2008年考研数学三真题及答案.pdf

2008 年全国硕士研究生入学统一考试 2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题数学三试题 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设函数( )f x在区间 1上连续，则,10x =是函数 0 ( ) ( ) x f t dt g x x = 的（ ） ( )A跳跃间断点 ( )B可去间断点 无穷间断点 ( )C()D振荡间断点 （2） 设f连续且可导， 22 1xy+= 222 xyu+=1，u， 则() () 22 22 , D f uv F u vdudv uv + = + ， 则 F u = （ ） ( )A() 2 vfu ( )B() 2 ufu ( )C () 2 vfv()D () 2 ufv （3）设 24 ( , ), xy f x ye + =则函数在原点偏导数存在的情况是( ) ( )A (0,0),(0,0) xy ff存在存在( )B(0,0),(0,0) xy ff存在不存在 ( )C (0,0),(0,0) xy ff不存在存在()D(0,0),(0,0) xy ff不存在不存在 （4）设函数f连续，若 22 22 () ( , ) uv D f xy f u vdxdy xy + = + ，其中 uv D为图中阴影部分，则 F u = （ ） （A） （B） 2 ()vf u 2 () v f u u （C） （D）( )vf u( ) v f u u （5）设为阶非 0 矩阵为阶单位矩阵若AE 3 0A =，则（ ） ( )AEA不可逆，不可逆 EA+( )BEA不可逆，可逆 EA+ 可逆，可逆 ( )CEAEA+()DEA可逆，不可逆 EA+ （6）设,则在实数域上域与 12 21 A = A合同矩阵为（ ） ( )A 21 12 . ( )B 21 12 . . ( )C 21 12 ()D 12 21 . （7）随机变量,X Y独立同分布且X分布函数为( )F x，则max,ZX Y=分布函数为 （ ） ( )A ( ) 2 Fx ( )B ( )( )F x F y ( )C( ) 2 11F x ()D ( )( )11F xF y . （8）随机变量，()0,1XN()1,4YN,且相关系数1 XY =，则（ ） ( )A 21P YX1= = ( )B21P YX1= ( )C21P YX1= += ()D21P YX1=+= 二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）设函数 2 1, ( ) 2 , xxc f x xc x + = 在(,) +内连续，则c = . （10）函数 3 4 1 1 xx fx xx + += + ，求积分( ) 2 2 2 f x dx = . （11） 2 () D xy dxdy= ，其中 22 :1D xy+ . （12）微分方程0, (1)1,xyyy + =求方程的特解y = . （13）设 3 阶矩阵A的特征值 1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则 1 4AE = . （14）设随机变量X服从参数为 1 的泊松分布，则 2 P XEX= . 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分 9 分） 求极限 2 0 1sin limln x x xx . (16) （本题满分 10 分） 设 z=z（,x y）是由方程() 22 xyzxyz+=+所确定的函数，其中具有 2 阶 导数且1 时， （1）求. dz （2）记() 1 , zz u x y xyxy = ，求 u x . (17) （本题满分 11 分） 求二重积分max(,1), D xydxdy 其中( , ) 02,02Dx yxy=. (18) （本题满分 10 分） ( )f x是周期为 2 的连续函数， （1）证明对任意实数都有( )( ) 22 0 t t fx dxf x dx + = . （2）证明是周期为 2 的周期函数 ( )( )( ) 2 0 2 xt t g xf tf s ds dt + = (19) （本题满分 10 分） 设银行存款的年利率为 0.05，并以年复利计算.某基金会希望通过存款 A 万元实现第 一年提取 19 万元，第二年取出 28 万元，第 n 年取出 10+9n 万元，问 A 至少为多 少时，可以一直取下去？ (20) （本题满分 11 分） 设 矩 阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa A aa = ? ? ， 现 矩 阵A满 足 方 程AXB=， 其 中 () 1, , T n Xxx=?， ()1,0,0B =? （1）求证()1 n Ana=+. （2）为何值，方程组有唯一解. a （3）a为何值，方程组有无穷多解. （21） （本题满分 11 分） 设A为 3 阶矩阵，为 12 ,a aA的分别属于特征值1,1特征向量，向量满足 ， 3 a 32 Aaaa=+ 3 证明（1）线性无关； 123 ,a a a （2）令，求. () 123 ,Pa a a= 1 P AP （22） （本题满分 11 分） 设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为() 1 1,0,1 3 P Xii= 1 0 Y y fy = 其它 ，Y的概率密 度为，记( ) 10 ZXY=+. （1）求 1 0 2 P ZX = （2）求Z的概率密度 （23） （本题满分 11 分） 12 , n XXX?是总体为 2 ( ,)N 的简单随机样本.记 1 1 n i i XX n = = ， 22 1 1 () 1 n i i SXX n = = ， 2 2 1 S n =TX （1）证 是T 2 的无偏估计量. （2）当0,1=时 ，求. DT 2008 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三答案数学三答案 一、选择题一、选择题 （1） 【答案】B 【解】( )( ) 0 000 ( ) lim ( )limlim0 x xxx f t dt g xf xf x = ，所以0x =是函数的可去间 断点 ( )g x （2） 【答案】A 【解】用极坐标得() ()2 22 ()2 22011 ,( vuu f r r D f uv F u vdudvdvrdrvf r dr uv + = + )， () 2 F vfu u = . （3） 【答案】C 【解】 24 0 00 11 (0,0)limlim 00 xx x xx ee f xx + = 0 00 11 limlim1 00 xx xx ee xx + + = ， 0 0 1 lim1 0 x x e x = ,故 0 00 0 11 limlim 00 xx xx ee xx + ，所以偏导数不存在. 242 0 00 11 (0,0)limlim0 00 yy y yy ee f yy + = =, 所以偏导数存在。故选 C (4)【答案】A 【解】用极坐标得 () ()2 22 ()2 22011 ,( vuu f r r D f uv F u vdudvdvrdrvf r dr uv + = + ), 所以 () 2 F vf u u = . （5） 【答案】C 【解】， 23 ()()EA EAAEAE+= 23 ()()EA EAAEAE+=+=, 故,EA EA+均可逆. （6） 【答案】D 【解】()()() 2 2 12 142313 21 EA =+= 0, 则 12 1,3= =.记 12 21 D = ，则 ()()() 2 2 12 142313 21 ED =+= 0, 则 12 1,3= =,正、负惯性指数相同，故选 D. （7） 【答案】A 【解】( )()max,F ZP ZzPX Yz= () ()( )( )( ) 2 P Xz P YzF z F zFz=. （8） 【答案】 D 【解】设Ya，由Xb=+1 XY =，知道,X Y正相关，得，排除 A, C. 0a 由，得(0,1),(1,4)XNYN0,1,( )()EXEYE YE aXbaEXb=+=+ 1 , 10, abb= +=,排除 C, 故选择 D. 二、填空题二、填空题 （9） 【答案】1 【解】由( )( ) 2 2 limlim11 xcxc f xf xcc c + =+ =. （10） 【答案】 1 ln3 2 【解】 2 2 2 11 1 1 1 2 xx xx fx x x x x x + += + + ，所以( ) 2 2 t f t t = ， ( )()() 2 22 22 2 2 2 222 11 ln2ln6ln2ln3 2222 x f x dxdxx x = 1 . （11） 【答案】 2 【解】 () 2222 1 () 2 DDD xy dxdyx dxdyxy dxdy=+ 11 2 00 11 2 222 rdrr = =. （12） 【答案】 1 y x = 【解】由, lnln dyy dydx yx dxxyx = 所以 1 x y =，又(1)1y=，所以 1 y x =. （13） 【答案】3 【解】A的特征值为 1，2，2，则存在可逆矩阵，使得 P 11 1 2, 2 P APB APBPAPB P 111 = ， 11111111 44444 1 AEPB PEPB PPEPPBE PBE =. 因 1 1 1 2 1 2 B = ，则 1 3 41 1 BE 3=. （14） 【答案】 1 1 2 e 【解】因为 ，所以 2 ()DXEXEX= 22 2EX=，X 服从参数为 1 的泊松分布， 所以 1 1 2 2 P Xe=. 三、解答题三、解答题 （15） 【解】 22 00 1sin1sin limlnlimln 11 xx xx xxxx =+ 32 000 sincos1sin1 limlimlim 36 xxx xxxx xxx = = 6 （16） 【解】(1) () ()22xdxydydzxyzdxdydz+=+, ()()()122dzx dxy dy += + +, ()()22 1 x dxy dy dz + + = + ()1 . (2) () 1 ,() 12 () 11 1222 11 zz u x y xyxy 2xy xy yx xy = + = + + = + ()()()() 223 2 2(1) 2(1) 2(12)2(12 )1 111 x z ux x x 3 1 x + + + + = = = + + + . （17） 【解】曲线 xy=1 将区域分成两 （18） 【证明】 （1）对于( ) 2t t f x dx + ，令2xu=+，则( )() 2 0 2 tt t f x dxfu du + =+ ， 因为( )f x的周期为 2，所以( )( ) 2 20 tt f x dxf x dx + = ， 所以( )( )( )( )( ) 20222 020 tt tt f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx + =+= . （2） ()( )( ) 22 0 22 xt t g xf tf s ds dt + += ( )( )( )( ) 222 0 22 xtxt txt f tf s ds dtf tf s ds dt + =+ ( )( )( ) 22 2 xt xt g xf tf s ds dt + =+ ( )( )( ) 222 2 xxt xxt g xf t dtf s dsdt + =+ . 因为( )( ) 22 0 t t f x dxf x dx + = ， 所以( )( ) 2222 0 xtx xtx f s dsdtf s dsdt + = ( )( ) 2 22 00 2 x x tf s dsf s ds + = = ， ( )( ) 22 0 22 x x f x dxf x dx + = ， 所以， ()( )( )( )( 22 00 222g xg xf t dtf s dsg x+=+= ) 所以是周期为 2 的周期函数. ( )g x （19） 【解】设An 为用于第n年的贴现值，则 () 109 1 + = + n n n A r . 故 ()()()11111 10911 1092009 1 111 n = + =+=+ + + n nnn nnnnn nn AA r rrr n. 设， () 1 ( ),1,1 = = n n S xnxx 因为( ) () ( 2 1 ,1,1 1 1 = = n n xx S xxxxx x x )，所以 11 11.0 = + SS r5 =420（万元）. 故 A=200+9420=3980(万元)，即至少应存入 3980 万元. （20） 【解】 （1） 2 2 2 2 2 21 21 3 2101 2 2 2 1 1 2 2 21 3 01 2 4 034(1) 2(3 23 1 (1) 0 = + =+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n a a a aa aa aa A aa aa a a a aana an n na n 1).a （2）方程组有唯一解, 由，知AxB=0A ，又(1) n Ana=+，故0a . 记，由克莱默法则知， n n AA = 2 2 2 2 2 (1) (1) (1) (1)1 1 22 22 22 1 21 11 21 021 2 2 1 1 2 2 2121 2121 22 11 22 . (1)(1) = = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? nn nn n n n n a aa a aa aa aaA Aaa x aaAA aaaa aaaa aaaa nan nana （3）方程组有无穷多解， 由0A =，有，则 0a = () 011 010 |0 01 0 0 A B = ? ? ， 故. ()( )|1r A Br An= 0Ax =的同解方程组为 2 3 0 0 0 n x x x = = = ，则基础解系为，为任意常数. ()1,0,0,0 T kk 0 k 又 0101 0110 00 01 000 = ? ? ， 故可取特解为， 0 1 0 0 = ? 所以的通解为为任意常数. AxB= 10 01 ,00 00 k + ? （21）【解】（1） 假设 123 , 线性相关， 则 3 可由 12 , 线性表出， 不妨设 3112 ll 2 =+， 其中不全为零（若同时为 0，则 12 ,l l 12 ,l l 3 为 0，由 32 A 3 =+可知 2 0=）. 11, A= 22 A=， 3232112 Al 2 l=+=+. 又 31122112 ()AA llll 2 =+= +， 112221122 llll+=+，整理得： 112 20l+=. 则 12 , 线性相关，矛盾（因为 12 , 分别属于不同特征值得特征向量，故 12 , 线性 无关）. 故 123 , 线性无关. （2）记 123 (,),P =则可逆，则 P 123123 (,)(,)AAAA = 1223 (,) = + 123 100 (,)011 001 = ， 即， 100 011 001 APP = 1 100 011 001 P AP = . （22） 【解】(1) 0 11 ( )110(1) 33 z F zdyz =+=+ , 1 2 0 111 (0)(0)()1 222 P zXP XYXP Ydy=+= 1 2 . (2) 当时，; 2z( )1F z= 当时，; 1z ( )0F z= 当时， 12z ( )()()F zP ZzP XYz=+ (1)(1)(0)(0)=+= = +=P XYz XP XP XYz XP X (1)(+=P XYz XP X1) 1 (1)()(1) 3 P YzP YzP Yz=+; 当时，10z 1 0 11 ( )1(1) 33 z F zdyz + = +; 当