2018-年全国高中数学联合竞赛A-卷试题及解析(含一试及加试).pdf

2018 年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8 小题，毎小题8 分，满分 64 分 1 设集合1,2,3,.,99A ，2 |Bx xA， |2CxxA， 则BC的元素个数为_ 2设点 P 到平面的距离为3，点 O 在平面上，使得直线与所成角不小于 30且不大于 60，则这样的点O 所构成的区域的面积为_ 3将 1，2，3，4，5，6 随机排成一行，记为 a，b，c，d，e，f，则abcdef是偶数的概率为 _ 4 在平面直角坐标系中， 椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左右焦点分别为 1 F， 2 F椭圆 C 的弦ST 与 UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于 P，己知线段 PU，PS，PV，PT 的长分别为 1，2， 3，6，则PF1F2的面积为：_ 5设( )f x是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减，且满足( )1f， (2 )1f，则不等式组 12 1( )2 x f x 的解集为_ 6设复数 z 满足1z ，使得关于 x 的方程 2 220zxzx有实裉，则这样的复数 z 的和为 _ 7设 O 为ABC 的外心，若2AOABAC，则sinBAC的值为_ 8设整数数列 1210 ,a aa满足 101135 3 ,2aa aaa，且 1 1,2 iii aaa ，i=l，2，9，则 这样的数列的个数为_ 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9 （本题满分 16 分）己知定义在及 R+上的函数 fx为 3 |log1|,00 = 4,9 xx f x x x ，设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足( )( )( )f af bf c，求 abc 的取值范围 10 （本题满分 20 分）己知数列 123 ,a a a满足：对任意正整数 n，有21 nnn Saa，其中 n S 表示数列的前 n 项和。证明： （1）对任意正整数 n,有2 n an； （2）对任意正整数 n,有 +1 1 nn a a 11 （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设 AB 是抛物线 2 4yx的过点 F（1,0）的 弦，AOB 的外接圆交抛物线于点 P（不同于点 O，A，B） 若 PF 平分APB求PF的所有 可能值 2018 年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷） 一、 （本题满分 40 分） 设 n 是正整数， 12 , n a aa， 12 , n b bb， A， B 均为正实数， 满足 ii ab， ii aA，1,2,in，且 1 2 12 n n bbbB a aaA 证明： 12 12 ( +1)(+1)(1)+1 (+1)(+1)(1)+1 n n bbbB aaaA 二、 （本题满分 40 分）如图，ABC 为锐角三角形，ABbO）的左、右焦点 。4b 分别是F；、凡，椭l2llc的弦 ST与UV分别￥行于x剿l与y轴，且相交子点P. 己 知线段PU,PSPV、PT的长分另lj为L 2. 3. 6，则MF.,凡的朋积为 答案：-Jl5. 解： 由对称性，不妨设P（，飞，)p）在第一象限，则由条件知 Xp =-(IPTI扣I)=2, YP = -(IPVI-IPUI) =I, 即P(2,J). 进而自Xp=IPUI= I,IPSl=2得U(2,2), S(4, I)，代入梢囚C的方程知 l l l l , , 4-:-+4-,-= 16-:-+-c-= l，解待。2=20 b =5. b血b 从而 s6PF,F,= 1 I矶lIYPI汇F)lp =JIS. 5.设（x）是定义在ER上的以2为周期的偶函数，在区间O, 1）上严格边减， 11 -J；，故必有 孔J;, s.+, = .J,古丁， 此时 从而 。”.,r;士占可. a.+1 = .Ji+i-.J; 。”。” 1O、k,.k2主l可知 20分 但二主之L丛A(k,！）（干1） 豆o, A+I A+I A+! (A+!)“ - 因.tltn =2时结论成立 .30分 设n=m时给论成立，贝I当n=m+l时，利用归纳假设知， m叫LA牛l ( m kA+! k A牛l kk k A牛lk J+I 日立了 ！日节了）寸了豆斗 刀一亏了 (k-I)x. 1肯形一：q是奇数，则由知， 2 f q, 2lq, 20分 综合，可知，x-1土！主n一（xqr）主！xq，从而q_!i_(xq + r），从而一二L土二.！r二坠， 2k-l 2(2k-l) 2/i-l 2k-l 故qI，设m有k个不同2菜因子，我 们对k归纳证明m在。”中出现记S.,=a，气，.，?: 1. k =I 时，m是紊数方怒，设JJ1= p，其中0 p是紊数假设m不在J 中出现由于aJ各项互不相同，因此存在正整数N，当n?:N时，都有a pa.着 对某个11?:N, pfS” ，那么 pa与S互絮，又a,an仨1习无一项是f，故由数列 定义知n+I$ Pa，但是。”Ipa，矛盾！ 因此对每个n?:N，都有川s但由川s ，及pjS知川a.叶 ， 从而(ln+I与孔 不互索，这与a.刊的定义矛盾 10分 假设k呈2，且结论对k-1成立. i9: m的标准分解，为111= p;pf p ：.假设m 不在。”中出现 ，于是存在正整数F，当n主N时，都有a.m.取充分大的正 孩数1，/Jk-1，使得 lvf ee pfPf-i 盟沪 我们证明，对n?: N，有。肿卢 .M. . 20分 对任意n主N ， 若S， ，与 P iP2 Pk 互浆，则m与S，互絮，又m：在a1,.a， 小均 未出现，而an+1 m，这与数列的定义矛盾因此我们推出： 对任意”主N ，s ，与P iP2 P不互索 （） 悄形1.若存在，（！主i三k-1），使得Pi IS” 因（an！s.)= 1，故Afa时，从而 a,1 *M （因P,I Ad）. 30分 f斋形2.若对每个i(l三，三k-1），均有P,f S”则由（）知必有必Is.于是 Pk fa，时，进而P*f S, +a ，.，Ell) Pk f s +1 故白的知，存在日（I主、王k-1），使得 几1s ，再由s. 1 =S.。”令i及I油丽的假设P1f S.(J