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全国历年高考数列试题大全全国历年高考数列试题大全 2011 年高考题年高考题 1 （天津理 4）已知 n a 为等差数列，其公差为-2，且 7 a 是 3 a 与 9 a 的等比中项， n S 为 n a 的前n项和， * nN ，则 10 S 的值为 A-110 B-90 C90 D110 【答案】D 2（四川理 8）数列 n a 的首项为3， n b 为等差数列且 1 (*) nnn baa nN 若则 3 2b ， 10 12b ，则 8 a A0 B3 C8 D11 【答案】B 【解析】由已知知 1 28,28, nnn bnaan 由叠加法 21328781 ()()()642024603aaaaaaaa 3（全国大纲理 4）设 n S 为等差数列 n a 的前n项和，若 1 1a ，公差 2d ， 2 24 kk SS ，则k A8 B7 C6 D5 【答案】D 4（江西理 5） 已知数列 n a 的前 n 项和 n S 满足： nmn m SSS ，且 1 a =1那么 10 a = A1 B9 C10 D55 【答案】A 二、填空题 5（湖南理 12）设 n S 是等差数列 n a()nN ，的前n项和，且 14 1,7aa ， 则 9 S = 【答案】25 6（重庆理 11）在等差数列 n a 中， 37 37aa ，则 2468 aaaa _ 【答案】74 7（北京理 11）在等比数列an中，a1= 1 2，a4=-4，则公比 q=_； 12 . n aaa _。2 【答案】 2 1 2 1 n 8（广东理 11）等差数列 n a 前 9 项的和等于前 4 项的和若 14 1,0 k aaa ，则 k=_ 【答案】10 9（江苏 13）设 721 1aaa ，其中 7531 ,aaaa 成公比为 q 的等比数列， 642 ,aaa 成公差为 1 的等差数列，则 q 的最小值是_ 【答案】 3 3 三、解答题 10（江苏 20）设部分为正整数组成的集合，数列 1 1 aan的首项 ，前 n 项和为 n S ， 已知对任意整数 kM，当整数 )(2, knknkn SSSSkn 时 都成立 （1）设 52 , 2,1aaM求 的值； （2）设 ,4 , 3 n aM求数列 的通项公式 本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分 析探究及逻辑推理的能力，满分 16 分。 解：（1）由题设知，当 111 2,2() nnn nSSSS 时 ， 即 111 ()()2 nnnn SSSSS ， 从而 1122 22,2,2,2(2)22. nnn aaaanaann 又故当时 所以 5 a 的值为 8。 （2）由题设知，当 3,4,22 n kn knk kMnkSSS 且时, S 111 22 nknknk SSSS 且 ， 两式相减得 1111111 2, nknknnknknnk aaaaaaa 即 所以当 6336 8, nnnnn naaaaa 时 成等差数列，且 6226 , nnnn aaaa 也成等差 数 列 从而当 8n 时， 3366 2. nnnnn aaaaa （*） 且 662222 ,8,2 nnnnnnn aaaanaaa 所以当时 ， 即 223113 .9, nnnnnnnn aaaanaaaa 于是当时 成等差数列， 从而 3311nnnn aaaa ， 故由（*）式知 1111 2,. nnnnnnn aaaaaaa 即 当 9n 时，设 1.nn daa 当2 8,68mm时 ，从而由（*）式知 612 2 mmm aaa 故 7113 2. mmm aaa 从而 7611312 2()() mmmmmm aaaaaa ，于是 1 2. mm aaddd 因此， 1nn aad 对任意 2n 都成立，又由 22(3,4) n kn kkk SSSSk 可知 34 ()()2,92162 n knnn kk SSSSSdSdS 故且 ， 解得 421 73 ,. 222 d adad a从而 因此，数列 n a 为等差数列，由 1 12.ad知 所以数列 n a 的通项公式为 21. n an 11（北京理 20） 若数列 12, ,.,(2) nn Aa aa n 满足 11 1(1,2,.,1) n aakn ，数列 n A 为E数列， 记 () n S A = 12 . n aaa （）写出一个满足 1 0 s aa ，且 () s S A 0 的E数列 n A ； （）若 1 12a ，n=2000，证明：E 数列 n A 是递增数列的充要条件是 n a =2011； （）对任意给定的整数 n（n2），是否存在首项为 0 的 E 数列 n A ，使得 n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 n A ；如果不存在，说明理由。 解：（）0，1，2，1，0 是一具满足条件的 E 数列 A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0 也是一个满足条件的 E 的数列 A5） （）必要性：因为 E 数列 A5 是递增数列， 所以 )1999, 2 , 1( 1 1 kaa kk . 所以 A5 是首项为 12，公差为 1 的等差数列. 所以 a2000=12+（20001）1=2011. 充分性，由于 a2000a10001， a2000a10001 a2a11 所以 a2000a19999，即 a2000a1+1999. 又因为 a1=12，a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 nnn Akaa即),1999, 2 , 1(01 1 是递增数列. 综上，结论得证。 （）令 . 1 ),1, 2 , 1(01 1 Akkk cnkaac则 因为 2111112 ccaacaa , 1211 nn cccaa 所以 13211 )3()2() 1()( nn ccncncnnaAS ).1 ()2)(1 () 1)(1( 2 ) 1( 121 n cncnc nn 因为 ).1, 1(1, 1nkcc kk 为偶数所以 所以 )1 ()2)(1 () 1)(1* 21n cncnc 为偶数, 所以要使 2 ) 1( , 0)( nn AS n 必须使 为偶数, 即 4 整除 *)( 144),1(Nmmnmnnn或亦即 . 当 , 1, 0,*)( 14 241414 kkkn aaaAENmmn的项满足数列时1 4 k a ), 2 , 1(mk 时，有 ; 0)(, 0 1 n ASa ; 0)(, 0,0), 2 , 1( 1 1144 nkk ASaamka有时 当 n AENmmn数列时,*)( 14 的项满足， , 1, 0 243314 kkk aaa 当 ) 1(,)( 3424mnNmmnmn时或 不能被 4 整除，此时不存在 E 数列 An， 使得 . 0 )(, 0 1 n ASa 12（广东理 20） 设 b0,数列 n a 满足 a1=b， 1 1 (2) 22 n n n nba an an （1）求数列 n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数 n， 1 1 1. 2 n n n b a 解： （1）由 1 1 11 121 0,0,. 22 n n nnn nbann aba anabb a 知 令 1 1 , n n n AA ab ， 当 1 12 2, nn nAA bb 时 21 1 211 1222 nn nn A bbbb 21 21 1222 . nn nn bbbb 当 2b 时， 12 (1) 2 , 2 (2) 1 n nn n n bbb A bb b 当 2,. 2 n n bA时 (2) ,2 2 2,2 n nn n nbb b a b b （2）当 2b 时，（欲证 11 11 (2)2 1,(1) 2222 nnnnn n n nnnn nbbbbb anb bb 只需证 ） 1111121 2 (2)(2)(22) 2 nn nnnnnnn b bbbb b 1122222111 22222 nnnnnnnnn bbbbb 21 21 222 2() 222 nnn nn nnn bbb b bbb 1 2(222)222 nnnnnn bnbnb ， 1 1 (2) 1. 22 nn n nnn nbbb a b 当 1 1 2,21. 2 n n n b ba 时 综上所述 1 1 1. 2 n n n b a 13（湖北理 19） 已知数列 na 的前n项和为 nS ，且满足： 1aa (0)a ， 1nnarS (nN*， ,1)rR r （）求数列 na 的通项公式； （）若存在kN*，使得 1kS ， kS ， 2kS 成等差数列，是判断：对于任意的mN*， 且 2m ， 1ma ， ma ， 2ma 是否成等差数列，并证明你的结论 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一 般的思想。（满分 13 分） 解：（I）由已知 1 , nn arS 可得 21nn arS ，两式相减可得 2111 (), nnnnn aar SSra 即 21 (1), nn ara 又 21 ,arara 所以 r=0 时， 数列 n a 为：a，0，0，； 当 0,1rr 时，由已知 0,0 n aa所以 （ * nN ）， 于是由 21 (1), nn ara 可得 2 1 1() n n a rnN a ， 23 , n a aa 成等比数列， 当n2时， 2 (1). n n ar ra 综上，数列 n a 的通项公式为 2 1, (1),2 n n n an a r ra n （II）对于任意的 * mN ，且 12 2, mmm maaa 成等差数列，证明如下： 当 r=0 时，由（I）知， ,1, 0,2 m a n a n 对于任意的 * mN ，且 12 2, mmm maaa 成等差数列， 当 0r ， 1r 时， 21211 ,. kkkkkk SSaaSa 若存在 * kN ，使得 112 , kk SS S 成等差数列， 则 12 2 kkk SSS ， 1221 222,2, kkkkkk SaaSaa 即 由（I）知， 23 , m a aa的公比 12r ，于是 对于任意的 * mN ，且 12 2,2,4, mmmm maaaa 从而 1212 2, mmmmmm aaaaaa 即 成等差数列， 综上，对于任意的 * mN ，且 12 2, mmm maaa 成等差数列。 14（辽宁理 17） 已知等差数列an满足 a2=0，a6+a8=-10 （I）求数列an的通项公式； （II）求数列 1 2n n a 的前 n 项和 解： （I）设等差数列 n a 的公差为 d，由已知条件可得 1 1 0, 21210, ad ad 解得 1 1, 1. a d 故数列 n a 的通项公式为 2. n an 5 分 （II）设数列 1 2 n n n a nS 的前项和为 ，即 2 11 1 ,1 22 n n n aa SaS 故 ， 12 . 2242 nn n Saaa 所以，当 1n 时， 121 1 1 1 1 2222 1112 1() 2422 12 1(1) 22 nnnn nn nn nn Saaaaa a n n . 2n n 所以 1 . 2 n n n S 综上，数列 11 . 22 n n nn an nS 的前项和 12 分 15（全国大纲理 20） 设数列 n a 满足 1 0a 且 1 11 1. 11 nn aa （）求 n a 的通项公式； （）设 1 1 1 ,1. n n nnkn k a bbS n 记S证明： 解： （I）由题设 1 11 1, 11 nn aa 即 1 1 n a 是公差为 1 的等差数列。 又 1 11 1,. 11 n n aa 故 所以 1 1. n a n （II）由（I）得 1 1 , 1 1 11 1 n n a b n nn nn nn ，8 分 11 111 ()11. 11 nn nk kk Sb kkn 12 分 16（山东理 20） 等比数列 n a 中， 123 ,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 123 ,a a a 中的任 何两个数不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行3210 第二行6414 第三行9818 （）求数列 n a 的通项公式； （）若数列 n b 满足： ( 1)ln nnn baa ，求数列 n b 的前 n 项和 n S 解：（I）当 1 3a 时，不合题意； 当 1 2a 时，当且仅当 23 6,18aa 时，符合题意； 当 1 10a 时，不合题意。 因此 123 2,6,18,aaa 所以公式 q=3， 故 1 2 3. n n a （II）因为 ( 1) ln n nnn baa 11 1 1 2 3( 1) (2 3) 2 3( 1) ln2(1)ln3 2 3( 1) (ln2ln3)( 1)ln3, nnn nn nnn n n 所以 212 2 2(1 33) 1 1 1( 1) (ln2ln3) 125( 1)ln3, nnn n Sn 所以 当 n 为偶数时， 1 3 2ln3 1 32 n n n S 3ln3 1; 2 n n 当 n 为奇数时， 1 31 2(ln2ln3)()ln3 1 32 n n n Sn 1 3ln3ln2 1. 2 n n 综上所述， 3ln3 1, 2 1 2 n n n n n S n 为偶数 3 -l n3-l n2-1, n为奇数 17（上海理 22） 已知数列 n a 和 n b 的通项公式分别为 36 n an ， 27 n bn （ * nN ），将集合 * |, |, nn x xa nNx xb nN 中的元素从小到大依次排列，构成数列 123 , n c c cc 。 （1）求 1234 ,c c c c ； （2）求证：在数列 n c 中但不在数列 n b 中的项恰为 242 , n a aa； （3）求数列 n c 的通项公式。 解： 1234 9,11,12,13cccc ； 任意 * nN ，设 21 3(21)66327 nk annbk ，则 32kn ，即 2132nn ab 假设 2 6627 nk anbk * 1 3 2 knN （矛盾）， 2 nn ab 在数列 n c 中但不在数列 n b 中的项恰为 242 , n a aa。 3221 2(32)763 kk bkka ， 31 65 k bk ， 2 66 k ak ， 3 67 k bk 63656667kkkk 当 1k 时，依次有 111222334 ,bac bc ac bc ， * 63(43) 65(42) , 66(41) 67(4 ) n knk knk ckN knk knk 。 18（天津理 20） 已知数列 n a 与 n b 满足： 112 3( 1) 0, 2 n nnnnnn b aabab ， * nN ，且 12 2,4aa （）求 345 ,a a a 的值； （）设 * 2121,nnn caanN ，证明： n c 是等比数列； （III）设 * 242 , kk SaaakN 证明： 4 * 1 7( ) 6 n k k k S nN a 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分. （I）解：由 * 3( 1) , 2 n n bnN 可得 1, n n b 为奇数 2, n为偶数 又 112 0, nnnnn b aaba 123123 2344 3454 3; 5; 4. 当n=1时, a +a +2a =0, 由a =2, a =4, 可得a 当n=2时, 2a +a +a =0, 可得a 当n=3时, a +a +2a =0, 可得a （II）证明：对任意 *, nN 21221 20, nnn aaa 22122 20, nnn aaa 212223 20, nnn aaa ，得 223.nn aa 将代入，可得 21232121 () nnnn aaaa 即 * 1 () nn cc nN 又 113 1,0, n caa 故c 因此 1 1, n n n c c c 所以 是等比数列. （III）证明：由（II）可得 2121 ( 1)k kk aa ， 于是，对任意 * 2kNk且 ，有 13 35 57 2321 1, ()1, 1, ( 1) ()1. k kk aa aa aa aa 将以上各式相加，得 121 ( 1)(1), k k aak 即 1 21 ( 1)(1) k k ak ， 此式当 k=1 时也成立.由式得 1 2 ( 1)(3). k k ak 从而 22468424 ()()(), kkk Saaaaaak 2124 3. kkk SSak 所以，对任意 *, 2nNn ， 4 4342414 11 4342414 () nn kmmmm km kmmmm SSSSS aaaaa 1 2221232 () 2222123 n m mmmm mmmm 1 23 () 2 (21)(22)(22) n m mmmm 2 253 2 32 (21)(22)(23) n m mmnn 2 153 3(21)(21)(22)(23) n m mmnn 151111113 ()()() 3235572121(22)(23)nnnn 15513 362 21(22)(23) 7 . 6 nnn 对于 n=1，不等式显然成立. 所以，对任意 *, nN 21212 12212 nn nn SSSS aaaa 3212124 1234212 ()()() nn nn SSSSSS aaaaaa 222 11121 (1)(1)(1) 41244(41)4(41) nn n 222 11121 ()()() 41244 (41)44 (41) nnn n n 111 (). 4123 nn 19（浙江理 19）已知公差不为 0 的等差数列 n a 的首项 1 a 为 a（a R ）,设数列的前 n 项和为 n S ，且 1 1 a ， 2 1 a ， 4 1 a 成等比数列 （1）求数列 n a 的通项公式及 n S （2）记 123 1111 . n n A SSSS ， 2 12 22 1111 . n n B aaaa ，当 2n 时，试比较 n A 与 n B 的大小 本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思 想。满分 14 分。 （I）解：设等差数列 n a 的公差为 d，由 2 214 111 (), aaa 得 2 111 ()(3 )ada ad 因为 0d ，所以d a 所以 1 (1) ,. 2 nn an n ana S （II）解：因为 12 11 () 1 n Sa nn ，所以 123 111121 (1) 1 n n A SSSSan 因为 1 1 2 2 n n aa ，所以 21 12 22 1 1 ( ) 1111121 2 (1). 1 2 1 2 n n n n B aaaaaa 当 012 2,21 nn nnnn nCCCCn时 ， 即 11 11, 12nn 所以，当 0,; nn aAB时 当 0,. nn aAB时 20（重庆理 21） 设实数数列 n a 的前 n 项和 n S ，满足 )( * 11 NnSaS nnn （I）若 122 ,2a Sa 成等比数列，求 2 S 和 3 a ； （II）求证：对 1 4 30 3 kk kaa 有 （I）解：由题意 2 2212 22 22112 2, 2 , Sa a SS Sa Sa a 得 ， 由 S2 是等比中项知 22 0.2.SS 因此 由 23332 SaSa S 解得 2 3 2 22 . 1213 S a S （II）证法一：由题设条件有 11 , nnnn SaaS 故 1 11 1 1,1, 11 nn nnnn nn Sa SaaS Sa 且 从而对 3k 有 1 1 2 11211 2 1 11211 1 1 1 . 111 1 1 k k kkkkk k k kkkkk k k a a SaSaa a a SaSaa a a 因 222 1111 13 1()00 24 kkkk aaaa 且 ，由得 0 k a 要证 4 3 k a ，由只要证 2 1 2 11 4 , 31 k kk a aa 即证 222 1111 34(1),(2)0. kkkk aaaa 即 此式明显成立. 因此 4 (3). 3 k ak 最后证 1 . kk aa 若不然 2 1 2 , 1 k kk kk a aa aa 又因 2 2 0,1,(1)0. 1 k kk kk a aa aa 故即 矛盾. 因此 1 (3). kk aak 证法二：由题设知 111nnnnn SSaaS ， 故方程 2 111 0 nnnn xSxSSa 有根和 （可能相同）. 因此判别式 2 11 40. nn SS 又由 2 2122121 2 1. 1 n nnnnnnn n a SSaaSaS a 得且 因此 2 222 22 2 22 4 0,340 1(1) nn nn nn aa aa aa 即 ， 解得 2 4 0. 3 n a 因此 4 0(3). 3 k ak 由 1 1 0(3) 1 k k k S ak S ，得 11 1 2 11 1 2 2 11 1 (1)(1) 11 1 1 0. 13 1 () 24 kkk kkkkk kkkk k kk kk k SSS aaaaa Sa SS S aa SS S 因此 1 (3). kk aak 2010 年高考题年高考题 一、选择题 1.（2010 浙江理）浙江理）（3）设 n S为等比数列 n a的前n项和， 25 80aa，则 5 2 S S （A）11 （B）5 （C）8 （D）11 解析：通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2，带入 所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式，属中档题 2.（2010 全国卷全国卷 2 理）理）（4）.如果等差数列 n a中， 345 12aaa，那么 127 .aaa （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 17 345441274 7() 312,4,728 2 aa aaaaaaaaa 3.（2010 辽宁文）辽宁文）（3）设 n S为等比数列 n a的前n项和，已知 34 32Sa， 23 32Sa，则公比q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】 B 解析：选 B. 两式相减得， 343 3aaa， 4 43 3 4,4 a aaq a . 4.（2010 辽宁理）辽宁理）（6）设an是有正数组成的等比数列， n S为其前 n 项和。已知 a2a4=1, 3 7S ,则 5 S （A） 15 2 (B) 31 4 (C) 33 4 (D) 17 2 【答案】B 【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决问题的 能力。 【解析】由 a2a4=1 可得 24 1 1a q ，因此 1 2 1 a q ，又因为 2 31(1 )7Saqq，联力两 式有 11 (3)(2)0 qq ，所以 q= 1 2 ,所以 5 5 1 4(1) 31 2 1 4 1 2 S ，故选 B。 5.（2010 全国卷全国卷 2 文）文）(6)如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C 【解析解析】本题考查了数列的基础知识。本题考查了数列的基础知识。 345 12aaa ， 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa 6.（2010 安徽文）安徽文）(5)设数列 n a的前 n 项和 2 n Sn，则 8 a的值为 （A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 【答案】 A 【解析】 887 644915aSS. 【方法技巧】直接根据 1( 2) nnn aSSn 即可得出结论. 7.（2010 浙江文）浙江文）(5)设 n s为等比数列 n a的前 n 项和， 25 80aa则 5 2 S S (A)-11 (B)-8 (C)5(D)11 解析：通过 25 80aa，设公比为q，将该式转化为08 3 22 qaa，解得q=-2，带入 所求式可知答案选 A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式 8.（2010 重庆理）重庆理）（1）在等比数列 n a中， 20102007 8aa ，则公比 q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 解析：8 3 2007 2010 q a a 2q 9.（2010 广东理）广东理）4. 已知 n a为等比数列，Sn是它的前 n 项和。若 231 2aaa， 且 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 ，则 5 S= A35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 解析：设 n a的公比为q，则由等比数列的性质知， 23141 2aaa aa，即 4 2a 。由 4 a与 2 7 a的等差中项为 5 4 知， 47 5 22 4 aa，即 74 15151 (2)(22) 24244 aa 3 7 4 1 8 a q a ，即 1 2 q 3 411 1 2 8 aa qa，即 1 16a 10.（2010 广东文）广东文） 11.（2010 山东理）山东理） 12.（2010 重庆文）重庆文）（2）在等差数列 n a中， 19 10aa，则 5 a的值为 （A）5 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】 A 解析：由角标性质得 195 2aaa，所以 5 a=5 二、填空题 1.（2010 辽宁文）辽宁文）（14）设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 36 324SS，则 9 a 。 解析：填 15. 31 61 3 2 33 2 6 5 624 2 Sad Sad ,解得 1 1 2 a d ， 91 815.aad 2.（2010 福建理）福建理）11在等比数列 n a中,若公比q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通 项公式 n a 【答案】 n-1 4 【解析】由题意知 111 41621aaa，解得 1 1a ，所以通项 n a n-1 4。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属基础题。 3.（2010 江苏卷）江苏卷）8、函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_ 解析：考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为： 2 2(), kkk yaaxa当0y 时，解得 2 k a x ， 所以 1135 ,164 121 2 k k a aaaa 。 三、解答题 1.（2010 上海文）上海文）21.(本题满分本题满分 14 分分)本题共有本题共有 2 个小题，第一个小题满分个小题，第一个小题满分 6 分，第分，第 2 个小个小 题满分题满分 8 分。分。 已知数列 n a的前n项和为 n S，且585 nn Sna， * nN (1)证明：1 n a 是等比数列； (2)求数列 n S的通项公式，并求出使得 1nn SS 成立的最小正整数n. 解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以 1 5 1(1) 6 nn aa ， 又 a11150，所以数列an1是等比数列； (2) 由(1)知： 1 5 115 6 n n a ，得 1 5 1 15 6 n n a ，从而 1 5 7590 6 n n Sn (nN*)； 由 Sn1Sn，得 1 52 65 n ， 5 6 2 log114.9 25 n ，最小正整数 n15 2.（2010 陕西文）陕西文）16.（本小题满分 12 分） 已知an是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列. （）求数列an的通项;（）求数列2an的前 n 项和 Sn. 解 （）由题设知公差 d0， 由 a11，a1，a3，a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d ， 解得 d1，d0（舍去）， 故an的通项 an1+（n1）1n. ()由（）知2 m a =2n，由等比数列前 n 项和公式得 Sm=2+22+23+2n= 2(1 2 ) 1 2 n =2n+1-2. 3.（2010 全国卷全国卷 2 文）文）（18）（本小题满分 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 12 12 11 2()aa aa ， 345 345 111 64()aaa aaa （）求 n a的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a ，求数列 n b的前n项和 n T。 【解析解析】本题考查了数列通项、前本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。 （1）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于 1 a 与与d的方程求得的方程求得 1 a 与与d，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。 （2）由（）由（1）中求得数列通项公式，可求出）中求得数列通项公式，可求出 BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可的通项公式，由其通项公式化可知其和可 分成两个等比数列分别求和即可求得。分成两个等比数列分别求和即可求得。 4.（2010 江西理）江西理）22. （本小题满分 14 分） 证明以下命题： （1）对任一正整 a,都存在整数 b,c(b0 由 a2+a716.得 1 2716ad 由 36 55,aa得 11 (2 )(5 )55ad ad 由得 1 2167ad将其代入得(163 )(163 )220dd。即 2 2569220d 2 4,0,2,1 1 (1) 221 n ddd ann 1 又代入得a （2）令 121121 , 2 n nnnnn n b caccc accc 则有 两式相减得 1111 1 111 1 ,(1)1,2 2,2(2),2222 2,(1) 2(2) nnnnn n nnn n n aacaaa ccnnbba n b n 由得 即当时，又当n=1时， 于是 341 123 2222n nn Sbbbb = 2341 22222n-4= 1 22 2(21) 426,26 2 1 n nn n S 即 27. （2009 福建卷文）等比数列 n a中，已知 14 2,16aa （I）求数列 n a的通项公式； （）若 35 ,a a分别为等差数列 n b的第 3 项和第 5 项，试求数列 n b的通项公式及前 n项和 n S。 解：（I）设 n a的公比为q 由已知得 3 162q，解得2q （）由（I）得 2 8a ， 5 32a ，则 3 8b ， 5 32b 设 n b的公差为d，则有 1 1 28 432 bd bd 解得 1 16 12 b d 从而16 12(1)1228 n bnn 所以数列 n b的前n项和 2 ( 16 1228) 622 2 n nn Snn 28（2009 重庆卷文）（本小题满分 12 分，（）问 3 分，（）问 4 分，（）问 5 分） 已知 1 1221 1,4,4, n nnnn n a aaaaa bnN a （）求 123 ,b b b的值； （）设 1,nnnn cb bS 为数列 n c的前n项和，求证：17 n Sn； （）求证： 2 2 11 64 17 nn n bb A 解：（） 234 4,17,72aaa，所以 123 1772 4., 417 bbb （）由 21 4 nnn aaa 得 2 11 4 nn nn aa aa 即 1 1 4 n n b b 所以当2n时，4 n b 于是 1121 ,17,4117(2) nnnn cb bcb bbn 所以 12 17 nn Scccn （）当1n 时，结论 21 117 464 bb成立 当2n时，有 1 11 11 111 |44| | 17 nn nnnn nnnn bb bbbb bbb b 1221 212 1111 |(2) 171764 17 nn nn bbbbn A 所以 2121221nnnnnnnn bbbbbbbb 1 122* 2 11 ()(1) 1111111 1717 ()()()() 1 4171717464 17 1 17 n n nnn n nN AA 20062008 年高考题年高考题 一、选择题 1.（2008 天津）若等差数列 n a的前 5 项和 5 25S ，且 2 3a ，则 7 a ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 B 2.（2008 陕西）已知 n a是等差数列， 12 4aa， 78 28aa，则该数列前 10 项和 10 S等于（ ） A64 B100 C110 D120 答案 B 3.（2008 广东）记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1 2 a ， 4 20S ，则 6 S （ ） A16 B24 C36 D48 答案 D 4.（2008 浙江）已知 n a是等比数列， 4 1 2 52 aa，则 13221 nna aaaaa=（ ） A.16（ n 41） B.6（ n 21） C. 3 32 （ n 41） D. 3 32 （ n 21） 答案 C 5.（2008 四川）已知等比数列 n a中 2 1a ，则其前 3