高考理科数学模拟题(含详解答案).pdf

理科数学 第 1 页(共 4 页) 全国全国高考高考理理科科数数学学模拟题模拟题 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号 填写在答题卡上. 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4 作答选做题时， 请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点， 再作答.漏涂、 错涂、 多涂的，答案无效. 5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第卷(共60分) 一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合要求的。符合要求的。 1.已知集合 2 |2Ax xx，| 12Bxx ，则 ABA BRBA C AB DBA 2.已知z是复数z的共轭复数，若1zi ，则复数 2 z z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.若两个非零向量 , a b 满足|2 |2ba ，|2 | 3ab ，则 , a b 的夹角是 A 6 B 3 C 2 D 4.记 n S为等差数列 n a的前n项和， 5552 15,18Sa SS，则 34 3aa的值为 A21 B24 C27 D30 5.执行右图的程序框图，如果输入的1a ，2b ，则输出的n A10 B11 C12 D13 6.已知命题:p关于x的方程 2 10xax 没有实根；命题:q0,20 x xa 若“p”和“pq”都是假命题，则实数a的取值范围是 第5题图 A( , 2)(1,) B( 2,1 C(1,2) D. (1,) 7.某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡(“和谐”、“爱国”、“敬业”)中的一 种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则他获奖的概率为 A 3 8 B 5 8 C 4 9 D 7 9 理科数学 第 2 页(共 4 页) 8.将偶函数 3sin 2cos 20f xxx的图像向右平移个单位得到函数 ( )g x的图像，则( )g x在, 4 6 上的最小值是 A2 B1 C3 D 1 2 9.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各个三角形 面中，最大面积为 A8 5 B16 C4 5 D4 2 10.已知圆锥的母线长为 3 2 ，它的底面圆周和顶点都在 一个表面积为的球面上，则该圆锥的体积为 第9题图 A 3 128 B 3 64 C 3 3 32 D 3 32 11.已知函数 ,0 ( ) ,0 x x xex f x x x e ，则不等式 (2)f xe 的解集为 A (,1) B( 1,1) C(1,3) D(1,) 12.已知函数 ln ( ) x f xmx x 有两个零点，则实数m的取值范围是 A 1 (0,) 2e B 1 (0, ) e C 1 (,) 2e D 1 (, ) e 第卷(共90分) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分。分。 13.已知实数, x y满足 2 1 1 yx xy xy ，则目标函数2zxy的最大值为_ . 14. 26 (1) (1)xx展开式中，含 3 x项的系数是 (用数字填写答案) 15.数列 n a 中， * 11 1,2 (,0) n nn aa anN ，其中满足：对于任意的 * kN， 均有 21221 , kkk aaa 成等差数列 n a 的前20项和 20 S 16.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为 鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB 平面BCD，且有,BDCD 2,1ABBDCD，点P是AC上的一个动点，则三角形 PBD的面积的最小值为 理科数学 第 3 页(共 4 页) 第16题图 三、解答题：共三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知23 ,2ab AB. (1)求cosA； (2)若ABC的面积为15 7，求b. 18. (本小题满分12分) 某大型企业为鼓励员工多利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐.为了解员工 手机流量使用情况，通过抽样，得 到100位员工每人手机月平均使用 流量L(单位：M)的数据，其频率分 布直方图如右： 将频率视为概率，回答以下问题： (1)从该企业的员工中随机抽取3人， 求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M的概率； (2)据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下： 套餐名称 月套餐费(单位：元) 月套餐流量(单位：M) A 20 700 B 30 1000 流量套餐的规则是： 每月1日收取套餐费.如果手机实际使用流量超出套餐流量， 则需要购买流 量叠加包， 每一个叠加包(包含200M的流量)需要10元， 可以多次购买； 如果当月流量有剩余， 将会被清零. 该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，并支付所有费用.请分别计算两种套餐所 需费用的数学期望，并判断该企业订购哪一款套餐更经济？ 19. (本小题满分12分) 如图，三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBC C是菱形， 其对角线的交点为O，且 1 ABAC， 1 ABBC (1)求证：AO 平面 11 BBC C； (2)设 1 60B BC ，若直线 11 A B与平面 11 BB C C所成的 0.0008 频率 组距 500 600 700 800 900 1000 流量 L/M 0.0002 a 0.0025 0.0035 1100 理科数学 第 4 页(共 4 页) 角为45，求二面角 11 ABCA的大小. 第19题图 20. (本小题满分12分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，短轴长为2 2，左右顶点分别为 ,A B，点M是椭圆上异于,A B的任意一点，记直线,MA MB的斜率分别为, MAMB kk. (1)求椭圆C的方程，并证明： MAMB kk是定值； (2)设点N是椭圆C上另一个异于,M A B的点，且满足直线NB的斜率等于2 MA k，试探 究：直线MN是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由. 21. (本小题满分12分) 已知函数 2 ( ) x f xeax. (1)讨论( )f x的单调性； (2)当0x 时， 2 ( )1f xax，求a的取值范围. 请考生在第22，23题中任选一题作答作答时一定要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题) 22. (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1 C的 极坐标方程为4cos，直线l的极坐标方程为cos()2 2 4 . (1)求曲线 1 C和直线l的交点的极坐标； (2)已知P为曲线 2 2cos : sin x C y (为参数)上的一动点，设直线l与曲线 1 C的交点为 ,A B，求PAB面积的最小值. 23. (本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数 2 ( ) |2|f xxax a . (1)当2a 时，解不等式( )1f x ； (2)求函数( )( )()g xf xfx的最小值. 1 理科数学 BBDAB CCACB CA 13. 3 14. 4 15. 5115 2 16. 2 5 5 17.（1）由正弦定理得2sin3sinAB1 分 2sin23sinBB，4sincos3sinBBB 2 分 sin0B Q， 3 cos 4 B 3 分 2 coscos22cos1ABB 4 分 2 31 2 ( )1 48 5 分 （2） 2 3 7 sin1 cos 8 AA，6 分 2 7 sin1 cos 4 BB7 分 sinsin()sincoscossinCABABAB8 分 3 73175 7 848416 9 分 1 sin15 7 2 ABC SabC 10 分 得到96ab 11 分 又23ab，可得12,8ab. 12 分 18. （1）依题意，(0.0080.00250.00350.0080.002) 1001a，1 分 得0.0022a 2 分 从该企业的员工中随机抽取 3 人， 可近似的看为独立重复实验， 每人手机月流量不超过 900M 的概率为1 (0.0080.002) 1000.9，3 分 至多 1 人可分为恰有一人和没有人超过 900M， 设事件 A 为“3 人中至多有 1 人手机月流量不超过 900M” ，4 分 则 1 23 3 ( )0.9 0.10.10.028P A C 5 分 （2）若该企业选择 A 套餐，设一个员工的所需费用为X，则X可能为20,30,406 分 X的分布列为 X 20 30 40 P 0.3 0.6 0.1 2 7 分 20 0.3 30 0.640 0.128EX 8 分 若该企业选择 B 套餐，设一个员工的所需费用为Y，则Y可能为30,409 分 Y的分布列为 Y 30 40 P 0.98 0.02 10 分 30 0.9840 0.0230.2EY 11 分 30.228Q 订购 A 套餐更经济. 12 分 19. （1）Q四边形 11 BBCC是菱形 11 BCBC1 分 1 BCABQ，且 1 BCABBI 1 BC平面 1 ABC 2 分 1 BCAO3 分 1 ABACQ， O是 1 BC的中点， 1 AOBC4 分 又 11 BCBCOI， AO平面 11 BBCC5 分 （2） （法一） 11 / /ABABQ 直线 11 AB与平面 11 BBCC的所成角等于直线AB与平面 11 BBCC的所成角 AO Q平面 11 BBCC 直线AB与平面 11 BBCC的所成角为ABO，6 分即45ABO o 不妨设菱形 11 BBCC的边长为 2，则在等边三角形 1 BBC中， 1 3,1BOCOBO 在直角三角形ABO中，3AOBO7 分 以O为原点建立空间直角坐标系，则 11 (0,1,0),(0, 1,0),(3,1, 3)BCA8 分 111 ( 3,0,3),(0, 2,0),ABBC uuuu ruuur 设平面 11 ABC的一个法向量为 1 ( , , ),nx y z u r 第第 1919 题图题图 x z y 3 则 111 11 330 20 n ABxz n BCy u r uuuu r g u r uuur g 得 1 (1,0,1)n u r 9 分 而平面 1 ABC的一个法向量为 2 (1,0,0),n uu r 10 分 12 12 12 12 cos, 2|2 nn n n nn u ruu r u r uu r u ruu r11 分 二面角 11 ABCA的大小为45o. 12 分 （法二） 不妨设菱形 11 BBCC的边长为 2，则在等边三角形 1 BBC中， 1 3,1BOCOBO 设AOa 以O为原点建立空间直角坐标系，则 11 (0,1,0),(0, 1,0),(3,1, )BCAa6 分 11 ( 3,0,),ABa uuuu r 平面 11 BBCC的法向量为(0,0,1),n r 依题意有， 11 11 2 11 |2 |cos,|sin45 2| 3 ABna AB n ABn a o uuuuu rr uuuu r r uuuu rr ，7 分 得到3a 8 分 因此， 111 ( 3,0,3),(0, 2,0),ABBC uuuu ruuur 设平面 11 ABC的一个法向量为 1 ( , , ),nx y z u r 则 111 11 330 20 n ABxz n BCy u r uuuu r g u r uuur g 得 1 (1,0,1)n u r 9 分 而平面 1 ABC的一个法向量为 2 (1,0,0),n uu r 10 分 12 12 12 12 cos, 2|2 nn n n nn u ruu r u r uu r u ruu r11 分 二面角 11 ABCA的大小为45o. 12 分 20. （1）依题意有 222 2 2 22 2 c e a b abc ，1 分 解得 2 2 2 a b c 2 分 椭圆C的方程为 22 1 42 xy ，3 分( 2,0), (2,0)AB，设 00 (,)M xy 4 则 2 000 2 000 224 MAMB yyy kk xxx 4 分 2 0 2 0 1 2 1 2 42 x x 5 分 （2） （法一）2 NBMA kkQ，1 NBMB kk g，6 分即NBMB 设MN的方程为xmxt， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy 2 2 1 42 xmxt xy 222 (2)240mymtyt7 分 则 12 2 2 2 mt yy m ， 2 12 2 4 2 t y y m 8 分 1212 (2)(2)0BN BMxxy y uuu r uuuu r g9 分 得 22 1212 (1)(2)()(2)0my ym tyyt 2 22 22 42 (1)(2) ()(2)0 22 tmt mm tt mm g10 分 化简得 2 3840tt， 2 3 t 或2t 11 分 即MN的方程为 2 3 xmy或2xmy， 因为2xmx经过右顶点，舍去；所以直线MN经过定点 2 ( ,0) 3 12 分 （法二）2 NBMA kkQ，1 NBMB kk g，6 分即NBMB 当MNx轴时，直线MN方程为 2 3 x 7 分 MN的斜率存在时，设MN的方程为ykxm， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy 22 1 42 ykxm xy 222 (1 2)4240kxkmxm，8 分 则 12 2 4 1 2 km xx k ， 2 12 2 24 1 2 m x x k 1212 (2)(2)0BN BMxxy y uuu r uuuu r g9 分 5 得 222 1 212 (1)(2)()40kx xkxxm10 分 2 222 22 244 (1)(2)()40 1 21 2 mkm kkm kk 化简得 22 4830kkmm, 2 3 mk 或2mk 11 分 即MN的方程为 2 3 ykxk或2ykxk， 因为2ykxk经过右顶点，舍去；所以直线MN经过定点 2 ( ,0) 3 12 分 （法三）设MA的方程为 1( 2)yk x 1 22 (2) 1 42 yk x xy 2222 111 (1 2)8840kxk xk，6 分 2 1 2 1 84 2 1 2 M k x k ，7 分得 2 1 2 1 42 1 2 M k x k ， 1 2 1 4 1 2 M k y k 设NB的方程为 2( 2)yk x 2 22 (2) 1 42 ykx xy 2222 222 (1 2)8840kxk xk， 2 2 2 2 84 2 1 2 N k x k ，得 2 2 2 2 42 1 2 N k x k ， 2 2 2 4 1 2 N k y k 8 分 21 2kkQ 22 21 22 21 42162 1 21 8 N kk x kk ， 21 22 21 48 1 21 8 N kk y kk 9 分 11 22 11 22 11 22 11 84 1 81 2 16242 1 81 2 NM MN NM kk yykk k kkxx kk 1 2 1 3 41 k k 10 分 直线MN的方程为 2 111 222 111 4342 () 1 2411 2 kkk yx kkk 11 分 6 即 111 222 111 323 ( 32) 414141 kkk yxx kkk 所以直线MN经过定点 2 ( ,0) 3 .12 分 21（1） 2 ( )2 x fxea 1 分 0a 时，( )0fx ，( )f x在R上递增 2 分 0a 时，由( )0fx 得 1 ln 22 a x ，3 分 1 (,ln) 22 a x ，( )0fx ，( )f x在 1 (,ln) 22 a 上递减 ； 1 ( ln,) 22 a x，( )0fx ， ( )f x在 1 ( ln,) 22 a 上递增 4 分 （2） 22 ( )1 x f xeaxax变形为 22 10 x eaxax 令 22 ( )1 x g xeaxax, 2 ( )22 x g xeaxa 令( )0g x ，可得 2 2 21 x e a x 5 分 令 2 2 ( ) 21 x e h x x ， 2 2 8 ( ) (21) x xe h x x 6 分 0x 时，( )0h x ，( )h x在(0,)上单调递增 7 分 ( )h x的值域是(2,) 8 分 当2a 时，( )0g x 没有实根，( )0g x ，9 分 ( )g x在(0,)上单调递增, ( )( 0)0g xg，符合题意. 10 分 当2a 时，( )0g x 有唯一实根