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第3章 机构结构的分析与设计3.1 本章例题例3-1 绘制图3-1所示液压泵机构的机构运动简图。解：该机构由机架1、原动件2和从动件3、4组成，共4个构件，属于平面四杆机构。机构中构件1、2，构件2、3，构件4、1之间的相对运动为转动，即两构件间形成转动副，转动副中心分别位于A、B、C点处；构件3、4之间的相对运动为移动，即两构件间形成移动副，移动副导路方向与构件3的中心线平行。构件1的运动尺寸为A、C两点间距离，构件2的运动尺寸为A、B两点之间的距离，构件3从B点出发，沿移动副导路方向与构件4在C点形成移动副，构件4同时又在C点与构件1形成转动副。选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平面。选择比例尺=0.001m/mm，分别量出各构件的运动尺寸，绘出机构运动简图，并标明原动件及其转动方向，如图3-1所示。例3-2 绘制图3-2所示偏心泵的机构运动简图，写出机构的关联矩阵和邻接矩阵。解：图示机构中已标明原动件，构件6为机架，其余构件为从动件。需要注意的是，在区分构件时应正确判断图中各构件都包括哪些部分，例如：构件3就包括两部分，如图所示。该机构中构件1与机架以转动副连接，转动副中心位于固定轴的几何中心A点处；构件2除与构件1形成回转中心位于C点的转动副外，又与构件3形成移动副，移动副导路沿BC方向；构件3也绕固定轴上一点B转动，即构件3与机架形成的转动副位于B点，同时构件3与构件2形成移动副，又与构件4形成中心位于D点的转动副；构件4与构件5形成中心位于E点的转动副；构件5与机架6形成沿垂直方向的移动副。该机构属于平面机构，因此选择与各构件运动平面平行的平面作为绘制机构运动简图的视图平面。选择比例尺=0.001m/mm，量出各构件的运动尺寸，绘出机构运动简图，并标明原动件及其转动方向，如图3-2所示。例3-3计算图3-3所示压榨机机构的自由度。解：机构为平面机构。图3-3 压榨机机构机构中构件1为偏心轮，构件2绕构件1的几何中心发生相对转动，即形成中心位于偏心轮几何中心的转动副，因此偏心轮相当于一个有两个转动副的构件，一个转动副是在点A与机架11形成的，另外一个是在偏心轮几何中心处与构件2形成的。该机构中存在结构对称部分，构件8、9、10 和构件4、5、6。如果去掉一个对称部分，机构仍能够正常工作，所以可以将构件8、9、10以及其上的转动副G、H、I和C处的一个转动副视为虚约束；构件7与构件11在左右两边同时形成导路平行的移动副，只有其中一个起作用，另一个是虚约束；构件4、5、6在D点处形成复合铰链。机构中没有局部自由度和高副。去掉机构中的虚约束，则机构中活动构件数为，机构中低副数，得图3-4 自动驾驶仪操纵机构例3-4 计算图3-4所示自动驾驶仪操纵机构的自由度。解：自动驾驶仪操纵机构为空间机构，机构中共有3个活动构件，其中构件1、2之间形成圆柱副，属级副；构件2、3形成转动副，属级副；构件3、4形成球面副，属级副；构件4、1形成转动副，属级副。则机构自由度为:例3-5 确定图3-5所示机构当构件为原动件时机构的级别。解：确定机构的级别关键是要拆出机构中所含的基本杆组。当构件为原动件时，拆基本杆组首先应当从最远离原动件的构件1拆起，可以拆出级基本杆组ABC，然后，又依次可以拆出级基本杆组DEF和GHI。如下图示。所以该机构为级机构。图3-53.2 本章课后习题解答3-1 说出机构运动简图与机械零件的零件图、装配图和机构示意图之间在表达主要内容上的区别，各种图一般应当在机械系统设计的哪个阶段完成？解：机构运动简图反映影响机构运动的因素，包括机构的原动件、运动副类型以及各个运动副相对位置的机构运动尺寸等，并且机构运动简图中各构件不一定反映原件的真实形状；机构运动简图必须要按一定比例绘制，否则只能称之为机构示意图。零件图表达零件的形状、大小以及制造和检验零件的技术要求；装配图表达机械中所属各零件与部件间的装配关系和工作原理。在一般的机械系统设计过程中，在确定了机械的运动方案之后，便可以画出机构的示意图，然后根据机构的运动要求确定机构的几何尺寸，在此基础上才能画出机构运动简图。再根据运动简图以及实际情况确定各个构件的形状等，即设计零件图，然后将各个零件装配在一起，进而得到装配图。3-2 分析题3-2图所示的偏心泵的工作原理，画出机构的运动简图（图示比例0.002m/mm），写出机构的关联矩阵和邻接矩阵。题3-2图解：该机构由机架4、原动件1和从动件2、3组成，共4个构件，属于平面四杆机构。机构中构件1、4，构件1、2，构件3、4之间的相对运动为转动，即两构件间形成转动副，转动副中心分别位于A、B、C点处；构件2、3之间的相对运动为移动，即两构件间形成移动副，移动副导路方向与构件2的中心线平行。原动件1相对机架4转动，带动从动件2转动的同时，从动件2相对从动件3发生移动。从动件2转动的同时也带动了从动件3相对机架的转动。因此，偏心轮1的转动进而使液压油完成从右边进口处进入并流向左边出口处的整个过程。选择比例尺=0.002m/mm，分别量出各构件的运动尺寸，绘出机构运动简图，并标明原动件及其转动方向，如题图3-2所示。其机构示意图和机构拓扑图如上图所示。其关联矩阵为：邻接矩阵为：；题3-3图机构的拓扑图机构示意图3-3 题3-3图为外科手术用剪刀。其中弹簧的作用是保持剪刀口张开，并且便于医生单手操作。忽略弹簧，并以构件1为机架，分析机构的工作原理，画出机构的示意图，写出机构的关联矩阵和邻接矩阵，并说明机构的类型。解：若以构件1为机架，则该手术用剪刀由机架、原动件、从动件、组成，共个构件。属于平面四杆机构。当用手握住剪刀，即构件(固定钳口)不动时，驱动构件，使构件绕构件转动的同时，通过构件带动构件(活动钳口)也沿构件(固定钳口)上下移动，从而使剪刀的刀口张开或闭合。其机构示意图和机构拓扑图如上图所示。其关联矩阵为：邻接矩阵为：；3-4 简述机构自由度的基本概念和在机构结构设计中确定机构自由度的意义。解：通常将确定机构相对机架位置的独立广义坐标数称为该机构的自由度。首先，利用机构的自由度可以将机构和结构区分开来。结构的自由度必须小于或等于零，而机构的自由度必须大于零。其次根据机构的自由度可以确定需要多少个输入运动来驱动和控制机构的运动。只有机构中原动件的数目与机构的自由度相等的时候，机构中各个机构才能够具有确定的运动规律。3-5 题3-5图所示为牛头刨床一个设计方案的示意图。设计者的思路是：曲柄1为原动件，通过导块2使导杆3摆动，进而带动滑枕4往复移动以达到刨削的目的。图示系统能否满足设计的运动要求？若不能满足要求，应如何改进？题3-5图解：图示中的机构，活动构件数，低副数（其中E、F中有一个为虚约束），没有高副，则该机构的自由度，显然该系统不能满足设计的运动要求。改进时，可在原设计图的基础上，增加一个构件，同时增加一个运动副，则可得到系统的自由度，现给出几个改进参考，如下图所示：3-6 在题3-6图所示所有机构中，原动件数目均为1时，判断图示机构是否有确定的运动。如有局部自由度、复合铰链和虚约束请予以指出。题3-6图 解：（a）、，机构有确定的运动。其中：、D、B、C四处均为复合铰链，没有局部自由度、虚约束；（b）、，机构没有确定的运动。其中：处为复合铰链，处为局部自由度，没有虚约束；（C）、，机构有确定的运动。其中：构件AB、BC、CD、AD四杆中有一杆为虚约束，如果将构件AD视为虚约束，去掉虚约束，则点、均为复合铰链，没有局部自由度；（d）、，系统不能运动，所以也就不是一个机构。从图中可以看出，铰链点C是构件BC上的点，其轨迹应当是以铰链点B为圆心的圆，同时，铰链点C又是构件CD上的点，轨迹应当是移动副F约束所允许的直线，两者是矛盾的，所以，系统不能运动。系统中没有局部自由度、复合铰链、虚约束。（e）、，机构没有确定的运动。没有局部自由度、复合铰链、虚约束。3-7 计算题3-7图所示齿轮连杆机构的自由度。解：（a）、,铰链点A为复合铰链，齿轮副为高副。（b）、，铰链点B、C 、D均为复合铰链。题3-图3-8 题3-图所示为缝纫机中的送料机构。计算该机构的自由度，该机构在什么条件下具有确定的运动？解：C处的滚子为局部自由度，构件1于构件2、构件3与构件2之间形成两对高副，但是，每对高副的法线都是重合的，所以，每对高副中有一个高副为虚约束。由于该机构具有个自由度，所以该机构在有个原动件的条件下就具有确定的运动。3-9 计算题3-图所示机构的自由度。题3-9图解：（a）、（b）、（注：滑块受到的运动约束与构件FGC上的运动轨迹相重合，所以滑块及其上的转动副和移动副均应视为虚约束。）3-10 构思出自由度分别为、和的级机构的设计方案。解：由机构的组成原理可知，一个机构中，至少应当包含有一个级基本杆组。将一个级基本杆组中的一个外副与一个单自由度的机构相联，另外两个外副与机架相联，则可以得到一个单自由度的机构；如果将级基本杆组中的两个外副分别与两个单自由度的机构相联，另外一个外副与机架相联，则可以得到一个有两个自由度的机构。而最简单的单自由度机构是一个构件与机架通过一个低副（如：转动副）联接所形成的机构。按照以上分析，自由度分别为、和的级机构最简单的结构分别如图中（a）、（b）和（c）所示。3-11 不直接应用机构的自由度计算公式而利用机构组成的基本原理，判断题3-6图a、c、e所示机构的自由度的大小。解：拆杆组的基本方法和步骤是：去掉机构中的局部自由度和虚约束；从最远离原动件的构件开始，试拆低级别的基本杆组，如果可拆出，则拆出；否则，试拆高一级另的基本杆组。其中能够拆出基本杆组的条件是：拆出基本杆组后，剩余部分仍为一个机构，并且自由度与原机构的自由度相同；根据所拆出的基本杆组的最高级，确定出机构的级。我们可以根据拆出基本杆组后原动件的数目来确定机构的自由度。对于题3-6图中的a图，依次拆出基本杆组如下图所示：由上图可知，该机构有一个原动件，因此该机构的自由度对于题3-6图中的c图，该图中存在虚约束，先将虚约束去掉，然后依次拆出基本杆组如下图所示：由上图可知，该机构有一个原动件，因此该机构的自由度对于题3-6图中的e图，依次拆出基本杆组如下图所示： 由上图可知，该机构有三个原动件，因此该机构的自由度3-12 在题3-2图和题3-3图所示机构中，试拆出机构中的基本杆组，并确定机构的级。 解：拆出机构的基本杆组，题3-2图与题3-3图所示的机构的基本杆组分别如下图中的（a）、（b）图所示：显然两个机构的最高级别都是级，因此题3-2图和题3-3图所示机构都是级杆组。3-13 题3-13图为胸腔牵开器，用于在外科手术中将软组织夹持以便于手术。如果不考虑与软组织接触的前端构件1、2，当以左边曲线构件3为机构时，机构的自由度为多少？如果将构件7、8看成为一个整体，机构的自由度又为多少？将计算结果与直观判断的结论进行比较。题3-13图解：若以构件3为机构，则图示中机构的活动构件数，低副数，没有高副，则该机构的自由度。如果将构件7、8看成为一个整体，即此时螺旋不转动，则图示中机构的活动构件数n=4，低副数，没有高副，则该机构的自由度。胸腔牵开器，用于在外科手术中将软组织夹持以便于手术，故直观判断该机构的自由度应该为1。第4章 速度瞬心及其应用4.1 本章例题图4-2图4-1例4-1 在图4-1所示的铰链四杆机构中，已知该机构的结构参数以及构件1的转速为，机构运动简图的比例尺为。利用速度瞬心法，求在图示位置时，构件2和构件3的转速和的大小和方向。解：首先找出相关的速度瞬心：速度瞬心P10、P12、P23、P03可根据相应的构件构成转动副直接确定出来；而P02和P13需应用三心定理来确定：速度瞬心P02应在三个构件0、1、2的两个已知速度瞬心P10和P12的连线上，同时又应在三个构件0、3、2的两个已知速度瞬心P03、P23的连线上，则这两条连线的交点即为P02。速度瞬心P13的确定方法类似，它应是P12 P23连线和P10P03连线的交点。 由速度瞬心的概念，在速度瞬心点两构件的绝对速度相同，便可求解未知转速。在速度瞬心点P12有 式中和可直接从所作的图中量取。由上式可解出 由绝对速度方向，得出2方向为顺时针方向。 同理， 在速度瞬心点P13有 由绝对速度的方向，可知其为逆时针方向。例4-2 在图4-2所示的凸轮机构，已知该机构的结构尺寸和凸轮1的角速度。利用瞬心法，求机构在图示位置时从动件2的线速度。机构运动简图的比例尺为。解：构件1与机架0的速度瞬心P01以及从动件与机架的速度瞬心P02可根据相应的构件分别构成转动副和移动副而直接确定出来。凸轮1和从动件之间的瞬心P12的确定方法是：一方面，P12应在构件1、2高副接触点K的公法线n-n上，另一方面，利用三心定理，它又应在瞬心P01和P02的连线上，即又应在过点P01而垂直于从动件2与机架移动副导路的直线上。因而，n-n与该直线的交点即为P12。再根据速度瞬心的概念，可得： 其中，可以直接从图中量出。从动件的速度v2方向如图中所示。4.2 本章课后习题解答4-1 有三个平面运动的构件1、2、3，构件1为机架。设已知构件1、2的速度瞬心和构件1、3的速度瞬心，试证明：构件2、3的速度瞬心一定在和的连线上。题4-1图解： 如题4-1图所示，构件1、构件2、构件3作平面运动，设其角速度分别为、，由于构件1为机架，因此。设构件1和构件2的速度瞬心位于A点，构件3和构件1的速度瞬心位于B点。故在A点处有，在B点处有设在AB连线之外有一个任意点C，则构件2和构件3在C点的速度分别为：其中的方向垂直于AC连线，的方向垂直于BC连线。若C点为构件2和构件3的速度瞬心，则必有，即。由于AC连线不平行于BC连线，且、不为零，所以不可能存在（方向一定不相同，但大小有可能相等），故AB连线之外有一个任意点C不是构件2和构件3的速度瞬心。因此一定在AB连线上，即构件2、3的速度瞬心一定在和的连线上。此时和的方向都垂直于AB连线，因此方向只有在AB连线上才可能相同。题4-2图4-2 在题4-2图所示所示的平面组合机构中，已知机构作图的比例尺l，及构件1的角速度，求图示位置构件4的线速度。提示：当机构中构件数目比较多时，速度瞬心的数目也比较多。在进行机构的运动分析的时候，一般不需要求出所有的速度瞬心。为比较有条理地找出所要确定的速度瞬心，可采用“瞬心多边形”的方法。如题4-2图中的机构中有5个构件，则5个顶点分别表示每个构件，并且顶点的编号与构件的编号一致，在表示机架的顶点上画个圈。顶点之间的连线代表已确定出来的速度瞬心。在利用“三心定理”求速度瞬心时，可以利用速度瞬心代号下角标号消去法则。例如要确定构件0、3的速度瞬心，将顶点0、3连接起来，得到，和下标中均有4，将4消去，剩下的标号是03，则一定在速度瞬心和的连线上。如右图所示。解：根据两个构件相成运动副的瞬心的确定方法可以确定出瞬心，的位置或所在的直线。由于题目已知构件的角速度，求构件的线速度，因而需求出速度瞬心。一方面，应在瞬心和的连线上，另一方面，它也应在瞬心和的连线上。而瞬心一方面应在构件、高副接触点的公法线n-n上，另一方面，它也应在瞬心和的连线上；瞬心一方面应在瞬心和的连线上，另一方面，它也应在瞬心和的连线上。根据速度瞬心的概念，可得，其中，可以直接从图中量出。构件的速度方向如图中所示。题4-3图4-3 确定题4-3图所示机构所有的速度瞬心。如果已知构件1的角速度，设图示比例为，求图示位置时，题4-3图（a）齿轮4的角速度的大小、方向和题4-3图（b）构件3的速度的大小和方向。提示： 齿轮啮合的速度瞬心在表示齿轮的两个圆的切点处。解：（a）、图示机构共有6个构件，所以速度瞬心的数目为。其中：、和在转动副处；、和在转动副处； 在转动副处；在转动副处；在表示齿轮和齿轮的圆的切点处；在表示齿轮和齿轮的圆的切点处；在瞬心和的连线与瞬心和的连线的交点处；在瞬心和的连线与瞬心和的连线的交点处；在瞬心和的连线与瞬心和的连线的交点处；在瞬心和的连线与瞬心和的连线的交点处；在瞬心和的连线与瞬心和的连线的交点处。根据速度瞬心的概念，可得，从而可先求出构件的角速度，其中，和可以直接从图中量出，构件的速度方向如图中所示；再根据速度瞬心的概念，可得，从而可求出构件的角速度，其中，和可以直接从图中量出，构件的速度方向如图中所示。（b）、图示机构共有个构件，所以速度瞬心的数目为。其中：和分别在构件和构件、构件和构件形成的转动副处；在垂直于移动副导路的无穷远处；在过高副接触点的公法线n-n和瞬心、的连线的交点处；在过高副接触点的公法线和瞬心、的连线的交点处；在瞬心和的连线与瞬心和的连线的交点处。根据速度瞬心的概念，可得，其中，可以直接从图中量出。构件的速度方向如图中所示。4-4 题4-4图所示为五杆机构。已知构件1的转速是构件4的转速的1/2，但转向相反。求所有速度瞬心。题4-4图解：图示机构共有5个构件，所以速度瞬心的数目为由于构件1的转速是构件4的转速的1/2，但转向相反。根据“三心定理”可知，构件1与构件4的速度瞬心在与的连线上，由题意得：，又，则有，且。若在与连线的左边，则，不合题意。若在与连线的右边，虽然能满足“”这个条件，但是构件1与构件4在此处的速度方向相反，也不符合题意。因此若在与连线之间。并且，其位置如图所示。、分别在构件1和构件2、构件2和构件3、构件3和构件4、构件4和构件5、构件1和构件5形成的转动副处。在、的连线与、的连线的交点上。在、的连线与、的连线的交点上。在、的连线与、的连线的交点上。在、的连线与、的连线的交点上。4-5 题4-5图中四杆机构ABCD中，AD=CB，AB=CD，并且ADAB。验证构件2、4的速度瞬心为点P；证明AP+PD=AB；证明连杆2相对于机架4运动的动瞬心线和定瞬心线均为椭圆；如何将该连杆机构转变为高副机构，而保持构件2相对于构件4的运动不发生变化？ 题4-5图解：、分别在构件1和构件2、构件2和构件3、构件3和构件4、构件1和构件4形成的转动副处，即分别为点A、B、C、D。根据“三心定理”，构件2、4的速度瞬心在、连线与、连线的交点处，即为点P。因为CBAADCAPDCPBPB=PDAP+PD=AP+PB=AB构件2、4的速度瞬心始终在CD连线与AB连线交点上，即点P。由题4-5图可知道，、与构件1、3之间存在虚线束，因此只需要将构件1、3去掉，而与构件2刚接在一起，与构件1刚接在一起。在上纯滚动，即可保持构件2相对于构件4的运动不发生变化4-6 题4-6图为一个对心直动滚子从动件盘形凸轮机构，凸轮为原动件，图示位置时凸轮在与滚子接触点B的曲率中心在点O。试对机构进行高副低代，并确定机构的级别，验证替代前后机构的自由度、凸轮1与从动件2之间的速度瞬心都没有发生变化。解：增加一个新的构件与原构件和从动件分别在高副接触点的曲率中心和原滚子中心以转动副相联接，如图（b）所示，就完成了原高副机构的高副低代。机构可以拆出一个级基本杆组、原动件和机架组成的单自由度机构，所以原机构为级机构。替代前机构的自由度为；替代后机构的自由度为；替代前凸轮1与从动件2之间的速度瞬心在过高副接触点的公法线n-n和瞬心、的连线的交点处，如图（a）所示；替代后凸轮1与从动件2之间的速度瞬心在瞬心和的连线与瞬心和的连线的交点处，如图（b）所示。高副低代由以上分析可知：替代前后机构的自由度、凸轮1与从动件2之间的速度瞬心都没有发生变化。第5章 平面连杆机构的运动分析与设计5.1 本章例题例5-1 已知图5-1所示机构的结构尺寸、固定铰链点的位置和原动件的运动。试分别以构件CD和构件AB为原动件，确定机构中所有从动构件的运动。图6-14 解：首先建立直角坐标系如图所示。固定铰链点D、E、A的坐标分别为D(0,0)，E(xE,yE)，A(xA,yA)。当以构件CD为原动件时，机构为级机构；而当以构件AB为原动件时，机构为级机构。图5-1（一）、以构件CD为原动件时构件CD为定轴转动，已知原动件的运动，就是已知构件CD绕点D转动的角位置、角速度和角加速度铰链点C是构件CD上点，同时也是构件3上的点，而构件3是一个从动构件，因此，运动分析从铰链点C开始。铰链点C是构件1上的点，运动约束为到点D之间的距离不变，并且点C、D连线与坐标轴正向之间的夹角为，所以可以写出其位置方程 其中,和由题意是已知的，只有两个未知数，因此，可以立即计算出铰链点C的位置。将上式对时间t分别作一次、二次求导，可得点C的速度和加速度方程如下 其中 其中 ，根据已知的和，就可以求出铰链点C的速度和加速度。确定出从动构件3上点C的运动之后，必须再确定构件3上另外一个点才能确定出构件3的运动。构件3上的点B和点F都可以作为下一步要求解的点。但是，在目前的条件下，无论是确定点B的位置、还是构件3上的点F的位置都必须联立三个或三个以上的方程才能求解。如果现在转而分析构件2上的点F情况就不同了。构件2上点F受到两个运动约束：1）直线CF垂直于直线FE；2）点F到点E的距离保持不变，且为已知的机构结构参数。因此，可以建立构件2上点F的位置方程，如下：由于点C的位置已经求出，所以在上式中只有两个未知数，方程为非线性方程组，可以利用牛顿迭代法求解，初始点的选取可以由在草稿纸上画出机构的大概位置来确定。当然方程也可以利用代数消元的方法求解。在求得点F的位置之后，利用上式对时间的一阶和二阶导数，可以得到点F的速度方程式中，只有两个未知数和，为线性方程组，可以直接求解。利用上式对时间的二阶导数，求出点F的加速度方程：其中，方程仍然为线性方程，可以直接求解。在求出点F的运动之后，便可以求解点B的运动了。点B既是构件3上的点，同时，也是构件4上的点，所以，它是继续进行机构运动分析的一个关键点，它所受到的运动约 束是：1）B、F、C共线；2）点B、C之间的距离保持不变。据此可建立出点B的位置方程： 点B的速度方程为：点B的加速度方程为： 至此已经可以看出：运动分析的关键是位置方程的建立，速度和加速度方程可以分别将位置方程对时间求一阶和二阶导数得到。在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点，因此，各个从动构件的运动都可以确定出来了。例如，构件3的质心点S3 的位置方程 构件3的角位置、角速度和角加速度分别为 除了确定各个构件的运动，还可以确定构件与构件之间的相对运动。例如，要确定构件4与构件5的相对运动，由图6-14可知，构件4与构件5形成移动副，因此，两者之间的相对运动为移动，可以选构件4上的点B和构件5上的点A，以这两个点之间的距离变化表示构件4与构件5之间的相对运动，则相对运动的位置方程为 相对运动的速度和加速度分别可由上式对时间的一阶和二阶导数求出。（二）、以构件AB为原动件时此时，点A、B之间距离、和为已知的。构件5为液压驱动的油缸，构件4为活塞。机构可以拆出构件1、2、3、4组成的级杆组，机构为级机构。机构中铰链点B、C和构件2上的点F都不能分别求解，只能利用AB、BC、DC、EF之间的距离为已知的长度、点B、F、C共线和直线BF、EF垂直的运动约束，建立出三个待求点B、E、F的位置方程组，联立求解，即在上述方程中未知数的个数与方程数相等，在机构的可动范围内方程组有确定的解，方程组是非线性的代数方程，可采用牛顿迭代法等方法进行求解。机构的速度和加速度方程仍然是由位置方程的一阶和二阶导数求得，与级机构相同，机构的速度和加速度方程均为线性方程组。 a b图5-2平面二杆机械手及其逆运动学分析例5-2 对图5-2a所示的平面二杆机械手进行逆运动学分析。解：首先，考虑二杆机械手的工作空间，在此机构中运动输出为点P，所以，其工作空间就是点P可以到达的区域。假设转动副A、B都是周转副，如果，则点P可以到达的区域为以点A为圆心、半径为的圆；如果，则点P的可到达区域为以点A为圆心、外径为、内径为的圆环。如果转动副A、B不全是周转副，则点P的可到达区域显然要减小。由图5-2（b）可知，对于点P的位置逆解有两个，分别用实线和虚线表示。为了得到封闭解，将点A与点连接起来， 根据余弦定理可得 则 式中，取“-”对应图5-2（b）中的实线所示的解，取“+”对应虚线所示的解。例5-3 设计一个铰链四杆机构ABCD，实现连杆的三个精确位置P1Q1,，P2Q2，P3Q3。图5-3实现连杆三个位置的铰链四杆机构设计解：在铰链四杆机构中，动铰链点B、C既是连杆上的点，同时，又是连架杆上的点，其轨迹为分别以固定铰点A和D为圆心，相应连架杆杆长为半径的圆弧，故称点B和C为圆点，而点A和D为圆心点。据此，可以得出机构的设计作图方法如下：将给出的表示连杆精确位置的直线PQ扩大成一个平面封闭区域。在区域中任意取两个点作为圆点B、C，并由给定的连杆精确位置确定出B1、B2、B3和C1、C2、C3，如图6-18所示。作连线的中垂线a12，再作连线的中垂a23，则a12和a13的交点即为圆心点A的位置。同样，作连线的中垂线d12和连线的中垂线d23，d12和d23的交点即为圆心点D的位置。连接AB1C1D，就得到了所要设计的机构。机构的两个连架杆分别是AB、CD，连杆是BC，各个构件的杆长为直接从图中量出的长度乘以作图比例。值得注意的是，在确定铰链点B、A的位置时没有考虑铰链点C、D，同样，在确定铰链点C、D的位置时没有考虑铰链点B、A的位置。这样的设计通常被称为“分边综合”。此时的设计结果有无穷多个，因为点B、C在刚体的位置是任意选取的。如果直接将点P、Q作为圆点，则设计出来的机构与铰链四杆机构ABCD不同。在机构运动设计中，除了对机构精确位置的要求之外，还可能有其他的设计要求。如果还要求机构为曲柄摇杆机构，则应检验设计出的机构是否满足曲柄摇杆机构的条件，如果不满足，则应重新选择圆点B、C，按照上述过程重新作图。例5-4 如图5-4所示热处理炉门的设计中，为防止炉门与炉壁相碰在、位置间加第位置。现用铰链四杆机构来实现该设计，并且已知固定铰链点A、D的坐标。试确定各构件的杆长。构件AB为原动件，确定其运动范围。试检验所设计的机构是否能够顺序到位。试检验所设计的机构能否实现可靠到位。图5-4解：实现设计要求可用图解法（反转法）、解析法。（1） 图解法（反转法） 试想将炉门作为机架，铰链点B、C就成为“固定铰链点”，而铰链点A、D成为“动铰链点”，其轨迹分别是以B、C为圆心的圆。5-1 画出题5-1图中所示机构的示意图，分析机构的工作原理，哪一个构件为运动输入构件，哪一个构件作为运动输出构件，各自都做什么样的运动，并且说明各个机构是否为四杆机构，如果不是四杆机构，说明机构与四杆机构之间的关系。题5-1图题5-3图5-3 在题5-3图的四杆闭运动链中，已知，。欲设计一个铰链四杆机构，机构的输入运动为单向连续转动，确定在下列情况下，应取哪一个构件为机架？输出运动为往复摆动；输出运动也为单向连续转动。解：当输出运动为往复摆动时，机构应为曲柄摇杆机构，此时应取四杆中最短杆的相邻杆，即b或d作为机架。当输出运动也为单向连续转动时，机构应为双曲柄机构，此时应取四杆中的最短杆，即a作为机架。5-5 在题5-5图a、b中题5-5图（1） 说明如何从一个曲柄摇杆机构演化为题5-5图a的曲柄滑块机构、再演化为题5-5图b的摆动导杆机构； （2） 确定构件AB为曲柄的条件；（3） 当题5-5图a为偏置曲柄滑块机构，而题5-5图b为摆动导杆机构时，画出构件3的极限位置，并标出极位夹角。解：（1）当曲柄摇杆机构的摇杆为无穷长时，则原来摇杆与机架之间的转动副就变为移动副，原机构就演化为了题5-5图a的曲柄滑块机构。如果取曲柄滑块机构中的连杆作为机架，则曲柄滑块机构就演化为了题5-5图b的摆动导杆机构。（2）对于图（a），构件AB为曲柄的条件是；对于图（b），只要导杆BC足够长，满足装配要求，则构件AB始终为曲柄。（3）对于题5-5图（a），构件3的极限位置在曲柄和连杆的两次共线处，其极限位置、和极位夹角如图（a）所示；对于题5-5图（b），构件3的极限位置在曲柄与滑块形成的转动副的轨迹圆与导杆的切线处，即，其极限位置、和极位夹角如图（b）所示。题5-6图5-6 题5-6图为开槽机上用的急回机构。原动件BC匀速转动，已知，。（1） 确定滑块F的上、下极限位置；（2） 确定机构的极位夹角；（3） 欲使极位夹角增大，杆长BC应当如何调整？解：（1）由于，所以四杆机构ABC为转动导杆机构，导杆AB也是曲柄，可以相对机架转动3600，则滑块的上、下极限位置如图中F2、F1的位置。（2）对应滑块F的极限位置，可以确定出导杆AC的位置及滑块C的位置C1，C2。由图中几何关系，得则极位夹角。（3）欲使极位夹角增大，应使角减小，所以杆长BC就当减小。5-9 在题5-9图所示机构中，已知机构中各构件的杆长和固定铰链点A、D、F的位置、原动件的运动。试在以下两种情况下写出确定机构中所有从动构件运动的相应位置方程。（1）以构件1为原动件；（2）以构件5为原动件。解：首先建立直角坐标系如图所示。固定铰链点、的坐标分别为、。（1）、当以构件1为原动件时，该机构为级机构，可以逐点求解。先求点的运动。点在构件上，所以点的位置方程为题5-9图点到点的距离保持不变，点到点的距离保持不变，根据这两个条件，可建立点的位置方程为点到点的距离保持不变，点到点的距离保持不变，根据这两个条件，可建立点的位置方程为在求出了以上各点的运动以后，机构中的每一个从动构件都有了两个运动已知的点，因此，各个从动构件的位置都可以确定出来了。欲求构件5的运动，需要在构件5上确定一个特殊点G，如图所示。点G的位置方程为：（2）、当以构件为原动件时，该机构为级机构，不能逐点求解，而只能联立求解。先确定点的运动，其位置方程为利用AB、BC、CD、BE、CE之间的距离保持不变，且为已知的长度，直线FG和EG垂直的运动约束，建立三个待求点B、C、E的位置方程，即六个方程需要联立求解。题5-11图5-11 设计一个铰链四杆机构，如题6-11图所示。已知摇杆CD的长度，机架AD的长度，摇杆的一个极限位置与机架之间的夹角, 构件AB单向匀速转动。试按下列情况确定构件AB和BC的杆长，以及摇杆的摆角。（1） 程速比系数K=1;（2） 行程速比系数K=1.5;解：（1）、当行程速比系数K=1时，机构的极位夹角为即机构没有急回特性，固定铰链点应在活动铰链点的两个极限位置C1、C2的连线上，从而可确定活动铰链点的另一个极限位置。选定比例尺，作图，如下图（a）所示。直接由图中量取，所以构件AB的长为 构件BC的长为 摇杆的摆角（2）、当行程速比系数K=1.5时，机构的极位夹角为即机构具有急回特性，过固定铰链点作一条与已知直线成的直线再与活动铰链点的轨迹圆相交，交点就是活动铰链点的另一个极限位置。选定比例尺，作图，如下图（b）所示。由图（b）可知，有两个交点，即有两组解。直接由图中量取，。故有解一：构件AB的长为 构件BC的长为 摇杆的摆角解二：构件AB的长为 构件BC的长为 摇杆的摆角5-12 设计一个偏心曲柄滑块机构。已知滑块两极限位置之间的距离=50，导路的偏距e=20，机构的行程速比系数K=1.5。试确定曲柄和连杆的长度。解：行程速比系数K=1.5，则机构的极位夹角为选定作图比例，先画出滑块的两个极限位置C1和C2，再分别过点C1、C2作与直线C1C2成的射线，两射线将于点。以点为圆心，OC2为半径作圆，再作一条与直线C1 C2相距为的直线，该直线与先前所作的圆的交点就是固定铰链点。作图过程如解题24图所示。直接由图中量取，所以曲柄AB的长度为 (e改重做答数！)连杆BC的长度为解题6-12图例6-7 设计一个转杆滑块机构，实现连杆精确位置（Pi,i）i=2,，n。解：图6-21所示转杆滑块机构，可取机构的设计变量为。这六个设计变量确定之后，机构的所有运动几何尺寸，包括各个构件的杆长、滑块导路的方位等，就确定出来了。机构运动过程中，动铰链点B、C的运动约束是：（1）从连杆BC上看，点B、C之间的距离保持不变；（2）从连架杆AB上看，点B到点A的距离保持不变；（3）从连架杆滑块C上看，点C始终在一条直线上运动。由于设计要求给出了连杆精确位置（Pi,i）i=2,，n。由（Pi,i）i=2,，n，可以很容易地写出连杆的位移矩阵。如果利用连杆的位移矩阵方程建立连杆上点B、C在连杆第1位置时的坐标与其在连杆第位置时的坐标之间的关系，则运动约束（1）就不再是独立的了。利用了连杆的位移矩阵方程，就不能再利用运动约束（1）了。根据以上分析，可以确定出机构设计方程建立的主要途径：利用连杆的位移矩阵方程和利用连架杆的运动约束。运动约束（2）和（3）的数学表达为： (1) (2)由设计要求给出的连杆精确位置（Pi,i）i=2,，n，可以写出连杆从第一位置到第位置的位移矩阵： (3)铰链点B、C满足位移矩阵方程 (4) (5)在式（1）中有中间变量，将位移矩阵方程（4）代入，就可以消去中间变量，得到只含设计变量的设计方程；同样，将式（5）代入式（2）可得到只含设计变量的设计方程。为了便于求解，应当将联立求解方程的数目减少到最少，因此，设计方程的求解与图解法相同，也采用“分边综合”：求解只含设计变量的设计方程确定出点A、B1，求解只含设计变量的设计方程确定出点C1。从代数学中可知：当方程个数小于方程中的未知数数目时，可以任意假设一些未知数，方程有无穷多解；当方程个数大于方程中的未知数数目时，方程一般无解；只有当方程个数与方程中的未知数数目相等时，方程才有确定的解。含设计变量的设计方程中有四个未知数，当给定连杆n个位置时，可以得到n-1个设计方程。由此可知，当给定连杆五个位置时，含设计变量的设计方程才有确定的解。由此可以得出结论：由铰链点A、B组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最大数目为5。由铰链点A、B组成杆组的导引方式称为转杆导引。下面通过具体数值的例子进行说明。设需要实现的连杆精确位置为三组位置1.01.03002.00.53003.01.5750刚体从第1位置到第2位置的位移矩阵由式（4）得刚体从第1位置到第3位置的位移矩阵由式（4）得方程（a）(b)中共有四个未知数，所以可以任意假设其中的两个。如果取，联立方程（a）(b)解出。如果取不同的，可以得到不同的解。这就说明了在精确连杆位置数目为三的情况下，设计方程有无穷多解。现在对含设计变量的设计方程（由式（2）得到）进行分析。含设计变量的设计方程中有两个未知数，当给定连杆n个位置时，可以得到n-2个设计方程。所以，在给定精确连杆四个位置的时候，设计方程就有确定的解了。由此得出结论：由滑块和转动副组成的杆组可以实现的连杆精确位置的最大数目为4。滑块和转动副组成杆组的导引方式称为滑块导引。对于上面的三个连杆精确位置，由式（2）得到滑块导引的设计方程方程中有两个未知数，可以任意设其中一个。设，解出。 图6-21所示的转杆滑块机构，如果确定了所有设计变量，则机构的运动几何尺寸就可以按下面的计算方法确定出来。对于上面的三个连杆精确位置及设计方程的解可以得出 其中仍由位移矩阵方程（5）计算得出。滑块导路的位置由便可以确定了。题5-16图5-16 设计一个带有一个移动副的四杆机构（题5-16图），实现输入杆AB转角与输出滑块CC的移动之间的对应关系。已知起始时和、固定铰链点A的坐标（0,0）。（1） 分别写出从起始位置到第j组对应位置，构件AB和滑块的位移矩阵；（2） 如何得到机构的设计方程？（3） 分析该机构最多能够实现多少组精确对应位置关系。（4） 如何求出机构的等机构运动参数？ 解：已知，；则设计变量为，。（1）、从起始位置到第j组对应位置，构件AB和滑块的位移矩阵分别为 （2）、铰链点和还满足、之间的距离保持不变的运动约束，为此建立约束方程为式中铰链点和还满足位移矩阵方程 (a) (b)将(a)和(b)代入运动约束方程就得到仅含设计变量的方程，从而可求解。（3）、由于有个设计变量，当给定n组对应位置时，可以得到n-1个方程，所以该机构最多能够实现组精确对应位置关系。（4）、在确定了设计变量为，之后，机构的等机构运动参数分别为5-17 设计一个控制上下阁楼铰链四杆机构ABCD。题5-17图为阁楼楼梯收缩存储状态，在阁楼梯放下的过程中，梯子有收缩部分沿滑槽滑出，与地面接触。已知固定铰链点A、D的位置、以及输入和输出之间的角度关系。确定机构中各个构件的杆长，并检验机构是否存在曲柄。题5-17图题5-18图5-18 设计一个曲柄摇杆机构ABCD，利用连杆上点P的轨迹拨动摄像胶片,如题6-18图所示。已知A(-12.14, 3.06)，D(-7.10, -0.52)，P1(0, 0), P2(-4.07, -0.5), P3(-2.10, 3.05), ，。确定机构中各个构件的杆长，并检验机构是否存在曲柄。解：已知，；则设计变量为，。杆AB的位移矩阵为连杆上点和满足、之间的距离保持不变的运动约束，为此建立约束方程为同时，铰链点B又是构件AB上的点，铰链点还满足位移矩阵方程将式代入运动约束方程就得到仅含设计变量和和两个方程，从而可解出和。代入具体数值，得所以由式有所以由式有分别代入式有由上式可以解出从而可以求出；在确定出、后，就可建立连杆的位移矩阵为式中：，摇杆上铰链点和满足、之间的距离保持不变的运动约束，为此建立约束方程为式中铰链点还满足位移矩阵方程将式代入运动约束方程就得到仅含设计变量和和两个方程，从而可解出和。代入具体数值，得所以所以由式有所以由式有分别代入式有由上式可以解出从而可确定出机构中各个构件的杆长分别为在上述四杆中，因为，即最短杆与最长杆的杆长之和小于其余两杆的杆长之和，并且最短杆是，所以该机构一定存在曲柄。第6章 凸轮机构的运动设计6.1 本章例题例6-1为自动生产线上设计一个凸轮机构。设计要求将工件移动H=50mm，用时2.0 秒，然后，迅速返回，用时1.5秒，最后，停留0.75秒等待下一工件送进，依此循环。其示意图如图6-1所示。图6-1解：该题目没有标准答案，现给出一个参考答案，如下： 根据设计要求确定推程运动角、回程运动角、远休止角和近休止角，一个工作循环需要的时间为：那么，凸轮的转战应该为：由凸轮转角可以得到：由于凸轮的转速并不高，机构是用在自动生产线中，尽管所受到的载荷没有特别的说明，可以假设载荷也不大，则在推程中，选择从动件的运动规律为正弦加速度运动规律，回程采用等速运动规律（推程、回程可根据具体要求选择不同的运动规律，这里只是给出参考的运动规律，但并不唯一），则有：而从动件近休止阶段有：注意：（1）表6