考研数学二命题人考点结构图.pdf

24 考研数学二命题人归纳每章知识结构图考研数学二命题人归纳每章知识结构图 第一部分第一部分 高等数学高等数学 第一章第一章 函数、极限与连续性函数、极限与连续性 函数、极限与连续 函数的性质（有界性、单调性、奇偶性和周期性） 复合函数与反函数 常见的函数形式（初等函数、分段函数、隐函数等） 连续性与间断点的定义 连续函数的性质 判断连续性与间断 点类型的方法 （初等函数连续性连续函数运算性质， 间断类型判别） 极限的定义与性质、极限存在与否的判别方法 未定式 （ “ 0 0 ”型或“ ”型 ） 其他未定式（转化为“ 0 0 ” ，或 “ ” ） 直接用运算法则 分别求左右极限 （四则运算、幂指数运算、代入法） 函数极限 数列 极限 递归数列 1 ( ) n xf n + = n 项积数列（恒等变形，转化为 n 项和） n 项和数列（恒等变形，转化为 n 项和） 一般情形 （转化为函数极限、夹逼定理、恒等变形） 求极限的方法 连续性 极限 基本初等函数的性质及图形 无穷小 定义与性质 无穷小阶的比较与 无穷小阶的确定方法 （最大值和最小值定理， 零点定理， 介值定理） 函数 函数基本概念 25 第二章第二章 导数与微分导数与微分 平面曲线的切线与法线 平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径 判断函数的凹凸性 某些物理量的描述 定义法 分段函数求导法 幂指数函数 ( ) ( )g xf x求导法 反函数求导法 变限积分求导法 导数与微分的四则运算法则 复合函数求导法 由复合函数求导法导出的微分法则 定义 几何意义与物理意义 相互关系 可微可导连续 奇偶函数与周期函数的导数性质 导数、微分与可微概念 求导方法 基本导数表 微分法则 隐函数求导法 参数式求导法 求某些 n 阶导数表达式的方法 函数的可导性及导函数的连续性的判断 简单应用 导数与微分 26 第三章第三章 不定积分不定积分 几何意义与物理意义 原函数的存在性 不定积分 原函数 不定积分 凑微分法 常用的变量代换 基本积分表 积分计算 基本概念 基本性质 ( )d( )dkf xxkf xx= F ( )dF( )xxxc=+ ( )d( )f xxf x = 定义 积分法则 分项积分法 换元积分法 分段积分法 分部积分法 有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分 ( )( )d( )d( )df xg xxf xxg xx+=+ （ 27 第四章第四章 定积分的计算及其应用定积分的计算及其应用 定义 几何意义与物理意义 函数的可积性 基本概念 反常积分 定义计算 分项积分法 换元积分法 分部积分法 基本公式 分段积分法 基本积分表 几何应用 平面图形的面积与旋转体的体积 平面曲线的弧长、旋转体的侧面积、平行截面面积、已知的立体体积 物理应用 定积分的计算及其应用 牛顿莱布尼茨公式 变限积分所定义的函数的连续性、可导性及可导公式 定积分 积分法则+极限运算法则 若干基本的反常积分 积分的计算 积分法则 应用 变力做功、引力、压力、质心（形心） 、函数平均值 定积分的性质 积分中值定理 奇偶函数与周期函数的积分性质 非负连续函数的积分性质 等式表示的与不等式表示的 28 第五章第五章 多元函数的微分与应用多元函数的微分与应用 多元函数、二元函数的极限与连续性、有界闭区域上连续函数的性质 偏导数、可微性与全微分的定义 基本概念 求初等函数的偏导数与全微分 计算 求带函数记号的复合函数的全微分 及一、二阶偏导数 求隐函数的一、二阶偏导数或全微分 变量替换下方程的变形 最值问题 应用 二元函数极值判别法 简单极值问题的解法 条件极值问题的解法 多元函数的微分与应用 基本概念之间的关系 两个偏导函数 连续 函数 可微 函数连续 函数存在偏 导数 微分法则 全微分四则 运算法则 复合函数求导法 与一阶全微分形 式不变性 29 第六章第六章 二重积分二重积分 基本概念 二重积分 计算公式的应用 基本性质 计算 在直角坐标系中化二重积分为二次定积分公式 二重积分的极坐标变换 计算公式 怎样用计算公式 及简化计算问题 （先 y 后 x 与先 x 后 y 的情形） 分块积分法，选择积分顺序（交换积分顺序） 、是否 选择极坐标、利用几何意义、利用区域对称性与被 积函数奇偶性 （累次积分的交换与转换） 30 第七章第七章 常微分方程常微分方程 变量可分离的方程 一阶线性微分方程 通解（即所有解）的结构 解的叠加原理 基本概念 可化为基本类型的 一阶微分方程 二阶微分方程（含某些高价的情形） （解、阶、通解、特解、初值问题） 一、二阶线性微分方程的性质 基本类型 齐次微分方程 解法 可降阶的类型 二阶线性常系数微分方程 齐次 非齐次 可化为求解微分方程的情形（含变限积分的方程） 简单应用及如何列方程 利用定积分的几何意义、 利用导数的几何意义、 利用 变化率满足的规律 利用牛顿第二定律、质点运动的轨迹、微分分析法 常微分方程 31 第二部分第二部分 线性代数线性代数 第一章第一章 行列式行列式 概念 1 n ijij j AA = =(第 i 行展开) 不同行，不同列的几个元素的乘积 展开式中项的符号 代数余子式 展开公式 展开式中所有项的项数为 n！ 数字型 抽象型 定义法 应用 经转置的行列式的值不变 行列式 三要素 性质 互换行列式的两行（列） ，行列式变号 行列式的某一行（列）所有元素都同乘以同一数 k，等于用数 k 乘此行列式 行列式中如果有两行（列）的元素成比例，则此行列式于零 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变 展开式 1 n ijij j AA = =(第 j 行展开) 公式法 递推法 用行列式的性质 用矩阵的性质 用特征值（ 1 = n i A = ）及相似性质 克莱姆法则 伴随矩阵求逆 判定线性无关 计算特征值 证明0A = AA= ( )r An 0 是 A 的一个特征值 计算特征值 反证法 求解线性方程组 32 第二章第二章 矩阵矩阵 行矩阵 列矩阵 零矩阵 反对称矩阵 0 T ijjiii AAaaa= = =， mn 个数排成的 n 行 n 列的数表 概念 特殊矩阵 单位矩阵 对角矩阵 0() ij aij 可交换矩阵AB=BA 共轭矩阵A为A的共轭矩阵 正交矩阵 1TTT AAA AEAA = 伴随有矩阵 * AAA AA E= 运算 A+B，kA, AB,AT方阵的幂 An 逆矩阵 求法 定义法 AB=E(或BA=E)，则A可逆，A-1=B 伴随矩阵法 1*1 AA A = 分块矩阵法 1 1 1 AA B B = 0 0 0 ， 1 1 1 AA B B = 00 0 0 初等变换法 1 ()()A EE A? 行 定义法 0A ( )r An= 特征值法 反证法 证法 初等矩阵 初等矩阵P左（右）乘A所得PA（AP）就是 A作 3 次与P同样的行（列）变换 1 ijij EE =， 11 ( )( ) ii EkE k =， 1( ) () ijij EkEk = 等价ABPAQB=，其中P与Q可逆 概念 性质 概念 初等变换求矩阵的秩 矩阵 初等变换 矩阵的秩 33 第三章第三章 向量向量 n 维向量、向量线性组合 概念 运算 加法、数乘、内积 Schmidt 正交化 线性表出 概念 判定 向量组等价 充要条件 充分条件 方程组 1 122nn xxx+=?有解 1212 (,)(,) nn rr =? 12 , n ?，线性无关， 12 , n ?线性相关 12 , s ?与 1, , t ?可互相线性表出 线性相关 概念 判别 充要条件 充分条件 齐次方程组（ 13 , s ?）x=0 有非零解 12 (,) s r ?S 某(1,2, ) i is=?可由其余 S-1 个向量线性表出 n+1 个n维向量 多数向量可由少数向量线性表出 线性无关 概念 判别 充要条件 充分条件 齐次方程组（ 13 , s ?）x=0 只有零解 12 (,) s r ?=S 向量() ii 不能由其余向量线性表出 阶梯形向量组 极大线性无关组 概念 求法 向量组的秩 概念 求法 向 量 34 第四章第四章 线性方程组线性方程组 初等行变换 矩阵形式 线性方程组 阶梯形 Ax=b 有解判定 r(A)=rA 解的结构 导出组 通解 向量形成 1 122 0 nn xxx+=? 有非 0 解 12 , n ?线性表出 1 122nn xxx+=? 解 可由 12 , n ?线性表出 解的结构 特解，通解 自由变量 解的性质 若 12 , 都是Ax=b的两个解， 则 12 是Ax=0 的解 若 12 , 是Ax=0 的两个解，则 122 kk+是Ax=0 的解 若是Ax=b的解，是Ax=0 的解，则+是Ax=b的解 35 第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 矩阵的特征值与特征向量 定义 性质 求法 不同特征值的特征向量线性无关 n重特征值至多有n个线性无关的特征向量 特征值 相似 定义法 特征多项式法0EA= 111 , nnn iiii iii aA = = 基础解系法()0EA x= 定义法 性质 特征向量 1 P APB = TT AB= EAEB= 11 nn iiii ii ab = = ( )( )r Ar B= AB= 定义 11 AB （若A，B均可逆） ,AB BC，则AC 实对称矩阵 特性 可对角化 充分条件 充要条件 A 有 n 个线性无关的特征向量 A 是实对称矩阵 A 有 n 个不同的特征值 () i rEAnn=，其 i 为 i n重特征值 与对角矩阵相似 可用正交矩阵对角化 特征值全是实数 不同特征值的特征向量相互正交 () ii rEAnn= 36 第六章第六章 二次型二次型 合同 定义 充要条件 充分条件 （ T C