2014中考数学动点最值问题归纳及解法.pdf

中考数学动点最值问题归纳及解法 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终， 是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何 问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间 线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次 函数和二次函数的性质求最值。 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与 特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。 ） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、 直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 “坐标几何题”（动点问题）分析 动点个数两个一个两个 问题背景特殊菱形两边上移动特 殊 直 角 梯 形 三 边上移动 抛物线中特殊直角梯形底 边上移动 考查难点探究相似三角形探 究 三 角 形 面 积 函数关系式 探究等腰三角形 考 点 菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析式 四 边 形 面 积 的 表示 动 三 角 形 面 积 函数矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定 值 探究等腰三角形存在性 特 点 菱形是含60的特殊菱形； AOB是底角为 30的等腰三 角形。 一个动点速度是参数字母。 探究相似三角形时，按对应 角不同分类讨论；先画图，再 探究。 通过相似三角形过度，转化 相似比得出方程。 利用 a、t 范围，运用不等式 求出 a、t 的值。 观 察 图 形 构 造 特 征 适 当 割 补 表 示面积 动 点 按 到 拐 点 时间分段分类 画 出 矩 形 必 备 条 件 的 图 形 探 究 其存在性 直角梯形是特殊的（一 底角是 45） 点动带动线动 线动中的特殊性（两个 交点 D、E是定点； 动线段 PF长度是定值，PF=OA ） 通过相似三角形过度， 转化相似比得出方程。 探究等腰三角形时，先 画图，再探究（按边相等 分类讨论） 近几年共同点： 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 小类知识归纳： 一、问题原型： 如图 1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什 么地方，可使所用的输气管线最短？ 这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变）， 确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论： (在线段上时取等号 )（如图 1-2 ） 线段和最小，常见有三种类型： （一）“ |定动 |+|定动 |”型：两定点到一动点的距离和最小 通过轴对称， 将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当 动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最 小值，最小值为定点线段的长。 1.两个定点 +一个动点。 如图 1-3， 作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点） 与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。 特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； 求直线、抛物线解析式； 例 1 （ 2006 年河南省中考题）如图 2，正方形的边长为，是的中点， 是对角线上一动点，则的最小值是。 解析：与关于直线对称，连结，则。 连结,在中，则 故的最小值为 例 2（2009 年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对 称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。 解析：（ 1）对称轴为，由对称性可知：。根据、 三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为： （2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。 设直线解析式为：。把、代入得，。 当时，则 2.两个定点 +两个动点。 两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不 变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。 例 3如图 4， 河岸两侧有、两个村庄， 为了村民出行方便，计划在河上修一座桥， 桥修在何处才能两村村民来往路程最短？ 解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂 直于河岸。 将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形 为平行四边形，此时值最小。那么 来往、两村最短路程为：。 例 4(2010 年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶 点、分别在轴、轴的正半轴上，为边的中点。 （1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标； （2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时， 求点，的坐标。 解析：作点关于轴的对称点，则，。 （1） 连接交轴于点， 连接， 此时的周长最小。 由 可知，那么，则。 （2）将向左平移2 个单位（）到点，定点、分别到动点、的距 离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定 点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。 在上截取， 连接交轴于， 四边形为平行四边形， 。此时值最小，则四边形的周长最小。 由、可求直线解析式为， 当时， 即， 则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标） （二）“ |动定 |+|动动 |”型： 两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。 利用轴对称变换， 使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短） ， 且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。 例 5（2009 年陕西省中考）如图 6，在锐角中， 的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最 小值为4 。 解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上， ，当时，最小。 作于，交于， ， 作交于， 3.“ |定动 |+|动动 |+|动定 |”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。 例 6（2009 年漳州中考 ）如图 8，是内一点， 、分别是和上的动点，求周长的最小值。 解析：分别作关于、的对称点、， 连接， 则， 当、在线段上时，周长最小， ， 。则周长的最小值为 例 7（2009 年恩施中考 ）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9 建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速 公路同侧，到直线的距离为，到直线和的距离分别为 和。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、组成的四 边形的周长最小，并求出这个最小值。 解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接， 。 当、在线 段上 时， 最小。 过、分别作轴、轴的平行线交于。 在中， 交轴于，交轴于。 ，而 四边形的周长最小值为： 大类考题总结： 一、 “最值”问题大都归于两类基本模型： 、归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内 函数的最大或最小值 、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值” 时，大都应用这一模型。 （2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求 “变动的两线段之差的最大值”时， 大都应用这一模型。 二、利用函数模型求最值 例 1 、如图（ 1） ，平行四边形ABCD中，120, 3,4BADBCAB，E 为 BC 上一 动点（不与B 重合） ，作ABEF于F，设,xBEDEF的面积为.S当E运动到何处 A D 时，S有最大值，最大值为多少？ （1 【观察与思考】容易知道S是x的函数，为利用函数的性质求S的最大值， 就应先把S关于 x的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （1） 解：如图（ 1） ，延长FE交DC的延长线于,G易知DGFG。 DGEFS 2 1 ，而xBBEEF 2 3 sin， 又，在CEGRt中， 2 3 60cos)3(,3 x xCGxCE。 2 11 2 3 4 xx CGDCDG。 , 8 311 8 3 2 1 2 xxDGEFS中30x。 ,0 8 3 对称轴, 2 11 x当30x，S随x的增大而增大。 当 3x ，即 E与 C重合时， S有最大值，33 最大 S。 【说明】 可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。 三、利用几何模型求最值 （1）归入“两点之间的连线中，线段最短” 例 1、几何模型： 条件：如下左图，A、B是直线 l同旁的两个定点 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小 方法：作点A关于直线l的对称点A，连结A B交l于点P，则PAPBA B的值最 小（不必证明） 模型应用： （1）如图 1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点 连结BD， 由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连结ED交AC于P，则PBPE的最 小值是 _； （2）如图 2，O的半径为2，点ABC、 、在O上，OAOB，60AOC，P是 OB上一动点，求PAPC的最小值； （3）如图 3，45AOB，P是AOB内一点，10PO，QR、分别是OAOB、上 的动点，求PQR周长的最小值 A B C D E F G A B A P l O A B P R Q 图 3 O A B C 图 2 A B E C P D 图 1 （第 1 题） P 例 2 如图（1）所示，在一笔直的公路MN的同一旁有两个新开发区BA,， 已知AB10千 米， 直线AB与公路MN的夹角,30AON新开发区 B到公路MN的距离3BC千米。 （1）求新开发区A 到公路MN的距离； （2） 现从MN上某点P处向新开发区BA,修两条公路PBPA,， 使点P到新开发区BA,的 距离 之和最短，请用尺规作图在图中找出点P的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹）， 并求出此时PBPA的值。 【观察与思考】对于（ 1） ，直接归于几何计算。 对于（ 2） ，首先利用“轴对称”的性质， 把原题中的求“PBPA” 最短，转化成求“PBPA”最短（其中A是 A 关于MN 的对点。 解： （1）先作AD垂直于MN于点D如图（ 1） 在OBCRt中，62BCOB（千米） 在AODRt中，16BOABAO（千米）30AOD 8 2 1 AOAD（千米） （2）作点 A 关于MN的对称点A，连结BA交MN于点P。 （1） 结果如图（ 1） ，点P即为所求。 如图（ 1） ，作/ BACA交AA的延长线于点 A。 在DCARt 中，11 BCADDA（千米）， 353338OCODCD（千米）。 1475121 22 CDDACABA（千米）。 此时PBPA14BA（千米） 注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景 下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的 方法大都是借助于“轴对称点” A B C N O M A B C N O M 30 D A B C N O M 30 D P A A 例 3 如图（ 1） ，抛物线3 5 18 5 32 xxy和y轴的交点为MA,为OA的中点，若有一 动点P，自M点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E） ，再沿直线运动到该抛 物线对称轴上的某点（设为点F） ，最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短 的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。 解：如图（ 1） ，由题意可得A（0， 3） ，M) 2 3 ,0(，抛物线的对称点 为3x，点M关于x轴的对称点为M) 2 3 ,0(，点A关于抛物线 对称轴3x的对称点为A（6，3） 。连结 AM。 根据轴对称性及两点间线段最短可知，AM的长就是所求点P运动中 最短总路程的长，AM在直线的方程为 2 3 4 3 xy（过程略）。 设 AM 与x的交点为,E则E为在x轴上所求的点， AM 与直线 3x的交点为所求的F点。 可得E点的坐标为（2，0） ，F点的坐标为 4 3 ,3(） 。 由勾股定理可求出AM 2 15 （过程略） 所以点P运动的总路程（FAEFME）最短时间为 2 15 。 不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中， 线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点” （2）归于“三角形两边之差小于第三边” 例 5、如图（ 1） ，直线23xy与x轴交于点C，与 y轴交于点 B，点 A 为y轴正半轴 上的一点， A 经过点 B 和点O，直线 BC交 A 于点 D。 （1）求点 D 的坐标； （2）过O，C，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在，请说明理由。 x y O A F E M x y O A F E M A M B 3 3 解： （1）在 23xy 中，分别令0,0 yx得 B 点的坐标为（ 2， 0） ，C 点的坐标为 )0, 3 32 ( OB为 A 的直径，BCOD。 , 3 3 2 3 32 tanCBO,60,30CB且1 2 1 OBOD 。（1） 在CODRt中，由30COD和1OD，得点 D 的坐标为（1 , 2 3 ） 。 （2）如图（ 1） ，当点 P为该抛物线的对称轴 3 3 x和CD所在的 直 线23xy的 交 点 处 时 ，CDPDPCPDPO， 其 值 最 大 ， 而 3 3 3 3 130tanODCD。 解得此时点P的坐标为)1 , 3 3 (。 点 P为)1 , 3 3 (时PDPO取最大值为 3 3 。 【说明】 这里将求“两线段之差的最大值”，借助“三角形两边之差 小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线（1） 对称轴的性质。 A O x y D C B O x y D C B P 23xy 3 3 x O x y D C B P P 解题技巧总结： 专题一：建立动点问题的函数解析式 例 1. 如图 2, 在 ABC中,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC上运动 . 设 BD=,xCE=y. (1)如果 BAC=30 , DAE=105 , 试确定y与x之间的函数解析式； (2)如果 BAC的度数为, DAE的度数为, 当,满足怎样的关系式时,(1) 中y 与x之间的函数解析式还成立?试说明理由 . 解:(1) 在 ABC中, AB=AC,BAC=30 , ABC= ACB=75 , ABD= ACE=105 . BAC=30 ,DAE=105 , DAB+ CAE=75 , 又 DAB+ ADB= ABC=75 , CAE= ADB, ADB EAC, AC BD CE AB , 1 1x y , x y 1 . (2) 由于 DAB+ CAE=, 又 DAB+ ADB= ABC= 2 90, 且函数关系式成立, 2 90=, 整理得 2 90. 当 2 90时, 函数解析式 x y 1 成立 . 应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 2 （2004 年 上海） 如图 , 在 ABC中, BAC=90 ,AB=AC=22, A的半径为1. 若点 O在 BC边上运动 ( 与点 B、 C不重合 ), 设 BO=x, AOC的面积为y. (1) 求y关于x的函数解析式 , 并写出函数的定义域. (2) 以点 O为圆心 ,BO 长为半径作圆O,求当 O与 A相切时 , AOC的面积 . 解:(1) 过点 A作 AH BC,垂足为 H. BAC=90 ,AB=AC=22, BC=4,AH= 2 1 BC=2. OC=4-x. AHOCS AOC 2 1 , 4xy (40x). (2) 当 O与 A外切时 , 在 RtAOH中 ,OA=1x,OH=x2, 222 )2(2)1(xx. 解得 6 7 x. 此时 , AOC的面积y= 6 17 6 7 4. A E D C B 图 2 O F P D E A C B 3(1) A B C O 图 8 H 当 O与 A内切时 , 在 RtAOH中 ,OA=1x,OH=2x, 222 )2(2) 1(xx. 解得 2 7 x. 此时 , AOC的面积 y= 2 1 2 7 4 . 综上所述 , 当 O与 A相切时 , AOC 的面积为 6 17 或 2 1 . 专题二：动态几何型压轴题 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与 特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三 角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就 此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 建立联系，计算说明 例 3：如图，正方形ABCD的边长为4，点 M 在边 DC上，且 DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为. 分析： 能否将 DN 和 NM 进行转化， 与建立三角形两边之和大于第三边 等问题， 很自然地想到轴对称问题，由于 ABCD为正方形， 因此连结BN， 显然有 ND=NB，则问题就转化为BN+NM 的最小值问题了，一般情况下： BN+NMBM,只有在B、N、M 三点共线时， BN+NM=BM，因此DN+MN 的最小值为BM= 5 22 CMBC 本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边 及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定 理计算得出结论。 例 4：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边 BC=4，OA BC于 O,点 E 和点 F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF, 但点 F不与 A、C重合，点 E不与 B、A 重 合。 判断四边形AEOF的面积是否随点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若 不变化，求它的值. AEF的面积是否随着点E、F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化， 求它的值。 （即例 3 的第 2、第 3 问） 分析： (2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF 与 AE长的函数关系式，如设AE=x，则 AF= x22 ， 而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比 =x 22 ， 而三 角形 AOB 的面积 = 2 2 1 OAOB ，则三角形AOE 的面积 = 2 x ， 同 理 三 角 形AOF 的 面 积 = 2 22x ， 因 此 四 边 形AEOF 的 面 积 = 2 2 )22(xx ；即 AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为 M N D C B A F E O C B A 2. 当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF 的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，因此 AEOF的面积不会随点E、 F的变化而变化，是一个定值，且为2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的 方法应用比较广泛. 第 (3) 问 , 也 可 以 通 过 建 立 函 数 关 系 求 得 , AEF的 面 积 = 1)2( 2 1 )22( 2 1 2 xxx ,又 x的变化范围为220x ,由二次函数知识得 AEF的面积的范围为: 0 AEF的面积 1. 本题也可以根据三角形AEF与三角形 OEF的面积关系确定 AEF的面积范围 : 不难证明 AEF的面积OEF的面积， 它们公用边EF ，取 EF的中点 H， 显然由于 OEF为等腰直角三角形，则OHEF ，作 AGEF ，显然 AGAH=AG （ = EF 2 1 ） ，所以 AEF的面积OEF的面积，而它们的和为2，因此 0 AEF的面积 1. 专题三：双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变 化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高， 它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中 以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供 读者欣赏 . 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题 例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1） ，且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。 求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为 xx 4 1 y 2 ） 若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、 C、 D、 B 四点为顶点的四 边形为平行四边形，求D 点的坐标； 连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 分 析 :1. 当 给 出 四 边 形 的 两个顶点时应以两个顶点的连线 为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B 四点为 例 1 题图 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按 OB 为