x x xaxaxaxx xx x=+ （）求二次型f的矩阵的所有特征值； （）若二次型f的规范形为 22 12 yy+，求a的值。 2009 （7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若 3 0A =，则（ ） ( )AEA不可逆，EA+不可逆. ( )BEA不可逆，EA+可逆. ( )CEA可逆，EA+可逆. ( )DEA可逆，EA+不可逆. （8）设 12 21 A = ，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） ( )A 21 12 . ( )B 21 12 . ( )C 21 12 . ( )D 12 21 . （14）设 3 阶矩阵A的特征值为2,3,.若行列式248A = ，则_=. （22） （本题满分 12 分） 设 矩 阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa = ， 现 矩 阵A满 足 方 程AXB=， 其 中 () 1, , T n Xxx=，()1,0,0B =， （1）求证()1 n Ana=+； （2）a为何值，方程组有唯一解，并求 1 x； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23） （本题满分 10 分） 设A为 3 阶矩阵， 12 , 为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量 3 满足 323 A=+， （1）证明 123 , 线性无关； （2）令() 123 ,P =，求 1 P AP . 2007 （9）设向量组 123 , 线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) 122331 , (B) 122331 , + (C) 122331 2,2,2 . (D) 122331 2,2,2 +. （10）设矩阵 211100 121 ,010 112000 AB = = ，则A与B (A) 合同且相似 （B）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 （23） (本题满分 11 分) 设线性方程组 123 123 2 123 0 20 40 xxx xxax xxa x += += += 与方程 123 21xxxa+=有公共解，求a的值及 所有公共解. （24） (本题满分 11 分) 设三阶对称矩阵A的特征向量值 123 1,2,2= ， T 1 (1, 1,1)=是A的属于 1 的一个特征向量，记 53 4BAAE=+，其中E为 3 阶单位矩阵. （I）验证 1 是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B. 2006 （13）设 12 , s 均为n维列向量，A为m n矩阵，下列选项正确的是 (A) 若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性相关. (B) 若 12 , s 线性相关，则 12 , s AAA线性无关. (C) 若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性相关. (D) 若 12 , s 线性无关，则 12 , s AAA线性无关. （14）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 行加到第 1 行得B，再将B的第 1 列的1倍加到第 2 列得C，记 110 010 001 P = ，则 （） 1 CP AP =. （） 1 CPAP=. （） T CP AP=. （） T CPAP=. （22） （本题满分 9 分） 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 4351 31 xxxx xxxx axxxbx += += += 有 3 个线性无关的解.（）证明方程组系数矩阵A 的秩( )2r A =； （）求, a b的值及方程组的通解. （23） （本题满分 9 分） 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量()() TT 12 1,2, 1,0, 1,1= =是线 性方程组0Ax =的两个解. () 求A的特征值与特征向量； () 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得 T Q AQ = . 2005 （5）当0x时， 2 )(kxx =与xxxxcosarcsin1)(+=是等价无穷小，则 k= . （6）设 321 ,均为 3 维列向量，记矩阵 ),( 321 =A，)93,42,( 321321321 +=B， 如果1=A，那么=B . （13）设 21, 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 21, ，则 1 ， )( 21 +A线性无关的充分必要条件是 (A) 0 1 . (B) 0 2 . (C) 0 1 =. (D) 0 2 =. （14）设 A 为 n（2n）阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B, *,B A分别为 A,B 的伴随矩阵，则 (A) 交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B. (B) 交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B. (C) 交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B. (D) 交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B （22） （本题满分 9 分） 确 定 常 数 a, 使 向 量 组,), 1 , 1 ( 1 T a=,) 1 , 1 ( 2 T a= T a) 1 , 1 ,( 3 =可 由 向 量 组 ,), 1 , 1 ( 1 T a=,)4 , 2( 2 T a= T aa), 2( 3 =线性表示， 但向量组 321 ,不能由向量 组 321 ,线性表示. （23） （本题满分 9 分） 已知 3 阶矩阵 A 的第一行是cbacba,),(不全为零， 矩阵 = k B 63 642 321 （k 为常数） ， 且 AB=O, 求线性方程组 Ax=0 的通解. 2004 （6）设矩阵 210 120 001 A = , 矩阵B满足2ABABAE =+, 其中A为A的伴随矩 阵, E是单位矩阵, 则B =_-. （13）设A是 3 阶方阵, 将A的第 1 列与第 2 列交换得B, 再把B的第 2 列加到第 3 列得C, 则满足AQC=的可逆矩阵Q为 （A） 010 100 101 . （B） 010 101 001 . （C） 010 100 011 . （D） 011 100 001 . （14）设A,B为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 （A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （22） （本题满分 9 分） 设有齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 (1)0, 2(2)220, 33(3)30, 444(4)0, a xxxx xa xxx xxa xx xxxa x += += += += 试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. （23） （本题满分 9 分） 设矩阵 123 143 15a 的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角 化. 2003 （5） 设为 3 维列向量， T 是的转置. 若 = 111 111 111 T ，则 T = . （6） 设三阶方阵 A,B 满足EBABA= 2 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若 = 102 020 101 A，则B =_. （6）设向量组 I： r , 21 可由向量组 II： s , 21 线性表示，则 (A) 当sr 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当sr 时，向量组 I 必线性相关. 十十 一、 （本题满分一、 （本题满分 10 分）分） 若矩阵 = 600 28 022 aA相似于对角阵，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使 . 1 = APP 十二十二 、 （本题满分、 （本题满分 8 分）分） 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l 032=+cbyax， : 2 l 032=+acybx， : 3 l 032=+baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 . 0 =+cba 2013 7 【 【详解详解】把矩阵】把矩阵 A，C 列分块如下：列分块如下：()() nn CA, 2121 =，由，由 于，则可知于，则可知), 2 , 1( 2211 nibbb niniii =+=，得到矩阵，得到矩阵 C 的列向量组的列向量组 可用矩阵可用矩阵 A 的列向量组线性表示同时由于的列向量组线性表示同时由于 B 可逆，即可逆，即 1 = CBA，同理可知矩阵，同理可知矩阵 A 的列向的列向 量组可用矩阵量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示， 所以矩阵的列向量组线性表示， 所以矩阵 C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 应的列向量组等价 应 该选（该选（B） ） 8 【 【详解详解】 注意矩阵】 注意矩阵 000 00 002 b是对角矩阵， 所以矩阵是对角矩阵， 所以矩阵 A= 11 11 a aba a 与矩阵与矩阵 000 00 002 b相相 似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等 )22)2( 11 11 22 abb a aba a AE+= = 从而可知从而可知bab222 2 =，即，即0=a，b为任意常数，故选择（为任意常数，故选择（B） ） 14 【 【详解详解】由条件】由条件)3 , 2 , 1,(0=+jiaA ijij 可知可知0* =+ T AA，其中，其中*A为为 A 的伴随矩阵，的伴随矩阵， 从而可知从而可知 AAAA T = 13 * *，所以，所以A可能为可能为1或或 0 但由结论但由结论 = = = 1)(, 0 1)(, 1 )(, )( * nAr nAr nArn Ar可知，可知，0* =+ T AA可知可知*)()(ArAr=,伴随矩阵的秩只伴随矩阵的秩只 能为能为 3，所以，所以 . 1 =A 22 【 【详解详解】 显然由显然由BCAAC=可知，如果可知，如果 C 存在，则必须是存在，则必须是 2 阶的方阵设阶的方阵设 = 43 21 xx xx C， 则则BCAAC=变形为变形为 = + baxxxxx axxaxaxx 1 10 32431 42132 ， 即得到线性方程组即得到线性方程组 = = =+ =+ baxx xxx axxax axx 32 431 421 32 1 1 0 ，要使，要使 C 存在，此线性方程组必须有解，于是对方存在，此线性方程组必须有解，于是对方 程组的增广矩阵进行初等行变换如下程组的增广矩阵进行初等行变换如下 () + = b a a ba aa a bA 0000 10000 0010 11101 010 11101 101 0010 |， 所以，当所以，当0, 1=ba时，线性方程组有解，即存在矩阵时，线性方程组有解，即存在矩阵 C，使得，使得BCAAC= 此时，此时，() 00000 00000 00110 11101 |bA， 所以方程组的通解为所以方程组的通解为 + + = = 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 21 4 3 2 1 CC x x x x x，也就是满足，也就是满足BCAAC=的矩阵的矩阵 C 为为 + = 21 121 1 CC CCC C，其中，其中 21,C C为任意常数为任意常数 23【详解详解】证明： （】证明： （1） ()()()() ()()()() ()() += + = + = += 3 2 1 321 3 2 1 321 3 2 1 321 3 2 1 321 3 2 1 321 3 2 1 321 3 2 1 321 2 332211 2 332211321 2, ,2, ,2 )()(2),( x x x xxx x x x xxx x x x xxx x x x bbb b b b xxx x x x aaa a a a xxx xbxbxbxaxaxaxxxf TT TT 所以二次型所以二次型f对应的矩阵为对应的矩阵为 TT +2 证明（证明（2）设）设=A TT +2，由于，由于0, 1= T 则则()222 2 =+=+= TTT A，所以，所以为矩阵对应特征值为矩阵对应特征值2 1 =的特的特 征向量；征向量； ()=+=+= 2 22 TTT A，所以，所以为矩阵对应特征值为矩阵对应特征值1 2 =的特征向的特征向 量；量； 而矩阵而矩阵 A 的秩的秩2)()2()2()(=+= TTTT rrrAr，所以，所以0 3 =也是矩阵的也是矩阵的 一个特征值一个特征值 故故f在正交变换下的标准形为在正交变换下的标准形为 2 2 2 1 2yy + 2012 （7） 【答案】 ：【答案】 ： （C） 【解析】 ：【解析】 ：由于() 1341 134 011 11 ,0110 11 c ccc = ，可知 134 , 线性相关。故 选（C） 。 （8） 【答案】 ：【答案】 ： （B） 【解析】 ：【解析】 ： 100 110 001 QP = ，则 11 100 110 001 QP = ， 故 11 10010010011001 11011011011101 00100100120012 Q AQP AP = = = 故选（B） 。 （14） 【答案】 ：【答案】 ：27 【解析】 ：【解析】 ： * BAB A=，其中 3 1 * 3,9BAAA = = =，可知 * 27BA = 。 （22） 【解析】【解析】 ： （） 4 14 100 1000 010 101( 1)101 001 00101 001 a aa a aaaa a a a + = + = （） 232 42 100110011001 010101010101 001000100010 0010001001 1001 0101 0010 0001 aaa aaa aaa aaaaaa a a a aaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有 4 10a=及 2 0aa =，可知1a = 。 此时，原线性方程组增广矩阵为 11001 01101 00110 00000 ，进一步化为行最简形得 10010 01011 00110 00000 可知导出组的基础解系为 1 1 1 1 ，非齐次方程的特解为 0 1 0 0 ，故其通解为 10 11 10 10 k + 线性方程组Axb=存在 2 个不同的解，有| 0A =. 即： 2 11 010(1) (1)0 11 A =+=，得1=或-1. 当1=时, 1 2 3 111 0000 1111 xx x x = ，显然不符，故1= . （23） 【解析】 ：【解析】 ：1） 2 2 201 011 113 T a A Aaa aaa =+ + 由()2 T r A A =可得， ()() 2 22 2 201 1 011130 2 113 a aaaa aaa +=+= + ，可知1a = 。 2） () 1 1232 3 222 1231223 202 ,022 224 22444 TT x fx A Axx xxx x xxxx xx x = =+ 令矩阵 202 022 224 B = ()() 202 022260 224 EB = 解得B矩阵的特征值为： 123 0;2;6= 对于() 11 0,0EB X=解得对应的特征向量为： 1 1 1 1 = 对于() 22 2,0EB X=解得对应的特征向量为： 2 1 1 0 = 对于() 33 6,0EB X=解得对应的特征向量为： 3 1 1 2 = 将 123 , 单位化可得： 1 1 1 1 3 1 = ， 2 1 1 1 2 0 = ， 3 1 1 1 6 2 = () 123 326 326 326 , 326 36 0 33 Q = 令xQy=可将原二次型化为 22 23 26yy+。 2011 7 D 8 D 14. 2D 8 D 14. 2 20.20.解：解： += += += = =，符合 3) 若 3 0= ，即1a = ，则 1 10= ， 2 30= ，不符题意 综上所述，故2a =. 2008(7) 【答案】C 【详解】 23 ()()EA EAAEAE+=， 23 ()()EA EAAEAE+=+= 故,EA EA+均可逆 (8) 【答案】D 【详解】记 12 21 D = ， 则() 2 12 14 21 ED = ，又() 2 12 14 21 EA = 所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值. 又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似由于实对称矩阵相似必合同，故D正确. (14)【答案】-1 【详解】| 2 36A = = 3 |2| 2 |AA= 3 2648 = 1= (22)【详解】(I)证法一证法一： 2 2 2 21 2 2 21 21 3 2101 2 2 1 2 2 1 1 2 2 a a a aa aa aa Arar aa aa = 1 21 3 01 2 4 0134(1) 2(1)3 23 1 (1) 0 n nn a a a naana rarana nn na n + =+ + 证法二证法二：记| n DA=，下面用数学归纳法证明(1) n n Dna=+ 当1n =时， 1 2Da=，结论成立 当2n =时， 2 2 2 21 3 2 a Da aa =，结论成立 假设结论对小于n的情况成立将 n D按第 1 行展开得 2 2 1 2 1 021 21 2 1 2 nn a a aa DaD aa = 2122 12 22(1)(1) nnn nn aDa Danaanana =+ 故 | (1) n Ana=+ 证法三证法三：记| n DA=，将其按第一列展开得 2 12 2 nnn DaDa D =， 所以 2 11212 () nnnnnn DaDaDa Da DaD = 22 2321 ()() nn nn aDaDaDaDa = 即 12 122 ()2 nnnn nnnn DaaDaa aaDaa D =+=+=+ 21 21 (2)(1) nnnn naaDnaaD =+=+ 1 (1)2(1) nnn naaana =+=+ (II)因为方程组有唯一解，所以由AxB=知0A ，又(1) n Ana=+，故0a 由克莱姆法则，将 n D的第 1 列换成b，得行列式为 2 22 1 1 22 (1) (1) 1121 02121 22 11 22 n n n nnn a aaa aaaa Dna aaaa = 所以 1 1 (1) n n Dn x Dna = + (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为 1 2 1 011 010 010 00 n n x x x x = 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n，所以方程组有无穷多解，其通解为 ()()10000100, TT kk+为任意常数 (23)【详解】(I) 证法一证法一：假设 123 , 线性相关因为 12 , 分别属于不同特征值的特征向量，故 12 , 线 性无关， 则 3 可由 12 , 线性表出， 不妨设 31122 ll=+， 其中 12 ,l l不全为零(若 12 ,l l同时为 0，则 3 为 0，由 323 A=+可知 2 0=，而特征向量都是非 0 向 量，矛盾) 11, A= 22 A= 32321122 All=+=+，又 311221122 ()AA llll=+= + 112221122 llll+=+，整理得： 112 20l+= 则 12 , 线性相关，矛盾. 所以， 123 , 线性无关. 证法二证法二：设存在数 123 ,k k k，使得 112233 0kkk+= (1) 用A左乘(1)的两边并由 11, A= 22 A=得 1123233 ()0kkkk+= (2) (1)(2)得 1132 20kk= (3) 因为 12 , 是A的属于不同特征值的特征向量，所以 12 , 线性无关，从而 13 0kk=，代入(1)得 22 0k=，又由于 2 0，所以 2 0k =，故 123 , 线性无关. (II) 记 123 (,)P =，则P可逆， 123123 (,)(,)APAAAA = 1223 (,) = + 123 100 (,)011 001 = 100 011 001 P = 所以 1 100 011 001 P AP = . 20079【分析分析】本题考查由线性无关的向量组 123 , 构造的另一向量组 123 , 的线 性相关性. 一般令()() 123123 ,A =，若0A =，则 123 , 线性相 关；若0A ，则 123 , 线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简 单的线性运算得到正确选项. 【详解详解】由() () () 122331 0+=可知应选（A）. 或者因为 ()() 122331123 101 ,110 011 = ，而 101 1100 011 = ， 所以 122331 , 线性相关，故选（A）. 【评注评注】本题也可用赋值法求解，如取()()() TTT 123 1,0,0,0,1,0,0,0,1=，以此 求出（A） ， （B） ， （C） ， （D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或 行列式是否为零可立即得到正确选项. 10.【分析分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值， 并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. 【详解详解】 由 2 211 121(3) 112 EA = 可得 123 3,0=， 所以A的特征值为 3,3,0；而B的特征值为 1,1,0. 所以A与B不相似，但是A与B的秩均为 2，且正惯性指数都为 2，所以A与B合 同，故选（B）. 【评注评注】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A） （C）. 16【分析分析】先将 3 A求出，然后利用定义判断其秩. 【详解详解】 3 01000001 00100000 ( )1 00010000 00000000 AAr A = . 【评注评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要 想方设法将题设条件转化为Axx=的形式. 请记住以下结论： （1）设是方阵A的特征值，则 21* ,( ),kA aAbE Af A AA +分别有特征值 2 1 ,( ),( A kabfA +可逆） ，且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的 (6) 2 解:由B BA A=B B +2E E化得B B(A A-E E)=2E E,两边取行列式,得 |B B|A A-E E|=|2E E|=4, 计算出|A A-E E|=2,因此|B B|=2. (13)A 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若 1, 2, s线性相关,则存在不全为 0 的数 c1,c2,cs使得 c1 1+c2 2+cs s=0, 用A A左乘等式两边,得 c1A A 1+c2A A 2+csA A s=0, 于是A A 1,A A 2,A A s线性相关. 如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. 1, 2, s 线性无关 r( 1, 2, s )=s. 2. r(ABAB) r(B B). 矩阵(A A 1,A A 2,A A s)=A A( 1, 2, s ),因此 r(A A 1,A A 2,A A s) r( 1, 2, s ). 由此马上可判断答案应该为(A). (14)B 用初等矩阵在乘法中的作用得出 B B=PAPA , 1 -1 0 C C=B B 0 1 0 =B BP P -1= PAP PAP -1. 0 0 1 (22) 解: 设 1, 2, 3是方程组的 3 个线性无关的解,则 2- 1, 3- 1是AXAX=0 的两个线性 无关的解.于是AXAX=0 的基础解系中解的个数不少于 2,即 4-r(A A)2,从而 r(A A)2. 又因为A A的行向量是两两线性无关的,所以 r(A A)2. 两个不等式说明 r(A A)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A| )= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由 r(A A)=2,得出 a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4， 求出一个特解(2,-3,0,0) T和 AXAX=0 的基础解系(-2,1,1,0) T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0) T+c 1(-2,1,1,0) T+c 2(4,-5,0,1) T, c 1,c2任意. (23) 设 3 阶实对称矩阵A A的各行元素之和都为 3,向量 1=(-1,2,-1) T, 2=(0,-1,1) T都是 齐次线性方程组AXAX=0 的解. 求A A的特征值和特征向量. 求作正交矩阵Q Q和对角矩阵 ,使得 Q Q TA AQ Q= . 解: 条件说明A A(1,1,1) T=(3,3,3)T,即 0=(1,1,1) T是 A A的特征向量,特征值为 3.又 1, 2都是AXAX=0 的解说明它们也都是A A的特征向量,特征值为 0.由于 1, 2线性无关, 特征 值 0 的重数大于 1.于是A A的特征值为 3,0,0. 属于 3 的特征向量:c 0, c0. 属于 0 的特征向量:c1 1+c2 2, c1,c2不都为 0. 将 0单位化,得 0=( 3 3 , 3 3 , 3 3 ) T. 对 1, 2作施密特正交化,的 1=(0,- 2 2 , 2 2 ) T, 2=(- 3